Bài tập bồi dưỡng cho học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

Nội dung text: Bài tập bồi dưỡng cho học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

1. BồI DƯỡNG học sinh giỏi TOáN lớp 8 Bài 1Tỡm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 ĐS: Tớnh đỳng x = 7; x = -3 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 HD: x = 2007 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 HD: 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 1 1 1 Bài 2: Cho x, y, z đụi một khỏc nhau và 0 . x y z yz xz xy Tớnh giỏ trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy 1 1 1 xy yz xz Giải: 0 0 xy yz xz 0 yz = –xy–xz x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) yz xz xy Do đú: A (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) Tớnh đỳng A = 1 Bài 3 (1,5 điểm): Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thờm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghỡn , thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thờm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chớnh phương. Giải: Gọi abcd là số phải tỡm a, b, c, d N, 0 a,b,c,d 9,a 0 Ta cú: abcd k2 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m2 abcd k2 1
2. abcd 1353 m2 Do đú: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 hoặc m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 hoặc k = 4 Kết luận đỳng abcd = 3136 Bài 4 : Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tõm. a) Tớnh HA' HB' HC' tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phõn giỏc của tam giỏc ABC; IM, IN thứ tự là phõn giỏc của gúc AIC và gúc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. (AB BC CA) 2 c) Tam giỏc ABC như thế nào thỡ biểu thức đạt giỏ trị nhỏ nhất? AA'2 BB'2 CC'2 Giải: 1 .HA'.BC SHBC 2 HA' a) ; S 1 AA' ABC .AA'.BC 2 SHAB HC' S HB' Tương tự: ; HAC SABC CC' SABC BB' HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC b) Áp dụng tớnh chất phõn giỏc vào cỏc tam giỏc ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC . . . . . 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI.AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx -Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’ - Xột 3 điểm B, C, D ta cú: BD BC + CD - BAD vuụng tại A nờn: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 2
3. (AB BC CA)2 4 AA'2 BB'2 CC'2 Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều Bài 5: 2 2 2 Cho a b b c c a 4. a2 b2 c2 ab ac bc . Chứng minh rằng a b c . Giải: Biến đổi đẳng thức để được a 2 b 2 2ab b 2 c 2 2bc c 2 a 2 2ac 4a 2 4b 2 4c 2 4ab 4ac 4bc Biến đổi để cú (a 2 b 2 2ac) (b 2 c 2 2bc) (a 2 c 2 2ac) 0 Biến đổi để cú (a b) 2 (b c) 2 (a c) 2 0 (*) ỡ (a b) 2 0 ;(b c) 2 0 ;(a c) 2 0 ; với mọi a, b, c nờn (*) xảy ra khi và chỉ khi (a b) 2 0 ;(b c) 2 0 và (a c) 2 0 ; Từ đú suy ra a = b = c Bài 6: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 2a3 3a2 4a 5 . Giải: Biến đổi để cú A= a 2 (a 2 2) 2a(a 2 2) (a 2 2) 3 = (a 2 2)(a 2 2a 1) 3 (a 2 2)(a 1) 2 3 Vỡ a 2 2 0 a và (a 1) 2 0a nờn (a 2 2)(a 1) 2 0a do đú (a 2 2)(a 1) 2 3 3a Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a 1 0 a 1 Bài 7 Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú gúc ABC bằng 600, phõn giỏc BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giỏc AMNI là hỡnh gỡ? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tớnh cỏc cạnh của tứ giỏc AMNI. Giải: a) Chứng minh được tứ giỏc AMNI là hỡnh thang B Chứng minh được AN=MI, từ đú suy ra tứ giỏc AMNI là hỡnh thang cõn 4 3 8 3 N b) Tớnh được AD = cm ; BD = 2AD = cm M 3 3 1 4 3 AM = BD cm 2 3 4 3 A Tớnh được NI = AM = cm D I C 3 8 3 1 4 3 DC = BC = cm , MN = DC cm 3 2 3 8 3 Tớnh được AI = cm 3 3
