Bài ôn tập môn Toán 8 - Chuyên đề 6: Bất đẳng thức

80 trang hoaithuong97 6340

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài ôn tập môn Toán 8 - Chuyên đề 6: Bất đẳng thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_on_tap_mon_toan_8_chuyen_de_6_bat_dang_thuc.doc

Nội dung text: Bài ôn tập môn Toán 8 - Chuyên đề 6: Bất đẳng thức

ĐS8-Chuyên đề 6: BẤT ĐẲNG THỨC Qua Các Đề Thi HSG Môn Toán Lớp 8 A.Bài toán Bài 1. Cho x, y, z dương và x y z 1.Chứng minh rằng : 1 1 1 9 x2 2yz y2 2xz z2 2xy 1 Bài 2: Chứng minh rằng: a2 b2 với a b 1 2 Bài 3 : Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Bài 4 : Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 5 : a) Chứng minh x2 x 1 0 (với mọi x) x2 x 1 1 b) Chứng minh: x2 x 1 3 x2 x 1 c) Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : A x2 x 1 Bài 6 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 3 x 1 B x3 x2 x 1 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2006 x 2007 2006 2010x 2680 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 1 1 1 Bài 9 : Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c Bài 10: Tìm các giá trị của x để biểu thức:
P x 1 x 2 x 3 x 6 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 11 : Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c 1 1 1 1 Bài 12 : Chứng minh rằng: P 1 22 32 42 1002 Bài 13 Cho a,b thỏa mãn a2 b2 8.Chứng minh 4 a b 4 2 Bài 14: Cho hai số x, ythỏa mãn điều kiện x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 y2 Bài 15 : Cho các số a,b,c thỏa mãn 1 a,b,c 0. Chứng minh rằng: a b2 c3 ab bc ca 1 1 1 1 Bài 16 : Cho ba số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9. a b c a b c Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi p với a,b,c là độ dài ba cạnh 2 Chứng minh 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c Bài 18 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3. 1 1 1 3 Chứng minh rằng: x2 x y2 y z2 z 2 Bài 19 : Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1. 1 1 1 3 Chứng minh rằng: . a3 b c b3 c a c3 a b 2 2 2 1 1 Bài 20 : Cho x, y 0 thỏa mãn x y 2.Chứng minh rằng : x y 8 x y 1 Bài 21 : Cho hai số a,bthỏa mãn điều kiện a b 1.Chứng minh : a3 b3 ab 2 Bài 22 : Chứng minh rằng a 1 a 3 a 4 a 6 10 0 với mọi a. Bài 23 : Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e Bài 24 : Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. CMR:
1 1 1 1 1 1 2. p a p b p c a b c a b b c c d a d Bài 25 : Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: b c c d d a a b 1 1 1 1 Bài 26 : Chứng minh rằng: B 1 22 32 42 1002 Bài 27 : So sánh hai số sau: C 2 1 22 1 24 1 28 1 216 1 và D 232 Bài 28 : Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 2016 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2a 3b 3c 1 3a 2b 3c 3a 3b 2c 1 thức: P 2015 a 2016 b 2017 c Bài 29 : Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác. ab bc ac Chứng minh: a b c a b c a b c a b c a2 b2 c2 c b a Bài 30 : Chứng minh rằng: b2 c2 a2 b a c 1 1 1 Bài 31 : CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c 1 1 2 Bài 32: Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 x2 1 y2 1 xy Bài 33 : Cho các số thực a,b,c 1. Chứng minh rằng 1 1 1 4 4 4 3 2a 1 2b 1 2c 1 a b b c c a 2 m2 n2 m n Bài 34 : a) Cho x 0, y 0 và m,n là hai số thực. Chứng minh rằng x y x y b) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1 1 1 1 3 Chứng minh rằng: a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 35 : Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 3 a b c a2 b2 c2 2 b c c a a b b2 c2 c2 a2 a2 b2
a b c 3 Chứng minh (1) b c c a a b 2 Bài 36 : Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 a b c 3 Bài 37: Cho a,b,c 0;a b c 3.Chứng minh rằng: 1 b2 1 c2 1 a2 2 x2 y2 z2 x y z Bài 38 : Cho x, y, z 0. CMR: y z x z x y 2 Bài 39 : Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh: a b c 1 1 b a 1 c b 1 a c Bài 40 : Cho a b c 3.Chứng minh rằng: a4 b4 c4 a3 b3 c3 Bài 41 : Chứng minh rằng : x 1 x 3 x 4 x 6 10 0 với mọi x Bài 42 : Cho x 0, y 0, z 0 và x y z 1. 7 Chứng minh rằng xy yz zx 2xyz 27 Bài 43 : Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 y2 z2 1. x3 y3 z3 1 Chứng minh rằng: y 2z z 2x x 2y 3 Bài 44 : a. Chứng minh x2 x 1 0 (với mọi x) x2 x 1 1 b. Chứng minh: x2 x 1 3 Bài 45: Cho x,y,z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 Bài 46: CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c Bài 47: Cho x,y,z dương và x y z 1. Chứng minh rằng : 1 1 1 9 x2 2yz y2 2xz z2 2xy 1 Bài 48: Chứng minh rằng: a2 b2 với a b 1 2
Bài 49: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Bài 50: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 2 Bài 51: Cho biểu thức A b2 c2 a2 4b2c2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử b) Chứng minh rằng: Nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A 0 1 1 1 Bài 52: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c x2 y2 x y Bài 53: Cho Chứng minh rằng : x, y 0. 2 2 4 3 y x y x Bài 54: Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 a2 b2 c2 4a2b2 0 Bài 55: Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Bài 56: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 57: Cho 2 số a và b thỏa mãn a 1;b 1.Chứng minh: 1 1 2 1 a2 1 b2 1 ab 1 1 4 Bài 58: Chứng minh rằng: a,b 0 a b a b Bài 59: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 60: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x y z 3.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 x2 x y2 y z2 z 2
x2 y2 x y Bài 61: Cho Chứng minh rằng : x,y 0. 2 2 4 3 y x y x Bài 62: Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 a2 b2 c2 4a2 b2 0 1 1 2 Bài 63: Cho 2 số a và b thỏa mãn a 1; b 1. Chứng minh: 1 a2 1 b2 1 ab Bài 64: Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Bài 65: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 66: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1.Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 b c c a a b Bài 67: Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 Bài 68: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c a b b c c d a d Bài 69: Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: b c c d d a a b 1 1 1 1 Bài 70: Chứng minh rằng: P 1 22 32 42 1002 1 Bài 71: Chứng minh rằng: a2 b2 với a b 1 2 Bài 72: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) 2 m2 n2 m n Bài 73: a) Cho x 0, y 0 và m,n là hai số thực. Chứng minh rằng x y x y b) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1 1 1 1 3 Chứng minh rằng: a3 b c b3 c a c3 a b 2 2 2 1 1 25 Bài 74: Cho a,b 0 thỏa mãn a b 1. Chứng minh a b b a 2 Bài 75: Cho a3 b3 2.Chứng minh rằng a b 2 Bài 76: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a b c A 3 b c a a c b a b c Bài 77: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Bài 78: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. 1 1 1 1 1 1 CMR: 2. p a p b p c a b c Bài 79: Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 a2 b2 c2 4a2b2 0 Bài 80: Cho biểu thức A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4.Chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 cạnh của một tam giác thì A 0 Bài 81: Cho bốn số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng: a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau: x2 y2 z2 t 2 x y z t . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 4 4 3 3 b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có: x y xy x y Bài 83: a) Cmr : x 1 x 2 x 3 x 4 1 1 1 b) Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện a b 1 . Cmr : 1 1 9 a b Bài 84: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 c b a a) b2 c2 a2 b a c b) x8 x7 x2 x 1 0 3 Bài 85: Cmr: a) a2 b2 c2 a b c 4 4 4 b) a b 2 4ab Bài 86: Chứng minh rằng: a) x3 4x 1 3x2 với x 0 ; b) x 1 x 3 x 4 x 6 9 0 ; c) a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc Bài 87: Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau: a2 b2 a b 2 2 4 3 b a b a x y 2 Bài 88: Chứng minh BĐT: x2 y2 2 a2 Bài 89: a) Chứng minh: b2 c2 ab ac 2bc 4
b) Chứng minh: a4 b4 c4 abc a b c 1 1 1 1 c) Chứng minh: với n N, n 1 . 5 13 n2 n 1 2 2 1 1 1 1 d) Chứng minh: với n N, n 1 9 25 2n 1 2 4 a2 b2 a b e) Cho a và b cùng dấu. Chứng minh: 2 2 0 b a b a Bài 90: Cho ba số dương a,b,c 1 1 1 a) Chứng minh rằng:; a b c 9 a b c a b c 3 b) Chứng minh rằng: b c c a a b 2 Bài 91: Cho a b c 0 , chứng minh: P a3 b3 c3 3abc 0 . Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 a b c d a) a c b d ; b) ab bc ca 0 khi a b c 0 . 2 2 Bài 93: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác a) Chứng minh rằng: ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca b) Chứng minh rằng: a b c 2 3 ab bc ca thì tam giác đó là tam giác đều. Bài 94: Cho x y 2 . Chứng minh rằng: x2017 y2017 x2018 y2018 . 1 1 1 1 2 Bài 95: a) Chứng minh: Hvới n N, n 2 22 32 42 n2 3 1 1 1 1 1 b) Chứng minh: K với n N, n 3 33 43 53 n3 12 Bài 96: Cho ba số x, y, z. a) Chứng minh x2 y2 z2 xy yz zx ; x y z b) Khi 673 . Chứng minh xy yz zx 2019 . 3 2 2 1 1 25 Bài 97: Cho a,b 0 thỏa mãn a b 1.Chứng minh a b b a 2 Bài 98: Với a,b,c 0 . Hãy chứng minh các BĐT: ab bc ab bc ca a) 2b ; b) a b c ; c a c a b a3 b3 b3 c3 c3 a3 c) a b c . 2ab 2bc 2ca Bài 99: a) Cho a2 b2 2 . Chứng minh rằng: a b 2 .
