›
›
›

Bài ôn tập Toán 8 - Chuyên đề: Chia hết

docx 18 trang hoaithuong97 27680
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài ôn tập Toán 8 - Chuyên đề: Chia hết", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbai_on_tap_toan_8_chuyen_de_chia_het.docx

Nội dung text: Bài ôn tập Toán 8 - Chuyên đề: Chia hết

  1. CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT A. LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa: 2. Tính chất: - Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n - Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c - Với p là số nguyên tố. Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p - Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n n 1 luôn nhận được hai số dư bằng nhau - Trong n sốn nguyên1 liên tiếp, luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n - Nếu a;b d thì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho: ax by d - Ta có: an bn a b an 1 bn 1 an bn  a b - Ta có: an bn a b an 1 bn 1 an bn  a b với n là số tự nhiên lẻ B. LUYỆN TẬP
  2. Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP Phương pháp : Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có: n3 5n6 . HD: Ta có: n3 5n n3 n 6n , như vậy ta cần chứng minh n3 n6 n n 1 n 1 6 . Do n n 1 n 1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 Bài 2: Chứng minh rằng : n3 11n6,n Z HD : Ta có: n3 11n n3 n 12n n n2 1 12n n n 1 n 1 12n Vì n n 1 n 1 là ba số nguyên liên tiếp n n 1 n 1 6 và 12n6 n3 11n6 Bài 3: Chứng minh rằng: A n n 1 2n 1 6,n N HD: Ta có: A n n 1 n 1 n 2 n 1 n n 1 n n 1 n 2 6 Bài 4: Chứng minh rằng: m3 3m2 m 348,m lẻ HD: Vì m là số lẻ, Đặt m 2k 1, k N Khi đó ta có : A m3 3m2 m 3 m 3 m2 1 m 1 m 1 m 3 Thay m 2k 1 vào A ta được : A 8 k 2 k 1 k Vì k k 1 k 2 là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên  6 Vậy A48 Bài 5: Chứng minh rằng: n4 4n3 4n2 16n384,n chẵn HD: Vì n chẵn, Đặt n 2k, k N , Khi đó ta có: A n4 4n3 4n2 16n n n 4 n2 4 , Thay n 2k vào A ta được: A 16 k 2 k 1 k k 1 , Vì k 2 k 1 k k 1 là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp Nên chia hết cho cả 3 và 8 Bài 6: Chứng minh rằng: B n5 5n3 4n120, n N HD: Ta có: B n n4 5n2 4 n n2 1 n2 4 n n 1 n 1 n 2 n 2 120 Bài 7: Cho n là số nguyên, Chứng minh A n4 14n3 71n2 154n 12024
  3. HD: Ta cần chứng minh A3 và A8 , ta có : A n4 14n3 71n2 154n 120 n3 n 2 12n2 n 2 47n n 2 60 n 2 2 A n 2 n n 3 9n n 3 20 n 3 n 2 n 3 n n 3 5 n 4 A n 2 n 3 n 4 n 5 , Vì A là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp => A3 Ngoài ra trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có hai số chẵn liên tiếp, một số  2 và 1 số  4 Vậy A  8 Bài 8: Chứng minh rằng: n4 6n3 11n2 6n24 HD: Ta có: A n4 6n3 11n2 6n n n 1 n 2 n 3 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên A3 Và A cũng là tích của 4 số nguyên liên tiếp, nên có 2 số chẵn, một số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4, Nên A8 Bài 2: CMR: n4 2n3 n2 2n chia hết cho 24 với mọi n Z HD : 4 