4. Bài 6 (5 điểm) Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú hai đường chộo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đỏy AB cắt cỏc cạnh bờn AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b, Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c, Biết SAOB= 2008 (đơn vị diện tớch); SCOD= 2009 (đơn vị diện tớch). Tớnh SABCD. Giải: A B OM OD ON OC a) Lập luận để cú , AB BD AB AC O N OD OC M Lập luận để cú DB AC OM ON OM = ON AB AB D C OM DM OM AM b) Xột ABD để cú (1), xột ADC để cú (2) AB AD DC AD 1 1 AM DM AD Từ (1) và (2) OM.( ) 1 AB CD AD AD 1 1 Chứng minh tương tự ON. ( ) 1 AB CD 1 1 1 1 2 từ đú cú (OM + ON).( ) 2 AB CD AB CD MN S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC c) , S AOB .S DOC S BOC .S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh được S AOD S BOC 2 S AOB .S DOC (S AOD ) 2 2 2 Thay số để cú 2008 .2009 = (SAOD) SAOD = 2008.2009 2 2 2 2 Do đú SABCD= 2008 + 2.2008.2009 + 2009 = (2008 + 2009) = 4017 (đơn vị DT Bài 7 2 2 2 2 2 Cho x = b c a ; y = a (b c) 2bc (b c)2 a2 Tớnh giỏ trị P = x + y + xy Bài 8 Giải phương trỡnh: a, 1 = 1 +1 +1 (x là ẩn số) a b x a b x 2 2 2 b, (b c)(1 a) + (c a)(1 b) + (a b)(1 c) = 0 x a2 x b2 x c2 (a,b,c là hằng số và đụi một khỏc nhau) Bài 9 Xỏc định cỏc số a, b biết: 4
5. (3x 1) = a + b (x 1)3 (x 1)3 (x 1)2 Bài 10 Chứng minh phương trỡnh: 2x2 – 4y = 10 khụng cú nghiệm nguyờn. Bài 11 Cho ABC; AB = 3AC Tớnh tỷ số đường cao xuất phỏt từ B và C Bài 11 2 1 1 1 x 1 Cho biểu thức:A 3 1 2 2 1 : 3 x 1 x x 2x 1 x x a/ Thu gọn A b/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để A<1 c/ Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để Acú giỏ trị nguyờn Bài 12 a/ Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử ( với hệ số là cỏc số nguyờn): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hóy tớnh x2 + y2 Bài 13 Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đú b và c là cỏc số nguyờn. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tớnh P(1) Bài 14 Cho hỡnh chữ nhật cú AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuụng gúc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trờn tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM. a/ Tớnh số đo gúc DBK. b/ Gọi F là chõn đường vuụng gúc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cựng nằm trờn một đường thẳng. Bài 15 Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiờn m, m+k, m+ 2k đều là cỏc số nguyờn tố lớn hơn 3, thỡ k chia hết cho 6. 5
6. Bài 16 1 3 x 2 1 Cho biểu thức A : 2 2 3 x 3x 27 3x x 3 a) Rỳt gọn A. b) Tỡm x để A < -1. c) Với giỏ trị nào của x thỡ A nhận giỏ trị nguyờn. Bài 17 Giải phương trỡnh: 1 6y 2 a) 3y 2 10y 3 9y 2 1 1 3y x 3 x 6 x 1 1 . 3 2 b) x 2 4 3 2 2 Bài 18 Một xe đạp, một xe mỏy và một ụ tụ cựng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lỳc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lỳc mấy giờ ụ tụ cỏch đều xe đạp và xe đạp và xe mỏy? Bài 19 Cho hỡnh chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chộo AC ta dựng hỡnh chữ nhật AMPN ( M AB và N AD). Chứng minh: a) BD // MN. b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trờn AC. Bài 20 Cho a = 11 1 (2n chữ số 1), b = 44 4 (n chữ số 4). Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chớnh phương. Bài 21 3x 2 y 1 a) Cho x 2 2xy 2y2 2x 6y 13 0 .Tớnh N 4xy 6
7. b) Nếu a, b, c là cỏc số dương đụi một khỏc nhau thỡ giỏ trị của đa thức sau là số dương: A a3 b3 c3 3abc Bài 22 Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thỡ: a b b c c a c a b A 9 c a b a b b c c a Bài 23 Một ụ tụ phải đi quóng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quóng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quóng đường sau đi với vận tốc kộm hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Tớnh thời gian ụ tụ đi trờn quóng đường AB biết người đú đến B đỳng giờ. Bài 24 Cho hỡnh vuụng ABCD trờn cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuụng gúc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N. a) Chứng minh tứ giỏc MENF là hỡnh thoi. b) Chứng minh chi vi tam giỏc CME khụng đổi khi E chuyển động trờn BC. Bài 25 Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: x6 3x 2 1 y4 Bài 26 Phõn tớch thành nhõn tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Bài 27 a, Cho a, b, c thoả món: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14. Tớnh giỏ trị của A = a4+ b4+ c4 b, Cho a, b, c 0. Tớnh giỏ trị của D = x2011 + y2011 + z2011 7