b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh: 4a a b a 1 a b 1 b2 0 c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: abc b c a a c b a b c Bài 100: 2 2 1 1 25 Cho a,b 0 thỏa mãn a b 1.Chứng minh a b b a 2 Bài 101: Cho các số a,b,c thỏa mãn 1 a,b,c 0.Chứng minh rằng: a b2 c3 ab bc ca 1 Bài 102: Cho a3 b3 2.Chứng minh rằng a b 2 Bài 103: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Bài 104: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 b c c a a b Bài 105: Cho a,b thỏa mãn a2 b2 8.Chứng minh 4 a b 4 1 1 1 Bài 106: CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c Bài 107: Cho biểu thức A 2a2 b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 .Chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 cạnh của một tam giác thì A 0 1 1 1 Bài 108: CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác a b c Chứng minh rằng A 3 b c a a c b a b c 1 1 1 1 1 1 Bài 110: Chứng minh rằng a b c a b c , trong đó a, b, c là các b c a a b c số thực không nhỏ hơn 1. Bài 111: Chứng minh a 2 b2 c2 2 ab bc ca với mọi số thực a, b, c. a 3c a 3b 2a Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 5 . a b a c b c Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c abc . Chứng minh rằng 1 1 1 a b c 3 a b c 1 1 25 Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng (a )(b ) . a b 4 Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c Bài 116: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 a b c + + b c c a a b 2 x y x2 y2 Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh: x y x2 y2 Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 0 với mọi a, b, c. 1 1 1 Bài 119: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1.Chứng minh rằng 9 a b c Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. a b c 3 Chứng minh rằng: . 1 b2 1 c2 1 a2 2 Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Bài 122: Cho các số thực dương thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng: x y 4 Bài 123: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 6 . Chứng minh rằng xyz 9 Bài 124: Cho a,b,c 0 Chứng minh rằng a b c 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b 6 a b c Bài 125: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: a b b c c a 1 1 1 bc a2 ac b2 ab c2 a b c Bài 126: Cho a,b,c là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng a2 b2 c2 5
1 1 1 1 1 1 Bài 127: Chứng minh rằng: a b c a b c , trong đó a,b,c là các b c a a b c số thực không nhỏ hơn 1 Bài 128: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c 1 1 1 1 Bài 129: Chứng minh rằng: P 1 22 32 42 1002 bc ac ab Bài 130: Chứng minh a b c với mọi số dương a,b,c. a b c Bài 131: Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : a b c A 3 b c a a c b a b c Bài 132: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1.Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 b c c a a b x2 y2 x y Bài 133: Cho x, y 0.Chứng minh rằng : 2 2 4 3 y x y x Bài 134: Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 a2 b2 c2 4a2b2 0 Bài 135: Cho a,b,c là các số dương. 1 1 1 27 Chứng minh: a a b b b c c(c a) 2(a b c)2 Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức: a b c 3 với a b c 0 a b b c c a 2 1 Bài 137: Cho a b 1 . Chứng minh a2 b2 2 Bài 138: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c 1 1 1 Bài 139: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c
1 1 2 Bài 140: Cho x, y thỏa mãn xy 1.Chứng minh rằng: 1 x2 1 y2 1 xy Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 y2 z2 xy xz yz với mọi x, y, z Bài 142: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 143: Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy Bài 144: a) Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. 1 1 1 1 1 1 CMR: 2. p a p b p c a b c a b b c c d a d b)Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: b c c d d a a b B.Lời giải Bài 1 : Cho x, y, z dương và x y z 1.Chứng minh rằng : 1 1 1 9 x2 2yz y2 2xz z2 2xy Lời giải Đặt a x2 2yz;b y2 2xz;c z2 2xy 2 a,b,c 0và a b c x y z 1 1 1 1 Chứng minh: a b c 9 a b c 1 1 1 9 1 1 1 9 hay 9(dfcm) a b c a b c x2 2yz y2 2zx z2 2xy 1 Bài 2 : Chứng minh rằng: a2 b2 với a b 1 2 Lời giải Theo bài ra ta có: a b 1 a2 2ab b2 1 (1)
2 Mặt khác : a b 0 a2 2ab b2 0 (2) 1 Từ (1) và (2) suy ra: 2 a2 b2 1 a2 b2 2 Bài 3 : Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt x b c a; y a c b ; z a b c x, y, z 0 x y z a b c y z 2a a b c b c a x y z x y z a 2 x z x y Tương tự: b ;c 2 2 y z x z x y BĐT chứng minh tương đương với: 6 x y z y x z x y z a b 6 do 2 x y x z z y b a Vậy bất đẳng thức được chứng minh Bài 4 : Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi a,b,c ¡ và x, y, z 0 ta có: 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z Thật vậy, với a,b ¡ và x, y 0 ta có: 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2 x x y xy(a b)2
2 bx ay 0 (luôn đúng) a b Dấu " " xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ta có: 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vì abc 1) ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy .(đpcm) a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 5 a) Chứng minh x2 x 1 0 (với mọi x) x2 x 1 1 b) Chứng minh: x2 x 1 3 x2 x 1 c) Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : A x2 x 1 Lời giải
2 2 1 3 a) x x 1 x 0 (với mọi x) 2 4 b) Từ kết quả câu a, nhân 2 vế của BĐT với số dương 3 x2 x 1 được: 3x2 3x 3 x2 x 1 2 2x2 4x 2 0 2 x 1 0 (luôn đúng) x2 x 1 1 Suy ra: x2 x 1 3 2 2 2 x2 x 1 3 x x 1 x x 1 3 x x 1 c) x2 x 1 x2 x 1 2 2x2 4x 2 2 x 1 3 3 3 x2 x 1 x2 x 1 Vậy MaxA 3 x 1 Bài 6 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 3 x 1 B x3 x2 x 1 Lời giải 2 2 a) Ta có: A x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y y 2 1 2 2 Do x y 0; y 2 0 2 2 Nên A x y y 2 1 1 Dấu “=” xảy ra x y 2 Vậy MinA 1 x y 2 3(x 1) 3 x 1 3 b) B x2 x 1 x 1 x 1 x2 1 x2 1 B Do x2 1 1 3 . Đẳng thức xảy ra x 0 x2 1 Vậy MaxB 3 x 0 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2006 x 2007 2006
Lời giải Ta có : P x 2006 x 2007 2006 x 2006 2007 x 2006 x 2006 2007 x 2006 2007 Vậy min P 2007 2006 x 2007 2010x 2680 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Lời giải 2010x 2680 A x2 1 2 335x2 335 335x2 2010x 3015 335 x 3 335 335 x2 1 x2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 335 khi x 3 1 1 1 Bài 9 : Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c Lời giải Từ 1 b c 1 a a a 1 a c a b c 1 1 b b b 1 a b 1 c c c 1 1 1 a b a c b c 3 3 2 2 2 9 a b c b a c a c b 1 Dấu “=” xảy ra a b c 3 Bài 10 : Tìm các giá trị của x để biểu thức: P x 1 x 2 x 3 x 6 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải 2 P x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 x2 5x 36