3 2 2 Ta có: n 2n n 2n n n n 2 n 2 n n 1 n 1 n 2 là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên chia hết cho 8 và chia hết cho 3 a a2 a3 Bài 9: Chứng minh rằng: là một số nguyên với mọi a nguyên 3 2 6 HD: a a2 a3 a a 1 a 2 Ta có: . Vì a a 1 a 2 là tích của 3 số nguyên 3 2 6 6 liên tiếp => 6 Bài 10: Chứng minh rằng: n5 n30,n HD: Ta có: A n5 n n 1 n n 1 n2 1 , là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 Mặt khác: A n5 n n 1 n n 1 n2 4 5 n 2 n 1 n n 1 n 2 5 n 1 n n 1 Thấy n 2 n 1 n n 1 n 2 là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên A5 Bài 11: Chứng minh rằng: n3 1964n48,n chẵn
  4. HD: Vì n là số chẵn, Đặt n 2k, k N Khi đó ta có : n3 1964n 8 k 1 k k 1 3888k Vì k 1 k k 1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 Bài 12: Chứng minh rằng: n4 7 7 2n3 64,n lẻ HD: 2 Vì n lẻ, Đặt n 2k 1, k N , Khi đó ta có: A n4 7 7 2n2 n2 7 , 2 Thay n 2k 1 vào ta được: A 16 k 2 k 2 , Vì k 2 k 2 k k 1 22 2 k 2 k 2 4 A64 Bài 13: Chứng minh rằng: n4 6n2 764,n lẻ HD: Vì n lẻ, Đặt: n 2k 1, k N , Khi đó: A n4 6n2 7 n2 1 n2 7 , Thay n 2k 1 vào ta được: A 16k k 1 k 2 k 2 Bài 14: Chứng minh rằng: A n2 4n 38,n lẻ. HD: Ta có: A n 1 n 3 , Vì n là số lẻ, Đặt n 2k 1, k N A 2k 2 2k 4 8 Bài 15: Chứng minh rằng: tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9 HD: Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n 1;n;n 1, n Z Gọi 3 3 A n 1 n3 n 1 3n3 3n 18n 9n2 9 3 n 1 n n 1 9 n2 1 18n Thấy: n 1 n n 1 3 3 n 1 n n 1 9 Vậy A9 Bài 16: Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng : a3 b3 c3 6 khi và chỉ khi a b c6 HD : Xét A a3 b3 c3 a b c a3 a b3 b c3 c Mà a3 a a a 1 a 1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên a a 1 a 1 6 Như vậy A 6 => a3 b3 c3 6 a b c6
  5. Bài 17: Chứng minh rằng: n12 n8 n4 1512,n lẻ HD: Vì n lẻ, Đặt n 2k 1, k N , Khi đó: 2 A n12 n8 n4 1 n4 1 n8 1 n2 1 n2 1 n4 1 2 2 2 4 Thay n 2k 1 vào A ta được: A 64 k k 1 2k 2k 1 n 1 Bài 18: Tìm số tự nhiên n sao cho: n 5 n 6 6n HD: Ta có: A n 5 n 6 n2 11n 30 12n n2 n 30 2 2 n n6 n n 1 3 (1) Vì 12n6n cần chứng minh n n 306n 306n 30n (2) Từ (1) n 3k hoặc n 3k 1, k N Từ (2) n 1;2;3;5;6;10;15;30 n 1;3;10;30 là thỏa mãn. Bài 20: Chứng minh rằng trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27. HD: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là: n,n 1,n 2, ,n 1989 (1) Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp: n,n 1,n 2, ,n 999 phải có 1 số chia hết cho 1000, giả sử là n0 , Khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0 Giả sử tổng các chữ số của n0 là s khi đó 27 số n0 ,n0 9,n0 19, ,n0 899 Có tổng các chữ số lần lượt là: s,s 1,s 2, ,s 26 , sẽ có 1 số chia hết cho 27. Bài 3: Cho a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: ab a b 1 chia hết cho 48 ta có: ab a b 1 a 1 b 1 , HD : Vì a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên: a 2n 1 2 ;b 2n 3 2 với n Z ab a b 1 (a 1)(b 1) 2n 1 2 1 2n 3 2 1 16n n 1 2 n 2 Nên Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48