8. 2 2 2 2 2 2 Biết x,y,z thoả món: x y z = x +y + z a2 b2 c2 a2 b2 c2 Bài 28 1 1 4 a, Cho a,b > 0, CMR: + a b a b b, Cho a,b,c,d > 0 a d d b b c c a CMR: + + + 0 d b b c c a a d Bài 29 2 2 a, Tỡm giỏ trị lớn nhất: E = x xy y với x,y > 0 x2 xy y2 b, Tỡm giỏ trị lớn nhất: M = x với x > 0 (x 1995)2 Bài 30 a, Tỡm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tỡm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2 Bài 31 Cho VABC M là một điểm miền trong của VABC . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D. a, CMR: AB’A’B là hỡnh bỡnh hành. b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’ Bài 32 a) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: a(b c) 2 (b c) b(c a) 2 (c a) c(a b) 2 (a b) 1 1 1 b) Cho a, b, c khỏc nhau, khỏc 0 và 0 a b c 1 1 1 Rỳt gọn biểu thức: N a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab Bài 33 a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 2 y 2 xy x y 1 b) Giải phương trỡnh: (y 4,5) 4 (y 5,5) 4 1 0 Bài 34 Một người đi xe mỏy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phỳt, người đú gặp một ụ tụ, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ụ tụ đến A nghỉ 15 phỳt rồi trở lại B và gặp người đi xe mỏy tại một một địa điểm cỏch B 20 km. Tớnh quóng đường AB. Bài 35 8
9. Cho hỡnh vuụng ABCD. M là một điểm trờn đường chộo BD. Kẻ ME và MF vuụng gúc với AB và AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuụng gúc với nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy. c) Xỏc định vị trớ của điểm M để tứ giỏc AEMF cú diện tớch lớn nhất. Bài 36 Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh:3x 2 5y 2 345 9
10. Đề thi hsg lớp 8 SỐ 9 MễN TOÁN Thời gian: 120 phỳt Bài 1: (2,5điểm) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử a) x5 + x +1 b) x4 + 4 c) xx - 3x + 4x -2 với x 0 Bài 2 : (1,5điểm) Cho abc = 2 Rỳt gọn biểu thức: a b 2c A ab a 2 bc b 1 ac 2c 2 Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0 ab Tớnh: P 4a 2 b 2 Bài 4 : (3điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn BC lấy M bất kỡ sao cho BM CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tớnh chu vi tứ giỏc AEMF. Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN là hỡnh thang cõn c) Tớnh : ANB + ACB = ? d) M ở vị trớ nào để tứ giỏc AEMF là hỡnh thoi và cần thờm điều kiện của ABC để cho AEMF là hỡnh vuụng. Bài 5: (1điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n thỡ : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23. 10
11. Đề thi hsg lớp 8 SỐ 10 MễN TOÁN Thời gian: 120 phỳt Bài 1: (2 điểm) a) Phõn tớch thành thừa số: (a b c)3 a 3 b3 c 3 3 2 b) Rỳt gọn: 2x 7x 12x 45 3x 3 19x 2 33x 9 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: A n3 (n 2 7) 2 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiờn n. Bài 3: (2 điểm) a) Cho ba mỏy bơm A, B, C hỳt nước trờn giếng. Nếu làm một mỡnh thỡ mỏy bơm A hỳt hết nước trong 12 giờ, mỏy bơm B hỳt hếtnước trong 15 giờ và mỏy bơm C hỳt hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai mỏy bơm A và C cựng làm việc sau đú mới dựng đến mỏy bơm B. Tớnh xem trong bao lõu thỡ giếng sẽ hết nước. b) Giải phương trỡnh: 2 x a x 2a 3a (a là hằng số). Bài 4: (3 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại C (CA > CB), một điểm I trờn cạnh AB. Trờn nửa mặt phẳng bờ AB cú chứa điểm C người ta kẻ cỏc tia Ax, By vuụng gúc với AB. Đường thẳng vuụng gúc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại cỏc điểm M, N. a) Chứng minh: tam giỏc CAI đồng dạng với tam giỏc CBN. b) So sỏnh hai tam giỏc ABC và INC. c) Chứng minh: gúc MIN = 900. d) Tỡm vị trớ điểm I sao cho diện tớch ∆IMN lớn gấp đụi diện tớch ∆ABC. Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng số: 22499    9100    .09 là số chớnh phương. (n 2 ). n-2 số 9 n số 0 11