2 2 Ta thấy x2 5x 0 nên P x2 5x 36 36 2 x 0 Do dó MinP 36 x 5x 0 x 5 Bài 11 : Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0 y z x z x y từ đó suy ra a ;b ;c ; 2 2 2 Thay vào ta được y z x z x y 1 y x x z y z A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 hay A 3 2 1 1 1 1 Bài 12 : Chứng minh rằng: P 1 22 32 42 1002 Lời giải 1 1 1 1 P 22 32 42 1002 1 1 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 99 1 1 1 2 2 3 3 4 99 100 100 100 Bài 13 : Cho a,b thỏa mãn a2 b2 8.Chứng minh 4 a b 4 Lời giải Ta có: 2 a b 0 a2 b2 2ab mà a2 b2 8 nên 2ab 8 a b 2 a2 b2 2ab 8 8 16
a b 2 16 0 a b 4 a b 4 0 4 a b 4(dfcm) 2 Bài 14 :Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 y2 Lời giải 2 x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0 x4 y4 2x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0 2 x4 2x2 y2 y4 x2 2y2 0 x2 y2 2 x2 y2 1 3x2 1 2 x2 y2 1 3x2 1 2 Ta có: 3x2 1 1x x2 y2 1 1 1 x2 y2 1 1 0 A 2 x 0 Vậy min A 0 x y 0 A 0 2 2 x y 0. x y 0 x 0 x 0 x 0 . Vậy A 2 2 2 2 max A 2 2 x y 2 y 2 y 2 Bài 15 : Cho các số a,b,c thỏa mãn 1 a,b,c 0. Chứng minh rằng: a b2 c3 ab bc ca 1 Lời giải Vì b,c 0;1 nên suy ra b2 b;c3 c Do đó : a b2 c3 ab bc ca a b c ab bc ca (1) Lại có: a b c ab bc ca a 1 b 1 c 1 abc 1 (2) Vì a,b,c 0;1 nên a 1 b 1 c 1 0; abc 0 Do đó từ 2 a b c ab bc ca 1 3 Từ (1) và (3) suy ra a b2 c3 ab bc ca 1 1 1 1 Bài 16 : Cho ba số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9. a b c Lời giải Từ 1 b c 1 a a a 1 a c a b c 1 1 b b b 1 a b 1 c c c
1 1 1 a b a c b c 3 3 2 2 2 9 a b c b a c a c b 1 Dấu bằng xảy ra a b c 3 a b c Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi p với a,b,c là độ dài ba cạnh 2 1 1 1 1 1 1 Chứng minh 2 p a p b p c a b c Lời giải 1 1 4 Ta có : p c p b a 1 1 4 1 1 4 Tương tự: ; p c p a b p b p c c Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều: 1 1 1 4 4 4 2 p c p b p a a b c 1 1 1 1 1 1 2 p c p b p a a b c Bài 18 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3. 1 1 1 3 Chứng minh rằng: x2 x y2 y z2 z 2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 Đặt P x2 x y2 y z2 z x x 1 y y 1 z z 1 1 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 1 1 1 1 1 1 x y z x 1 y 1 z 1 1 1 1 9 1 1 1 1 Áp dụng BĐT và . với a,b,cdương, dấu bằng a b c a b c a b 4 a b xảy ra a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: . 1 ; . 1 ; . 1 x 1 4 x y 1 4 y z 1 4 z Bởi vậy 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P . 1 1 1 x y z x 1 y 1 z 1 x y z 4 x y z
3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3 . . (dfcm) 4 x y z 4 4 x y z 4 4 4 2 Bài 19 : Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1. 1 1 1 3 Chứng minh rằng: . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi a,b,c ¡ và x, y, z 0 ta có: 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z Thật vậy, với a,b ¡ và x, y 0 ta có: 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2 x x y xy(a b)2 2 bx ay 0 (luôn đúng) a b Dấu " " xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ta có: 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vì abc 1) ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c
1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy .(đpcm) a3 b c b3 c a c3 a b 2 2 2 1 1 Bài 20 : Cho x, y 0 thỏa mãn x y 2.Chứng minh rằng : x y 8 x y Lời giải 1 2 Bài toán phụ : Chứng minh rằng a2 b2 a b (1) 2 Chứng minh 1 2a2 2b2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 0 a b 2 0 Áp dụng bài toán phụ (1) ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 x y x y (2) x y 2 x y 2 2 2 1 1 x y 2 Mà x y 2 2 (vì x y 2) x y xy xy 2 x y 2 2 Với x, y 0 ta có: 0 xy (vì x y 0 x y 4xy) 4 1 4 2 8 xy x y 2 xy x y 2 2 2 8 2 2 2 2 2 16(Vi x y 2) 2 xy x y 2 1 1 x y 16 (3) x y 2 2 1 1 Từ (2) và (3) suy ra : x y 8 x y 1 Bài 21 : Cho hai số a,bthỏa mãn điều kiện a b 1.Chứng minh : a3 b3 ab 2 Lời giải 1 1 Ta có: a3 b3 ab 1 a3 b3 ab 0 2 2 1 a b a2 b2 ab ab 0 2 1 a2 b2 0 (vì a b 1) 2
2 2a2 2b2 1 0 2a2 2 1 a 1 0 (Vì b 1 a) 2 2 2 1 2a 2 4a 2a 1 0 4 a a 0a (2) 4 (2) đúng nên (1) đúng ta có đpcm. Bài 22 : Chứng minh rằng a 1 a 3 a 4 a 6 10 0 với mọi a. Lời giải a 1 a 3 a 4 a 6 10 a2 7a 6 a2 7a 12 10 Đặt t a2 7a 6. Khi đó ta có: a 1 a 3 a 4 a 6 10 a2 7a 6 a2 7a 12 10 t 3 2 1 0. Bài 23 : Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e Lời giải Ta có: 2 1 1 2 2 a b 0 a b ab (1) 2 4 2 1 1 2 2 a c 0 a c ac (2) 2 4 2 1 1 2 2 a d 0 a d ad (3) 2 4 2 1 1 2 2 a e 0 a e ae (4) 2 4 Ta cộng 1 , 2 , 3 , 4 vế theo vế ta được: 1 4. a2 b2 c2 d 2 e2 ab ac ad ae 4 a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e Bài 24 : Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. 1 1 1 1 1 1 CMR: 2. p a p b p c a b c Lời giải Ta có:
1 1 4 2 p a p b p a p b c 1 1 4 2 p b p c p a p c a 1 1 4 2 p c p a p c p a b Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh a b b c c d a d Bài 25 : Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: b c c d d a a b Lời giải Ta có: a b b c c d a b a b b c c d d a 0 b c c d d a a b b c c d d a a b a c b d c a d b 4 b c c d d a a b Xét a c b d c a d b 4 b c c d d a a b 1 1 1 1 a c b d 4 b c d a c d a b 4 4 a c . b d . 4 0 a b c d a b c d đpcm Dấu " " xảy ra khi a b c d 1 1 1 1 Bài 26 : Chứng minh rằng: B 1 22 32 42 1002 Lời giải 1 1 1 1 B 22 32 42 1002 1 1 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 2 2 3 99 100 100 Vậy B 1 Bài 27 : So sánh hai số sau: C 2 1 22 1 24 1 28 1 216 1 và D 232 Lời giải
C 2 1 22 1 24 1 28 1 216 1 2 1 C 2 1 2 1 22 1 24 1 28 1 216 1 C 22 1 22 1 24 1 28 1 216 1 C 24 1 24 1 28 1 216 1 C 28 1 28 1 216 1 C 216 1 216 1 232 1 Vì 232 1 232 nên C D Bài 28 : Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 2016 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2a 3b 3c 1 3a 2b 3c 3a 3b 2c 1 thức: P 2015 a 2016 b 2017 c Lời giải Ta có: 2a 3b 3c 1 3a 2b 3c 3a 3b 2c 1 P 2015 a 2016 b 2017 c b c 4033 c a 4032 a b 4031 2015 a 2016 b 2017 c Đặt 2015 a x 2016 b y 2017 c z b c 4033 c a 4032 a b 4031 P 2015 a 2016 b 2017 c y z z x x y y x x z y z x y z x y z x z y y x z x y z 2 . 2 . 2 . 6 (Co si) x y x z z y Dấu " " xảy ra khi x y z suy ra a 673,b 672,c 671 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 6 khi a 673,b 672,c 671 Bài 29 : Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác. ab bc ac Chứng minh: a b c a b c a b c a b c Lời giải Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên a b c 0; a b c 0;a b c 0