  6. Dạng 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : A n 2n 7 7n 7 6 . HD : Ta có : n hoặc 7n 7 là số chẵn với mọi số tự nhiên n nên A2 Lấy n chia cho 3 ta được : n 3k r k N,0 r 2 Với r 0 n 3k A3 Với r 1 n 3k 1 2n 7 6k 93 A3 Với r 2 n 3k 2 7n 1 21k 153 A3 Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 2 và 3, Chứng minh rằng : A 4a2 3a 56 HD : Vì a không chia hết cho 2 và 3 nên a có dạng : a 6m 1, m Z 2 Với a 6m 1 A 4 6m 1 3 6m 1 5 6 24m2 11m 2 6 2 Với a 6m 1 A 4 6m 1 3 6m 1 5 6 24m2 5m 1 6 Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: n2 9n 211 HD:
  7. Ta có: n2 9n 211 n2 2n 211 4 n2 2n 2 11 4n2 8n 111 2n 1 2n 3 11 , Khi đó: 2n 111 hoặc 2n 311 n 11m 6 hoặc n 11m 7, m N Bài 4: Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n sao cho 4n2 15 và chia hết cho 13 HD: Đặt n 65k r, k N,0 r 64 Chọn r sao cho 4r2 1 65 r 4 , Vậy với mọi số n 65k 4 đều thỏa mãn. Bài 5: Chứng minh rằng nếu n 3 thì A 32n 3n 113,n N HD: Vì n 3 n 3k r, k N,1 r 2 Khi đó: A 32 3k r 33k r 1 32r 36k 1 3r 33k 1 32r 3r 1 2k Thấy: 36k 1 33 1 33 1 .M 26M13 và 33k 1 33 1 .N 26N13 Với r 1 32r 3r 1 32 3 113 A13 Với r 2 32r 3n 1 34 32 1 9113 A13 Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n 17 HD: Lấy n chia cho 3 ta có: n 3k r, k N,0 r 2 Với r 0 n 3k 2n 1 23k 1 8k 1 8 1 .M 7M7 Với r 1 n 3k 1 2n 1 28k 1 1 2.23k 1 2 23k 1 1 , Mà 2 k 17 2n 1 chia 7 dư 1 Với r 2 n 3k 2 2n 1 23k 2 1 4 23k 1 3 Mà 23k 17 2n 1 chia 7 dư 3 Vậy với n 3k, k N thì 2n 17 Bài 7: Chứng minh rằng: A n n2 1 n2 4 5, n Z HD: Lấy n chia cho 5 ta được: n 5q r, q,r Z,0 r 4 Với r 0 n5 A5 Với r 1,4 n2 45 A5 Với r 2,3 n2 15 A5 5 5 5 Bài 8: Cho A a1 a2 an và B a1 a2 an , Chứng minh rằng: A B30 HD:
  8. 5 5 Ta có: B A a1 a1 an an 5 4 2 Xét a1 a1 a1 a1 1 a1 a1 1 a1 1 a1 1 30 Bài 9: Chứng minh rằng nếu n;6 1 thì n2 124,n Z HD: Vì n;6 1 n 6k r, k,r N,r 1 Với r 1 n2 124 Bài 10: Tìm số tự nhiên n để: 22n 2n 17 HD: Xét n 3k r, k,r N,0 r 2 Ta có: 22n 2n 1 22r 26k 1 2r 23k 1 22n 2n 1 Xét các TH cụ thể ta được: 22n 2n 17 Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: 24m4 1 n2 , Chứng minh rằng: mn5 HD: Ta có: 24m4 1 n2 25m4 m4 1 25m4 m 1 m 1 m2 1 Nếu m5 mn5 ĐPCM Nếu m 5 m;5 1 => m5 m m m4 1 m m 1 m 1 m2 1 m m 1 m 1 m2 4 5 m 2 m 1 m m 1 m 2 5m m 1 m 1 5 Nên m4 15 n2 5 n5 mn5 , ĐPCM. Bài 12: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho : x3 8x2 2xx2 1 HD : Ta có : x3 8x2 2x x x2 1 8 x2 1 x 8x2 1 x 8x2 1 Nếu x 8 0 x 8 thỏa mãn Nếu x 8 x 8 x2 1 x 0 1; 2 x 0;2 Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng: 5a2 15ab b2 49 3a b7 HD: Ta có: 2 5a2 15ab b2 49 5a2 15ab b2 7 9a2 6ab b2 7 3a b 7 3a b7 Mặt khác: 3a b7 3a b 7k k Z b 7k 3a 5a2 15ab b2 2 5a2 15a 7k 3a 7k 3a 49 3ak a2 49