Đặt x a b c 0; y a b c 0; z a b c 0 y z x z x y Ta có: x y z a b c;a ;b ;c 2 2 2 ab bc ac y z x z x z x y x y y z a b c a b c a b c 4z 4x 4y 1 xy yz xz 1 1 xy yz xz 3x 3y 3z 3 x y z . 2 2 2 4 z x y 4 2 z x y 1 y x z x y z z x y . 3 x y z . . . 4 2 z x 2 z y 2 y x 1 . 3 x y z x y z x y z 4 Mà x y z a b c nên suy ra điều phải chứng minh. a2 b2 c2 c b a Bài 30 : Chứng minh rằng: b2 c2 a2 b a c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức x2 y2 2xy . Dấu bằng xảy ra khi x y a2 b2 a b a 2. . 2. b2 c2 b c c a2 c2 a c c 2. . 2. b2 a2 b a b c2 b2 c b b 2. . 2. a2 c2 a c a Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có: a2 b2 c2 a c b a2 b2 c2 a c b 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a c b a b c a c b a Dấu " " xảy ra khi a b c 1 1 1 Bài 31 : CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c Lời giải 1 1 1 a a b b c c A a b c 1 1 1 a b c b c a c a b a b a c c b 3 b a c a b c
x y Mà 2 (BĐT Cô si) y x Do đó: A 3 2 2 2 9 . Vậy A 9 Bài 32 : Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy Lời giải 1 1 2 1 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x y x y x y 0 1 x2 1 xy 1 y2 1 xy y x 2 xy 1 0 2 1 x2 1 y2 Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 (2) BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu " " xảy ra khi x y Bài 33 : Cho các số thực a,b,c 1.Chứng minh rằng 1 1 1 4 4 4 3 2a 1 2b 1 2c 1 a b b c c a Lời giải 2 1 1 Ta có: a 1 0 a2 2a 1 2a 1 a2 1 1 1 Nên VT 3 a2 b2 c2 1 1 2 8 8 8 1 1 8 Ta lại có: ; 2 2 a2 b2 ab a b 2 a b 2 a b a2 b2 a b 1 1 8 1 1 8 Tương tự: 2 ; 2 b2 c2 b c c2 a2 c a 1 1 1 4 4 4 Suy ra: 3 a2 b2 c2 a b b c c a
1 1 1 4 4 4 Do vậy, 3 2a 1 2b 1 2c 1 a b b c c a Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c 1 Bài 34 : 2 m2 n2 m n a) Cho x 0, y 0 và m,n là hai số thực. Chứng minh rằng x y x y b) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1 1 1 1 3 Chứng minh rằng: a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải a) Với x 0, y 0 và m,n ¡ ta có: 2 m2 n2 m n (1) x y x y m2 y n2 x x y xy m n 2 2 nx my 0 luôn đúng b) Áp dụng bất đẳng thức 1 ta có: 2 2 m2 n2 p2 m n p2 m n p (2) x y z x y z x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 c a c3 a b ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c do abc 1 ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Do đó: a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 35. Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
3 a b c a2 b2 c2 2 b c c a a b b2 c2 c2 a2 a2 b2 a b c 3 Chứng minh (1) b c c a a b 2 Lời giải Ta có: a b c a b c 1 1 1 3 b c c a a b b c c a a b a b c b c a c a b 1 1 1 3 a b c 3 b c c a a b b c c a a b Đặt : x b c; y c a; z a b. Suy ra x, y, z 0 và ta có: a b c 1 1 1 1 x y z 3 b c c a a b 2 x y z 1 x y x z y z 9 2 2 2 3 2 y x z x z y 2 2 2 1 x y x z y z 1 3 9 3 .9 3 2 xy xz yz 2 2 x y 2 x z 2 y z 2 (Vì 0 ) xy xz yz a b c 3 Vậy . Dấu " " xảy ra a b c b c c a a b 2 a2 b2 c2 a b c Chứng minh : (2) b2 c2 c2 a2 a2 b2 b c c a a b Thật vậy, do vai trò của a,b,c như nhau nên không mất tính tổng quát , ta có thể giả sử : a b c Xét hiệu :
a2 b2 c2 a b c 2 2 2 2 2 2 b c c a a b b c c a a b a2 a b2 b c2 c 2 2 2 2 2 2 b c b c c a c a a b a b a2b ab2 a2c ac2 b2a ba2 b2c bc2 c2a ca2 c2b cb2 b2 c2 b c c2 a2 c a a2 b2 a b ab a b ac a c ab a b bc b c ac a c bc b c b2 c2 b c c2 a2 c a a2 b2 a b 1 1 ab a b 2 2 2 2 b c b c c a c a 1 1 bc b c 2 2 2 2 c a c a a b a b Vì giá trị của các biểu thức trong ngoặc đều không âm a b c a2 b2 c2 Vậy b c c a a b b2 c2 c2 a2 a2 b2 Từ (1) và (2) suy ra đpcm . Dấu " " xảy ra khi a b c Bài 36. Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi a,b,c ¡ và x, y, z 0 ta có: 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z Thật vậy, với a,b ¡ và x, y 0 ta có: 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2 x x y xy(a b)2 2 bx ay 0 (luôn đúng)
a b Dấu " " xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ta có: 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vì abc 1) ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c Hay 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy .(đpcm) a3 b c b3 c a c3 a b 2 a b c 3 Bài 37. Cho a,b,c 0;a b c 3.Chứng minh rằng: 1 b2 1 c2 1 a2 2 Lời giải Do a,b 0 và 1 b2 2b với mọi b nên: a ab2 ab2 ab a a a . 1 b2 1 b2 2b 2 b bc c ca Tương tự ta có: b ; c 1 c2 2 1 a2 2 a b c ab bc ca Mà a b c 3 nên 3 (1) 1 b2 1 c2 1 a2 2
2 Cũng từ a b c 3 a b c 9 a2 b2 c2 2 ab bc ca 9 Mà a2 b2 2ab;b2 c2 2bc;c2 a2 2ac nên a2 b2 c2 ab bc ca Suy ra 3 ab bc ca 9 ab bc ca 3 2 a b c 3 3 Từ 1 , 2 suy ra 3 dfcm 1 b2 1 c2 1 a2 2 2 Đẳng thức xảy ra a b c 1 x2 y2 z2 x y z Bài 38. Cho x, y, z 0. CMR: y z x z x y 2 Lời giải Ta có: x2 y z x2 y z z2 x y x; x; z y z 4 y z 4 x y 4 Cộng lại ta có điều phải chứng minh Bài 39. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh: a b c 1 1 b a 1 c b 1 a c Lời giải Áp dụng hệ quả bất đẳng thức Bu-nhi-a Cốp-xki, ta có: a b c a b c a 2 b2 c2 = =≥ 1 b a 1 c b 1 a c 2b c 2c a 2a b 2ab ac 2bc ab 2ac bc (a b c)2 3(ab bc ac) Ta chứng minh (a b c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca a2 + b2 + c2 - ab - bc – ca ≥ 0 1 [(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2] ≥ 0 (luôn đúng) 2 a b c Vậy 1 1 b a 1 c b 1 a c
a b c 1 Dấu “=” xảy ra a b c 1 a b c . 3 a,b,c 0 Bài 40. Cho a b c 3.Chứng minh rằng: a4 b4 c4 a3 b3 c3 Lời giải 2 Ta có: a 1 a2 a 1 0 a4 a3 a 1 0 1 Tương tự cũng có: b4 b3 b 1 0 2 c4 c3 c 1 0 (3) Cộng 1 ; 2 ; 3 ta được: a4 a3 a 1 b4 b3 b 1 c4 c3 c 1 0 a4 b4 c4 a3 b3 c3 a b c 3 0 a4 b4 c4 a3 b3 c3 0 a4 b4 c4 a3 b3 c3 (Dfcm) Bài 41. Chứng minh rằng : x 1 x 3 x 4 x 6 10 0 với mọi x Lời giải Ta có: x 1 x 3 x 4 x 6 10 x 1 x 6 x 3 x 4 10 x2 7x 6 x2 7x 12 10 x2 7x 9 3 x2 7x 9 3 10 2 2 x2 7x 9 9 10 x2 7x 9 1 0 (x) 2 Vì x2 7x 9 0 với mọi x 2 Do đó : x2 7x 9 1 0 với mọi x (bài toán được chứng minh). Bài 42. Cho x 0, y 0, z 0 và x y z 1. 7 Chứng minh rằng xy yz zx 2xyz 27 Lời giải 3 x y z 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: xyz 3 27 Mặt khác:
xyz x y z y z x z x y xyz 1 2z 1 2x 1 2y xyz 1 2 x y z 4 xy yz xz 8xyz xyz 1 2 4 xy yz zx 8xyz 1 xyz 4 xy yz zx 8xyz 1 1 4 xy yz zx 8xyz 27 7 xy yz zx 2xyz(dfcm) 27 Bài 43. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 y2 z2 1. x3 y3 z3 1 Chứng minh rằng: y 2z z 2x x 2y 3 Lời giải 9x3 9y3 z3 Ta có: x y 2z 6x2; y z 2x 6y2; z x 2y 6z2 y 2z z 2x x 2y 2 2 2 Lại có : x y y z z x 0 x2 y2 z2 xy yz zx Nên ta có: 9x3 9y3 9z3 3 xy yz xz 6 x2 y2 z2 y 2z z 2x x 2y x3 y3 z3 x2 y2 z2 1 y 2z z 2x x 2y 3 3 Dấu bằng xảy ra khi x y z 1 Bài 44: a. Chứng minh x2 x 1 0 (với mọi x) x2 x 1 1 b. Chứng minh: x2 x 1 3 Lời giải 2 2 1 3 c) x x 1 x 0 (với mọi x) 2 4 d) Từ kết quả câu a, nhân 2 vế của BĐT với số dương 3 x2 x 1 được: 3x2 3x 3 x2 x 1 2 2x2 4x 2 0 2 x 1 0 (luôn đúng)