  9. Bài 15: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho a2 b2 chia hết cho tích a.b a2 b2 Tính giá trị của biểu thức: A ab HD: a da1 2 2 2 2 Gọi d a;b , a1;b1 1 , ta có: a b d a1 b1 và ab d a1b1 b db1 2 2 2 2 2 2 2 2 Vì a b ab a1 b1 a1b1 a1 b1 a1 và b1 a1 b1 và b1 a1 Vì a1;b1 1 a1b1 và b1a1 a1 b1 1 d 2 a2 b2 2 2 1 1 2.d a1 Vậy A 2 2 2 2 d a1b1 d a1 Bài 16: Cho m, n là hai số nguyên tố cùng nhau. Hãy tìm ước số chung lớn nhất của hai số A m n và B m2 n2 HD : Gọi d UCLN A;B , Vì m;n 1 A,B cùng tính chẵn lẻ. khi đó : 2mn A2 Bd và 2mn 2n2 2nAd 2n2 d (1) Nếu A, B chẵn thì m, n lẻ và d chẵn, Từ (1) => 2d d 2 Nếu A, B lẻ thì d lẻ, Từ 1 n2 d , tương tự : m2 d Vì m;n 1 d 1 Bài 17: Cho số tự nhiên n 3 , Chứng minh rằng: nếu 2n 10a b, 0 b 10 thì ab6 HD: Ta có: 2n 10a b b2 ab2 , ta cần chứng minh ab3 Mặt khác : 2n 10a b 2n có chữ số tận cùng là b Đặt n 4k r, k,r N,0 r 3 2n 16k.2r Nếu r 0 2n 16k có tận cùng là 6 b 6 ab6 Nếu 1 r 3 2n 2x 2r 16k 1 10 2n tận cùng là 2r b 2r 10a 2n 2x 2r 16k 1 3 a3 ab6 Bài 18: Cho số tự nhiên n 1 , Chứng minh rằng: S 15 25 35 n5  1 2 3 n HD: Đặt: 2A 2 1 2 3 n n n 1 Mặt khác, với n lẻ ta có: an bn a b,(a,b N *)
  10. 5 Nên 2S 15 n5 25 n 1 n5 1 n 1 5 5 5 2S 15 n 1 25 n 2 n 1 1 2n5 n Mà n;n 1 1 2Sn n 1 2A S A p 1 1 1 Bài 19: Cho 1 , p,q Z . Chứng minh rằng p1979 q 2 3 1319 HD: p 1 1 1 1 1 Ta có: 1 2 q 2 1319 2 4 1318 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1319 2 3 659 660 1319 2.p 1 1 1 1 1 1 1979.A 2p.B q q 660 1319 661 1318 1319 660 B 1979.A Mà B 1979 p1979 * Bài 20: Cho a1,a2 ,a3, an 1; 1, n N , thỏa mãn: a1a2 a2a3 a3a4 ana1 0 , Chứng minh rằng: n4 HD: Đặt x1 a1a2 , x2 a2a3, , xn ana1 x1, x2 , x3 1; 1 , Hơn nữa x1 x2 xn 0 Thì trong đó các số bằng 1 và -1 là bằng nhau. Giả sử có m số 1 và m số -1 (m N *) m 2 n 2m và x1x2 x3 xn 1 và x1x2 x3 xn a1a2 an 1 Từ đó ta được m là số chẵn => n chia hết cho 4. 7 Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b sao cho: ab a b  7 và a b a7 b7 77 HD: 7 2 Ta có: a b a7 b7 7ab a b a2 ab b2 Vì ab a b  7 a2 ab b2 73 Chọn b 1 a2 a 1 73 a
  11. Dạng 3: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG Bài 1: Chứng minh rằng : S n2 3n 38 49,n N HD: Giả sử tồn tại số tự nhiên n để S n2 3n 3849 Khi đó: S n2 3n 38 7 n 6 n2 4n 4 , 2 Mà S49 S7 n 2 7 n 27 n 7t 2 , thay vào S ta được: S 49 t 2 t 28 S  49 trái với giả sử, Vậy S không chia hết cho 49 với mọi số tự nhiên n Bài 2: Chứng minh: n2 n 215,n Z HD: Giả sử: n2 n 215 n2 n 23 n n 1 23 (1) n 3k 1 Từ (1) n 3 ,k Z n 3k 1 n2 1 n 1 n 1 3 Lại có: n2 n 2 n2 1 n 3 3 mâu thuẫn với giả thiết, Vậy n2 n 215 Bài 3: Chứng minh rằng: n2 3n 5121,n N HD: Giả sử: 2 n2 3n 5121 n2 3n 511 4n2 12n 2011 4n2 12n 9 1111 2n 3 1111 Nhưng A n2 3n 511 nhưng A121 vì 11 121 n2 4 Bài 4: Xét phân số A Hỏi có bao nhiêu phân số tự nhiên n trong khoảng từ n 5 1 đến 2002 sao cho phân số A chưa tối giản. HD: Giả sử A chưa tối giản. Đặt d n2 4;n 5 d 1 2 Ta có: n 5 n2 4 d 10n 21d 10 n 5 29d 29d d 29 . Ngược lại: Nếu n 529 n 5 29k, k N * n2 4 29 29m2 5k 1 29 A chứ tối giản Do đó, ta chỉ cần tìm n sao cho n 5 29k, k N * 1 n 2002 1 m 69 Vậy có tất cả 69 giá trị của m thì n sẽ có 69 giá trị để A chưa tối giản.