x2 x 1 1 Suy ra: x2 x 1 3 Bài 45: Cho x,y,z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy Lời giải a) Ta có: 1 1 2 (1) 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x y x y x y 0 1 x2 1 xy 1 y2 1 xy 2 y x xy 1 0 (2) 1 x2 1 y2 1 xy Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 Suy ra BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng, dấu " " xảy ra x y 1 1 1 Bài 46: CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c Lời giải 1 1 1 a a b b c c Ta có: A a b c 1 1 1 a b c b c a c a b a b a c c b 3 b a c a b c x y Mà 2 (BĐT Cô si). Do đó: A 3 2 2 2 9 . Vậy A 9 y x Bài 47: Cho x,y,z dương và x y z 1. Chứng minh rằng : 1 1 1 9 x2 2yz y2 2xz z2 2xy Lời giải a) C/m:a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca +)Từ giả thiết suy ra : a b c a2 b2 c2 ab bc ca 0 a2 b2 c2 ab ac bc 0 (a b c 0)
2 2 2 Biến đổi được kết quả: a b b c c a 0 a b 0 b c 0 a b c Tam giác đó là đều (đpcm) c a 0 b) Đặt a x2 2yz; b y2 2xz;c z2 2xy 2 a,b,c 0 và a b c x y z 1 1 1 1 Chứng minh: a b c 9 a b c 1 1 1 9 1 1 1 9 hay 9(dfcm) a b c a b c x2 2yz y2 2zx z2 2xy 1 Bài 48: Chứng minh rằng: a2 b2 với a b 1 2 Lời giải Ta có: a b 1 a2 2ab b2 1 (1) 2 Mặt khác : a b 0 a2 2ab b2 0 (2) 1 Từ (1) và (2) suy ra: 2 a2 b2 1 a2 b2 2 Bài 49: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Lời giải a) Đặt x b c a; y a c b ; z a b c x,y,z 0 x y z a b c y z 2a a b c b c a x y z x y z a 2 x z x y Tương tự: b ;c 2 2 y z x z x y BĐT chứng minh tương đương với: 6 x y z y x z x y z a b 6 do 2 x y x z z y b a Vậy bất đẳng thức được chứng minh Bài 50: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng:
1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi a,b,c ¡ và x,y,z 0 ta có: 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z Thật vậy, với a,b ¡ và x,y 0 ta có: 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2x x y xy(a b)2 2 bx ay 0 (luôn đúng) a b Dấu " " xảy ra x y 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c Áp dụng bất đẳng thức * * ta có: x y z x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c Áp dụng BĐT (*) ta có : a b c ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c (Vì abc 1) 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2
1 1 1 3 Vậy . (đpcm) a3 b c b3 c a c3 a b 2 2 Bài 51: Cho biểu thức A b2 c2 a2 4b2c2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử b) Chứng minh rằng: Nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A 0 c) Lời giải a) Ta có: 2 2 A b2 c2 a2 4b2c2 b2 c2 a2 2bc b2 c2 2bc a2 b2 c2 2bc a2 b c a b c a b c a b c a b) Ta có: b c a 0 (BĐT tam giác) b c a 0 (BĐT tam giác) b c a 0 (BĐT tam giác) b c a 0 (BĐT tam giác) Vậy A 0 1 1 1 Bài 52: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c Lời giải Ta có: 1 b c 1 a a a 1 a c a b c 1 1 b b b 1 a b 1 c c c 1 1 1 a b a c b c 3 3 2 2 2 9 a b c b a c a c b 1 Dấu “=” xảy ra a b c 3 x2 y2 x y Bài 53: Cho Chứng minh rằng : x, y 0. 2 2 4 3 y x y x Lời giải x y Học sinh chứng minh 2 với mọi x, y 0 y x
x y x y 2 0; 1 1 y x y x x y x y 2 1 0 y x y x x 2 y 2 x y x y 2 2 2 2. 2 0 y x y x y x x 2 y 2 x y 2 2 4 3 y x y x Dấu " " xảy ra x y 0 Bài 54: Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 a2 b2 c2 4a2b2 0 Lời giải 2 a2 b2 c2 4a2b2 a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab a b 2 c2 a b 2 c2 a b c a b c a c b b c a Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh. Bài 55: Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0 y z x z x y Từ đó suy ra a ;b ;c 2 2 2 Thay vào biểu thức A ta được: y z x z x y 1 y x x z y z A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 A 2 2 2 A 3 2 Bài 56: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: a,b,c ¡ , x, y, z 0 ta có:
2 a2 b2 c2 a b c a b c (*) . Dấu " " xảy ra x y z x y z x y z 2 a2 b2 a b Thật vậy, với a,b ¡ và x, y 0 ta có: ( ) x y x y a2 y b2 x x y xy a b 2 bx ay 2 0(luon dung) a b Dấu " " xảy ra x y Áp dụng BĐT ( ) ta có: 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z Ta có: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a3 b c b3 c a c3 a b ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vi abc 1) ab ac bc ab ac bc 2 ab ac bc 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 a2 b2 c2 3 Mà 3 nên a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 57: Cho 2 số a và b thỏa mãn a 1;b 1.Chứng minh: 1 1 2 1 a2 1 b2 1 ab
Lời giải 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 a 1 b 1 ab 1 a 1 ab 1 b 1 ab ab a2 ab b2 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab a(b a)(1 b2 ) b a b 1 a2 b a a ab2 b a2b b a 2 ab 1 1 a2 1 b2 1 ab 1 a2 1 b2 1 ab 1 a2 1 b2 1 ab b a 2 ab 1 Do a 1;b 1 nên 0 1 a2 1 b2 1 ab 1 1 2 1 1 2 0 1 a2 1 b2 1 ab 1 a2 1 b2 1 ab 1 1 4 Bài 58: Chứng minh rằng: a,b 0 a b a b Lời giải Xét hiệu: 1 1 4 A a b a b b a b a a b 4ab ab a b 2 a2 2ab b2 a b 0 (Dấu " " xảy ra a b) ab a b ab a b 1 1 4 Vậy (dấu " " xảy ra a b) a b a b Bài 59: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi a,b,c ¡ và x,y,z 0 ta có: 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z
a b c Dấu " " xảy ra x y z Thật vậy, với a,b ¡ và x,y 0 ta có: 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2x x y xy(a b)2 2 bx ay 0 (luôn đúng) a b Dấu " " xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức * * ta có: 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vì abc 1) ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c Hay 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy . (đpcm) a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 60: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x y z 3.Chứng minh rằng:
1 1 1 3 x2 x y2 y z2 z 2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 Đặt P x2 x y2 y z2 z x x 1 y y 1 z z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 x y z x 1 y 1 z 1 1 1 1 9 1 1 1 1 Áp dụng BĐT và . với a,b,c dương , dấu bằng xảy ra a b c a b c a b 4 a b a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: . 1 ; . 1 ; . 1 x 1 4 x y 1 4 y z 1 4 z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Bởi vậy P . 1 1 1 x y z x 1 y 1 z 1 x y z 4 x y z 3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3 . . (dfcm) 4 x y z 4 4 x y z 4 4 4 2 x2 y2 x y Bài 61: Cho Chứng minh rằng : x,y 0. 2 2 4 3 y x y x Lời giải x y Học sinh chứng minh 2 với mọi x,y 0 y x x y x y 2 0; 1 1 y x y x x y x y 2 1 0 y x y x x2 y2 x y x y 2 2 2 2. 2 0 y x y x y x x2 y2 x y 2 2 4 3 y x y x Dấu " " xảy ra x y 0 Bài 62: Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 a2 b2 c2 4a2 b2 0 Lời giải
2 a2 b2 c2 4a2 b2 a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab 2 2 a b c2 a b c2 a b c a b c a c b b c a Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh. 1 1 2 Bài 63: Cho 2 số a và b thỏa mãn a 1; b 1. Chứng minh: 1 a2 1 b2 1 ab Lời giải 1 1 2 1 1 1 1 ab a2 ab b2 1 a2 1 b2 1 ab 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab 2 a(b a)(1 b2 ) b a b 1 a2 b a a ab2 b a2 b b a ab 1 1 a2 1 b2 1 ab 1 a2 1 b2 1 ab 1 a2 1 b2 1 ab 2 b a ab 1 Do a 1; b 1 nên 0 1 a2 1 b2 1 ab 1 1 2 1 1 2 0 1 a2 1 b2 1 ab 1 a2 1 b2 1 ab Bài 64: Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0 y z x z x y Từ đó suy ra a ; b ;c 2 2 2 Thay vào biểu thức A ta được: y z x z x y 1 y x x z y z A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 A 2 2 2 A 3 2 Bài 65: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: a,b,c ¡ ,x,y,z 0 ta có:
2 a2 b2 c2 a b c a b c (*) . Dấu " " xảy ra x y z x y z x y z 2 a2 b2 a b Thật vậy, với a,b ¡ và x,y 0 ta có: ( ) x y x y 2 2 a2 y b2x x y xy a b bx ay 0 (luon dung) a b Dấu " " xảy ra x y 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c Áp dụng BĐT ( ) ta có: x y z x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 c a c3 a b ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vi abc 1) ab ac bc ab ac bc 2 ab ac bc 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 a2 b2 c2 3 Mà 3 nên a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 66: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1.Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 b c c a a b Lời giải - Nhận xét : có a bc a a b c bc a b c a Tương tự: b ca b a b c ; c ab c a c b a b a c b a b c c a c b Do đó: VT b c c a a b Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
a b a c b a b c 2 a b b c c a a b a c c a c b 2 a c b c a b b a b c c a c b 2 b c a c a b 1 Vậy 2.VT 4 a b c 4 VT 2 . Dấu “=” xảy ra a b c 3 Bài 67: Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy Lời giải 1 1 2 (1) 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x(y x) y(x y) 0 1 x2 1 xy 1 y2 (1 xy) y x 2 . xy 1 0 (2) 1 x2 1 y2 (1 xy) Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi x y 1 1 1 Bài 68: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c Lời giải 1 b c 1 a a a 1 a c Từ a b c 1 1 b c b 1 a b 1 c c c 1 1 1 a b a c b c 3 3 2 2 2 9 a b c b a c a c b 1 Dấu “=” xảy ra a b c 3 a b b c c d a d Bài 69: Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: b c c d d a a b Lời giải Ta có:
a b b c c d a b a b b c c d d a 0 b c c d d a a b b c c d d a a b a c b d c a d b 4 b c c d d a a b Xét a c b d c a d b 4 b c c d d a a b 1 1 1 1 a c b d 4 b c d a c d a b 4 4 a c . b d . 4 0 a b c d a b c d đpcm Dấu " "xảy ra khi a b c d 1 1 1 1 Bài 70: Chứng minh rằng: P 1 22 32 42 1002 Lời giải 1 1 1 1 P 22 32 42 1002 1 1 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 99 1 1 1 2 2 3 3 4 99 100 100 100 1 Bài 71: Chứng minh rằng: a2 b2 với a b 1 2 Lời giải Theo bài ra ta có: a b 1 a2 2ab b2 1 (1) Mặt khác : a b 2 0 a2 2ab b2 0 (2) 1 Từ (1) và (2) suy ra: 2 a2 b2 1 a2 b2 2 Bài 72: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) Lời giải Ta có :
2 1 1 2 2 a b 0 a b ab (1) 2 4 2 1 1 2 2 a c 0 a c ac (2) 2 4 2 1 1 2 2 a d 0 a d ad (3) 2 4 2 1 1 2 2 a e 0 a e ae (4) 2 4 Ta cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được : 1 4. a2 b2 c2 d 2 e2 ab ac ad ae 4 a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) 2 m2 n2 m n Bài 73: a) Cho x 0, y 0 và m,n là hai số thực. Chứng minh rằng x y x y b) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1 1 1 1 3 Chứng minh rằng: a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải a) Với x 0, y 0 và m,n ¡ ta có: 2 m2 n2 m n (1) x y x y m2 y n2 x x y xy m n 2 nx my 2 0 luôn đúng b) Áp dụng bất đẳng thức 1 ta có: 2 2 m2 n2 p2 m n p2 m n p (2) x y z x y z x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 c a c3 a b ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c do abc 1 ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2
1 1 1 3 Do đó: a3 b c b3 c a c3 a b 2 2 2 1 1 25 Bài 74: Cho a,b 0 thỏa mãn a b 1. Chứng minh a b b a 2 Lời giải a) Có: a b 2 0 a2 b2 2ab 0 a2 b2 2ab (*) Dấu đẳng thức xảy ra khi a b 2 2 1 25 1 1 25 1 Áp dụng * có: a 5 a ; b 5 b b 4 b a 4 a 2 2 1 1 25 1 1 Suy ra: a b 5 a b b a 2 b a 2 2 1 1 25 1 1 a b 5 a b b a 2 a b 2 2 1 1 25 1 1 a b 5 5 (Vi a b 1) b a 2 a b 1 1 4 Với a,b dương , chứng minh 4 (Vi a b 1) a b a b Dấu bằng xảy ra khi a b 2 2 1 1 25 Ta được: a b 5 5.4 b a 2 2 2 1 1 25 1 a b . Dấu đẳng thức xảy ra a b b a 2 2 Bài 75: Cho a3 b3 2.Chứng minh rằng a b 2 Lời giải Giả sử a b 2 a b 3 23 a3 b3 3ab a b 8 2 3ab a b 8(a3 b3 2) 3ab a b 6 ab a b 2 ab a b a3 b3 a3 b3 2 ab a b a b a2 ab b2 ab a2 ab b2 a2 2ab b2 0 a b 2 0(Vo ly ') Vậy a b 2 Bài 76: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải
Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0. Ta có: x, y, z 0 y z x z x y Từ đó suy ra : a ;b ;c 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vào ta được: A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 A 3 . Dấu “= “ xảy ra a b c 2 Bài 77: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0; c a b y 0; a b c z 0 y z x z x y Từ đó suy ra a ;b ;c 2 2 2 Thay vào ta được: y z x z x y 1 y x x z y z A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 hay A 3 a b c 2 Bài 78: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. 1 1 1 1 1 1 CMR: 2. p a p b p c a b c Lời giải Ta có: 1 1 4 2 p a p b p a p b c 1 1 4 2 p b p c p a p c a 1 1 4 2 p c p a p c p a b Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh Bài 79: Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 a2 b2 c2 4a2b2 0 Lời giải