  12. Bài 5: Chứng minh rằng: 9n3 9n2 3n 16 343,n N HD: Bài 6: Có tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 n 249 không HD: Giả sử tông tại số tự nhiên n để 2 2 n2 n 249 4n2 4n 849 2n 1 749 2n 1 7 2 Vì 7 là số nguyên tố 2n 17 2n 1 749 từ đó 749 ( vô lý) Bài 7: Chứng minh rằng: n2 n 19,n N * HD: Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 n 19 n 2 n 1 39 Vì 3 là số nguyên tố nên n 2 3 hoặc n 1 3 Nếu n 2 3 n 2 n 1 33 nhưng không chia hết cho 9 Nếu n 1 3 n 2 n 1 3 nhưng không chia hết cho 9 Bài 8: Chứng minh rằng: 4n2 4n 18289,n N HD: Giả sử tồn tại số tự nhiên n để 2 4n2 4n 18289 2n 1 17172 2n 1 17 2 Vì 17 là số nguyên tố nên 2n 1 17 2n 1 289 Khi đó: 2 2n 1 17 289 Bài 9: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a;b sao cho: a b2  a2b 1 HD: Gỉả sử a b2 a2b 1 k N * : a b2 k a2b 1 a k b ka2 b Đặt m ka2 b, m Z a k mb , Do a,b,k N * m N * , khi đó ta có: m 1 b 1 mb m b 1 a k ka2 1 a 1 k ka 1 , Vì m,b N * m 1 b 1 0 1 k a 1 , Do k,a N * a 1 0 ta có : TH1 : k a 1 0 a 1 thay vào đẳng thức ta được : m 1 b 1 a 1 k ka 1 m 1 1 m 2 Ta được: m 1 b 1 2 b 1 2 b 3 TH2: k a 1 1 k a 1 1 k 1 và a 2 , Thay k 1,a 2 vào đẳng thức ta được:
  13. m 1 b 1 a 1 k ka 1 ta được: m 1 b 1 0 m b 1 Nếu m 1 thì từ a k mb b 3 Vậy các cặp số a;b 1;2 , 1;3 , 2;1 , 2;3
  14. Dạng 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: An Bn  A B ,n LẺ Bài 1: Chứng minh rằng A 2005n 60n 1897n 168n 2004,n N HD: Ta có: 2004 12.167 , ta cần chứng minh A12, A167 Ta có : A 2005n 1897n 168n 60n Áp dụng tính chất : an bn  a b , với mọi n tự nhiên và a b 0 Khi đó : 2005n 1897n  2005 1897 và 168n 60n  168 60 => Vậy A 12 Tương tự : A 2005n 168n 1897n 60n Khi đó A167 Bài 2: Cho n N , CMR : A 5n 5n 1 6n 3n 2n 91 HD: Ta cần chứng minh A7 và A13 Ta có : A 25n 5n 18n 12n 25n 18n 12n 5n Áp dụng tính chất : an bn  a b A7 Tương tự : A 25n 12n 18n 5n A13 Bài 3: Cho n N , Chứng minh rằng: 62n 19n 2n 117 HD: Ta có: A 62n 19n 2n 1 36n 19n 2.2n 36n 2n 19n 2n Vì 36n 2n  36 2 34 và 19n 2n 17 Bài 4: Chứng minh rằng: 13 33 53 73 23 HD : Ta có: A 13 33 53 73 13 73 33 53 8N 8M8 Bài 5: Chứng minh rằng: 28n.56n 1980n 441n 11979,n N HD: Ta có: A 28n.56n 1980n 441 1 46n 441n 1980n 1n Vì 46n 441n 4000000n 441n 3999559 và 1980n 1n 1979 Bài 6: Chứng minh rằng: 36n 26n 35,n N HD: n n Ta có: 36n 26n 36 26 36 26 .M 33 23 33 23 .M 35.19M35 Bài 7: CMR với mọi số tự nhiên n ta có : 5n 2 26.5n 82n 1 59 HD : Ta có:5n 2 26.5n 82n 1 59 = 51.5n 8.64n 59 8 .5n 8.64n 59.5n 8 64n 5n