2 a2 b2 c2 4a2b2 a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab a b 2 c2 a b 2 c2 a b c a b c a c b b c a Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh. Bài 80 : Cho biểu thức A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4.Chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 cạnh của một tam giác thì A 0 Lời giải A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 4a2b2 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 2 2ab 2 a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 a b 2 c2 c2 a b 2 a b c a b c c a b c a b Do a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên Bài 81: Cho bốn số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng: a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Lời giải: a b c d Cho bốn số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng:1 2 a b c b c d c d a d a b a a a b b b Vì a,b,c,d 0 ta có: 1 ; 2 a b c d a b c a c a b c d b c d b d c c c d d d 3 ; 4 a b c d c d a c a a b c d d a b d b Lấy (1), (2), (3) và (4) cộng vế theo vế, thu gọn ta được điều phải chứng minh. ( Chú ý : Dạng tương tự : Cho bốn số dương a,b,c,d . a b c d Chứng minh rằng: có giá trị không nguyên ) a b c b c d c d a d a b Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau: x2 y2 z2 t 2 x y z t . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 4 4 3 3 b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có: x y xy x y Lời giải: a) Ta có: x2 y2 z2 t 2 x y z t 4x2 4y2 4z2 4t 2 4xy 4xz 4xt x2 4xy 4y2 x2 4xz 4z2 x2 4xt 4t 2 x2 0 x 2y 2 x 2z 2 x 2t 2 x2 0 ( đúng ) Dấu “=” x y z t 0 . b) Ta có: x4 y4 xy3 x3 y x3 x y y3 y x 0 x y x3 y3 0 x y x y x2 xy y2 0
2 2 1 3 2 x y x y y 0 (đúng) 2 4 Dấu “=” x y . Bài 83: a) Cmr : x 1 x 2 x 3 x 4 1 1 1 b) Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện a b 1 . Cmr : 1 1 9 a b Lời giải: a) Xét hiệu : A x 1 x 2 x 3 x 4 1 = x2 5x 4 x2 5x 6 1 Đặt x2 5x 5 y . Khi đó, A y 1 y 1 1 y2 0 . Vậy, x 1 x 2 x 3 x 4 1 . Dấu « = » y 0 x2 5x 5 0 ( giải tiếp tìm x ) b) Ta có: 1 1 a b a b b a a b a b 1 1 1 1 2 2 5 2 5 2.2 . 9 a b a b a b b a b a ( Vì các số dương a và b thỏa mãn điều kiện a b 1 ) 1 1 1 Vây, 1 1 9 . Dấu « = » a b a b 2 Bài 84: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 c b a a) b2 c2 a2 b a c b) x8 x7 x2 x 1 0 Lời giải: a2 b2 c2 c b a a) b2 c2 a2 b a c Áp dụng BĐT x2 y2 2xy . Dấu “=” x y . 2 2 a2 b2 a b a b a Ta có: 2 2 2 . 2. 1 b c b c b c c b2 c2 b c2 a2 c Tương tự, 2. 2 và 2. 3 c2 a2 a a2 b2 b Lấy (1), (2) và (3) cộng vế theo vế ta được đpcm. Dấu “=” a b c 0 . b) Đặt A x8 x7 x2 x 1 x 1 x7 x 1 x2 x 1 x7 1 x2 + Nếu x 1 thì x7 1 , do đó x 1 x7 1 0 , còn x2 0 nên A 0 + Nếu x 1 thì x7 1 , do đó x 1 x7 1 0 , còn x2 0 nên A 0 Vậy, A x8 x7 x2 x 1 0 với mọi x . 3 Bài 85: Cmr: a) a2 b2 c2 a b c 4 4 4 b) a b 2 4ab Lời giải:
2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 a) a b c a b c a a b b c c 0 4 4 4 4 2 2 2 1 1 1 a b c 0 ( Đúng ) 2 2 2 1 Dấu “=” a b c 2 b) a4 b4 2 4ab a4 2a2b2 b4 2a2b2 4ab 2 0 2 a2 b2 2 ab 1 2 0 Dấu “=” a b 1 hoặc a b 1 Bài 86: Chứng minh rằng: a) x3 4x 1 3x2 với x 0 ; b) x 1 x 3 x 4 x 6 9 0 ; c) a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc Lời giải: Chứng minh rằng: a) x3 4x 1 3x2 với x 0 2 x x 2 x2 1 0 với x 0 ( Đúng ) b) Xét x 1 x 3 x 4 x 6 9 x2 7x 6 x2 7x 12 9 Đặt x2 7x 9 a . Khi đó, ta có: a 3 a 3 9 a2 0 Vậy, x 1 x 3 x 4 x 6 9 0 (đpcm) c) a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc a2 4ab 4b2 4c2 4ac 8bc 0 a 2b 2 2. a 2b . 2c 2c 2 0 a 2b 2c 2 0 ( Đúng ) Bài 87: Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau: a2 b2 a b 2 2 4 3 b a b a Lời giải: 2 2 a2 b2 a b a b a b a b Ta có: 2 2 4 3 2 2 1 1 0 b a b a b a b a b a 2 2 a b a b 2 a b a b a b 2 1 1 0 1 1 0 b a b a b a b a b a a b a b a2 b2 ab a2 b2 2ab 1 2 0 . 0 b a b a ab ab 2 1 3 2 2 a b b . a b 2 4 0 ( Đúng ) ab 2 Dấu “ =” a b 0 .
a2 b2 a b Vậy, 2 2 4 3 với a,b 0 . Dấu “ =” a b 0 . b a b a x y 2 Bài 88: Chứng minh BĐT: x2 y2 2 Lời giải: x y 2 Chứng minh BĐT: x2 y2 2 x y 2 Ta có: x2 y2 2 x2 y2 x2 2xy y2 2 x2 2xy y2 0 x y 2 0 ( đúng ) x y 2 Vậy, x2 y2 . Dấu “=” x y . 2 a2 Bài 89: a) Chứng minh: b2 c2 ab ac 2bc 4 b) Chứng minh: a4 b4 c4 abc a b c 1 1 1 1 c) Chứng minh: với n N, n 1 . 5 13 n2 n 1 2 2 1 1 1 1 d) Chứng minh: với n N, n 1 9 25 2n 1 2 4 a2 b2 a b e) Cho a và b cùng dấu. Chứng minh: 2 2 0 b a b a Lời giải: a2 a) Chứng minh: b2 c2 ab ac 2bc 4 a2 a2 Ta có: b2 c2 ab ac 2bc b2 c2 ab ac 2bc 0 4 4 2 2 a 2 2 a 1 2 ab ac b c 2bc 0 2. a b c b c 0 4 2 2 2 a b c 0 ( Đúng ) 2 a2 a Vậy, b2 c2 ab ac 2bc . Dấu “=” b c 0 . 4 2 b) Chứng minh: a4 b4 c4 abc a b c * Cách 1: Dùng biến đổi tương đương. Ta có: a4 b4 c4 abc a b c a4 b4 c4 a2bc ab2c abc2 0 a4 b4 2a2b2 b4 c4 2b2c2 c4 a4 2c2a2 a2b2 b2c2 2ab2c b2c2 c2a2 2abc2 c2a2 a2b2 2a2bc 0 2 2 2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 ab bc 2 bc ca 2 ca ab 2 0( Đúng )
Vậy, a4 b4 c4 abc a b c . Dấu “=” a b c . * Cách 2: Dùng BĐT phụ: x2 y2 z2 xy yz zx . Dấu “=” x y z . 2 2 2 Ta có: a4 b4 c4 a2 b2 c2 ab 2 bc 2 ca 2 ab . bc bc . ca ca . ab abc a b c Vậy, a4 b4 c4 abc a b c . Dấu “=” a b c . 1 1 1 1 c) Chứng minh: với n N, n 1 . 5 13 n2 n 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Với k N,k 1 ta có: 2 2 2 . . k 2 k 1 2k 2k 1 2k 2k 2 k k 1 2 k k 1 1 1 1 1 1 1 Do đó, 5 13 n2 n 1 2 12 22 22 32 n2 n 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 1 2 2 2 3 2 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .1 2 1 2 2 3 n n 1 2 n 1 2 2 1 1 1 1 Vậy, với n N, n 1 5 13 n2 n 1 2 2 1 1 1 1 d) Chứng minh: với n N, n 1 9 25 2n 1 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 Với k N,k 1 ta có: 2 2 2 . . 2k 1 4k 4k 1 4k 4k 4 k k 1 4 k k 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: 9 25 2n 1 2 2.1 1 2 2.2 1 2 2n 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . 4 1 2 4 2 3 4 n n 1 4 1 2 2 3 n n 1 1 1 1 1 . 1 .1 4 n 1 4 4 1 1 1 1 Vậy, với n N, n 1 . 9 25 2n 1 2 4 a2 b2 a b e) Cho a và b cùng dấu. Chứng minh: 2 2 0 b a b a 2 2 a2 b2 a b a a b b a b Ta có: 2 2 2 1 2 1 2 b a b a b b a a b a 2 2 a b a b 1 1 2 b a b a
2 2 a b a b 1 1 2 2 0 ( Vì c/m được 2 với a, b cùng b a b a dấu) Dấu “=” a b 0 a2 b2 a b Vậy, 2 2 0 với a và b cùng dấu. Dấu “=” a b 0 b a b a Bài 90: Cho ba số dương a,b,c 1 1 1 a) Chứng minh rằng:; a b c 9 a b c a b c 3 b) Chứng minh rằng: b c c a a b 2 Lời giải: Cho ba số dương a,b,c 1 1 1 a) Chứng minh rằng: a b c 9 ( HS tự giải ) a b c a b c 3 b) Chứng minh rằng: b c c a a b 2 a b c 3 * Cách 1: Ta có: b c c a a b 2 a b c 3 1 1 1 1 1 1 b c c a a b 2 a b c a b c a b c 9 b c c a a b 2 1 1 1 2 a b c 9 a b b c c a 1 1 1 a b b c c a 9 ( Đúng) ( theo câu a) a b b c c a Dấu “ =” a b c 0 . a b c 3 KL: . Dấu “ =” a b c 0 . b c c a a b 2 * Cách 2: Đặt x b c, y c a, z a b với x, y, z 0 . x y z x y z x y z Suy ra a ,b ,c 2 2 2 a b c x y z x y z x y z Do đó, b c c a a b 2x 2y 2z 1 y z x z x y 1 x y x z y z 1 1 1 3 2 2 2 2 x x y y z z 2 y x x x z y 2 2 2 1 x y z x y z 1 3 3 .3 2 xy zx yz 2 2 Dấu “=” x y z a b c 0 . Bài 91: Cho a b c 0 , chứng minh: P a3 b3 c3 3abc 0 . Lời giải: Cho a b c 0 , chứng minh: P a3 b3 c3 3abc 0 .