  15. Vì 64n 52  64 5 nên ta có đpcm Bài 8: Chứng minh rằng: 92n 1415 HD: Ta có: 92n 14 92n 1 15 81n 1 15 80n 155 Bài 9: Chứng minh rằng: A 20n 16n 3n 1232,n N HD: Tách 232 17.19 . Khi đó: A 20n 3n 16n 1 Lại có: 20n 3n 20 3 .M 17M17 , và 16n 1 16 1 .N 17N17 Khi đó: A17 Mặt khác: A 20n 1 16n 3n , Mà 20n 1 20 1 .P 19.P19 và 16n 3n 16 3 .Q 19.Q19 A19 2 Bài 10: Chứng minh rằng: nn n2 n 1 n 1 ,n 1 HD: 2 Với n 2 nn n2 n 1 1 n 1 1 Với n 2 A nn n2 n 1 nn n2 n 1 n2 nn 2 1 n 1 n2 n 1 nn 3 nn 4 1 n 1 n 1 nn 1 nn 2 n2 1 n 1 nn 1 1 n2 1 n 1 2 2 n 1 .M n 1 Bài 11: Chứng minh rằng: 32n 1 22n 2 7,n N HD: n Ta có: 32n 1 22n 2 3.32n 2.2n 3.9n 4.2n 3. 7 2 4.2n 7.M 7.2n 7 Bài 12: Chứng minh rằng: mn m4 n4 30,m,n N HD: Ta có: mn m4 n4 mn m2 1 m2 1 mn n2 1 n2 1 30 Bài 13: Chứng minh rằng: A 3n 6372,n N,n 2 và n là số chẵn HD:
  16. Đặt n 2k, k N 3n 63 32k 63 32k 1 64 9k 1 648 hay A8 Mặt khác: n 2 3n 9 và 639 A9 Bài 14: Tìm giá trị của n để: A 20n 16n 3n 1323 HD: Ta có: 323 17.19 Bài 15: Tìm số tự nhiên n để A 32n 3 24n 125 HD: Ta có: A 32n 3 24n 1 32n.27 24n.2 32n.25 32n.2 24n.2 32n.25 2 9n 16n Bài 16: Cho a, b là hai số chính phương lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng: a a 1 b 1 192 HD: 2 2 Đặt a 2k 1 ,b 2k 1 , k N , Khi đó ta có: a 1 b 1 16k k 1 k 1 64 và  3 Bài 17: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: a2 b2 c2 , Chứng minh rằng: abc60 HD : Ta có : 60=3.4.5, đặt M abc Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3 a2 ,b2 ,c2 chia hết cho 3 dư 1 a2 b2 c2 , Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy M3 Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5 a2 ,b2 ,c2 chia 5 dư 1 hoặc 4 b2 c2 chia 5 dư 2 hoặc 0 hoặc 3 a2 b2 c2 , Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5 => M 5 Nếu a, b, c là các số lẻ b2 ,c2 chia 4 dư 1 b2 c2  mod 4 a2 b2 c2 Do đó 1 trong hai số a, b phải là số chẵn. Giả sử b là số chẵn: + Nếu c là số chẵn =>M 4 + Nếu c là số lẻ, mà a2 b2 c2 a là số lẻ b2 a c a b 2 b a c a c b chẵn b4 M4 2 2 2 2 Vậy M abc3.4.5 Bài 18: Chứng minh rằng: 36n2 60n 2424 HD : Ta có: 36n2 60n 24 12n 3n 5 24 , Thấy n;3n 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ n 3n 5 2 => ĐPCM
  17. Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Bài 1: Chứng minh A 16n 15n 1225,n N * HD: Với n 1 A 0225 đúng Giả sử n k 1 và A 16k 15k 1225 Ta cần chứng minh với n k 1 thì 16k 1 15 k 1 1225 Thật vậy: 16k 1 15 k 1 1 16.16k 15k 16 16k 15k 1 15.16k 15 16k 15k 1 15.15.M A 225.M225 Vậy A 16n 15n 1225,n N * Bài 2: Chứng minh rằng: 33n 3 26n 2729,n 1 HD: Bài 3: Chứng minh rằng: 42n 2 115,n N *