1 2 2 2 Ta có: P a3 b3 c3 3abc a b c a b b c c a 2 2 2 2 Vì a b c 0 và a b b c c a 0 nên P a3 b3 c3 3abc 0 . Dấu “=” a b c 0 Vậy, P a3 b3 c3 3abc 0 với a b c 0 . Dấu “=” a b c 0 . Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau : 2 a b c d a) a c b d ; b) ab bc ca 0 khi a b c 0 . 2 2 Lời giải: 2 a b c d a) a c b d 2 2 2 Áp dụng BĐT x y 4xy . Dấu “=” x y 2 a b c d a b c d Ta có: 4 . a c b d 2 2 2 2 Dấu “=” a b c d b) ab bc ca 0 khi a b c 0 . Ta có : a b c 0 a b c 2 0 a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 ab bc ca 0 Dấu “=” a b c 0 Bài 93: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác a) Chứng minh rằng: ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca b) Chứng minh rằng: a b c 2 3 ab bc ca thì tam giác đó là tam giác đều. Lời giải: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác a) Chứng minh rằng: ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca +Ta có: ab bc ca a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 2a2 2b2 2c2 a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ca a2 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 ( Đúng ) Dấu “=” a b c tam giác đó là tam giác đều. 2 a b c a ab ac 2 2 2 2 + Theo BĐT tam giác ta có: b c a b bc ba a b c 2 ab bc ca c a b 2 c ca cb Vậy, ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca với a,b,c là ba cạnh của một tam giác. b) Chứng minh rằng: a b c 2 3 ab bc ca thì tam giác đó là tam giác đều. 2 1 2 2 2 Xét hiệu a b c 3 ab bc ca a b b c c a 2
2 1 2 2 2 Suy ra a b c 3 ab bc ca a b b c c a 0 a b c 2 Vậy, a b c 2 3 ab bc ca thì tam giác đó là tam giác đều. Bài 94: Cho x y 2 . Chứng minh rằng: x2017 y2017 x2018 y2018 . Lời giải: Cho x y 2 . Chứng minh rằng: x2017 y2017 x2018 y2018 . Xét hiệu: x2018 y2018 x2017 y2017 x2017 x 1 y2017 y 1 x2017 1 y y2017 y 1 ( vì x y 2 nênx 1 1 y ) Do đó x2018 y2018 x2017 y2017 1 y x2017 y2017 Giả sử x y x 1 y và x2017 y2017 , do đó 1 y x2017 y2017 0 (đpcm) Tương tự, x y x 1 y và x2017 y2017 , do đó 1 y x2017 y2017 0 (đpcm) Dấu " " x y 1 1 1 1 1 2 Bài 95: a) Chứng minh: Hvới n N, n 2 22 32 42 n2 3 1 1 1 1 1 b) Chứng minh: K với n N, n 3 33 43 53 n3 12 Lời giải: 1 1 1 1 2 a) Chứng minh: Hvới n N, n 2 22 32 42 n2 3 1 1 1 1 1 Ta có: 2 2 2 với n N, n 2 . n 4n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Do đó, H 2 2 2 2 2 2 . 2 3 4 n 3 5 5 7 2n 1 2n 1 3 2n 1 3 1 1 1 1 2 Vậy, Hvới n N, n 2 22 32 42 n2 3 1 1 1 1 1 b) Chứng minh: K với n N, n 3 33 43 53 n3 12 1 1 1 1 n 1 n 1 1 1 1 Ta có: . . 3 3 n n n n 1 n n 1 2 n 1 n n 1 2 n 1 n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Do đó, K 3 3 3 3 3 4 5 n 2 2.3 3.4 3.4 4.5 n 1 n n n 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2.3 n n 1 2 2.3 12 1 1 1 1 1 Vậy, K với . n N, n 3 33 43 53 n3 12 Bài 96: Cho ba số x, y, z.
a) Chứng minh x2 y2 z2 xy yz zx ; x y z b) Khi 673 . Chứng minh xy yz zx 2019 . 3 Lời giải: Hay xy yz zx 2019 . Cho ba số x, y, z. a) Chứng minh x2 y2 z2 xy yz zx Ta có x2 y2 z2 xy yz zx 1 x2 y2 z2 xy yz zx 0 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 2zx 0 x y 2 y z 2 z x 2 0 . Các bước biến đổi tương đương mà bất dẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức đầu đúng. x y z b) Khi 673 . Chứng minh xy yz zx 2019 . 3 x y z 2 Ta có 673 x y z 3.2019 3 x2 y2 z2 2 xy yz zx 3.2019 2 Kết hợp và1 ta2 có : 3 xy yz zx 3.2019 2 2 1 1 25 Bài 97: Cho a,b 0 thỏa mãn a b 1.Chứng minh a b b a 2 Lời giải: 2 Có: a b 0 a2 b2 2ab 0 a2 b2 2ab (*) Dấu đẳng thức xảy ra khi a b 2 2 1 25 1 1 25 1 Áp dụng * có: a 5 a ; b 5 b b 4 b a 4 a 2 2 1 1 25 1 1 Suy ra: a b 5 a b b a 2 b a 2 2 1 1 25 1 1 a b 5 a b b a 2 a b 2 2 1 1 25 1 1 a b 5 5 (Vi a b 1) b a 2 a b 1 1 4 Với a,bdương , chứng minh 4 (Vi a b 1) a b a b Dấu bằng xảy ra khi a b
2 2 1 1 25 Ta được: a b 5 5.4 b a 2 2 2 1 1 25 1 a b . Dấu đẳng thức xảy ra a b b a 2 2 Bài 98: Với a,b,c 0 . Hãy chứng minh các BĐT: ab bc ab bc ca a) 2b ; b) a b c ; c a c a b a3 b3 b3 c3 c3 a3 c) a b c . 2ab 2bc 2ca Lời giải Với a,b,c 0 . Hãy chứng minh các BĐT: ab bc a) 2b c a ab bc Với a 0,b 0,c 0 nên 0, 0 c a ab bc Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương và ta được c a ab bc ab bc 2 . 2 b2 2b c a c a Dấu “=” a c 0 ab bc Vậy, 2b với a,b,c 0 . Dấu “=” a c 0 . c a ab bc ca b) a b c c a b ab bc 2b c a ab ac ab bc ca Áp dụng kết quả câu a, ta có: 2a a b c c b c a b bc ca 2c a b Dấu “=” a b c 0 . ab bc ca Vậy, a b c . Dấu “=” a b c 0 . c a b a3 b3 b3 c3 c3 a3 c) a b c . 2ab 2bc 2ca a3 b3 b3 c3 c3 a3 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Ta có 2ab 2bc 2ca 2b 2a 2c 2b 2a 2c
a2 c2 a2c2 ac 2 2 2b 2b 4b b b2 c2 bc Áp dụng kết quả câu a, ta có: 2a 2a c a2 b2 ab 2c 2c c a3 b3 b3 c3 c3 a3 ab bc ca a b c 2ab 2bc 2ca c a b Dấu “=” a b c 0 . a3 b3 b3 c3 c3 a3 Vậy, a b c . Dấu “=” a b c 0 . 2ab 2bc 2ca Bài 99: a) Cho a2 b2 2 . Chứng minh rằng: a b 2 . b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh: 4a a b a 1 a b 1 b2 0 c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: abc b c a a c b a b c Lời giải a) Cho a2 b2 2 . Chứng minh rằng: a b 2 . Ta có a2 b2 2 mà 2ab a2 b2 2 2 Do đó a2 b2 2ab 2 2 a b 4 a b 2 2 a b 2 . Vậy, nếu a2 b2 2 thì a b 2 . b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh: 4a a b a 1 a b 1 b2 0 Đặt B 4a a b a 1 a b 1 b2 4 a2 ab a a2 ab a b b2 Đặt m a2 ab a , ta có: B 4m. m b b2 4m2 4mb b2 2m b 2 0 Vậy, 4a a b a 1 a b 1 b2 0 . Dấu “=” 2m b 0 2 a2 ab a b 0 . c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: abc b c a a c b a b c . Đặt b c a x 0, a c b y 0,a b c z 0 thì xyz 0 và x y 2a, y z 2b, z x 2c C/m BĐT phụ: x y y z z x 8xyz với x, y, z 0 . 2 2 2 Thật vậy, ta có x y 4xy, y z 4yz, z x 4zx 2 2 2 2 2 2 2 2 Suy ra x y y z z x 64x y z x y y z z x 8xyz x y y z z x 8xyz ( cả hai vế đều không âm) Do đó, x y y z z x 8xyz với x, y, z 0 . Dấu “=” x y z 0
Áp dụng BĐT trên, ta có 2a . 2b . 2c 8 b c a a c b a b c abc b c a a c b a b c Vậy, abc b c a a c b a b c . Dấu “=” a b c tam giác đã cho đều. Bài 100: 2 2 1 1 25 Cho a,b 0 thỏa mãn a b 1.Chứng minh a b b a 2 Lời giải 2 Có: a b 0 a2 b2 2ab 0 a2 b2 2ab (*) Dấu đẳng thức xảy ra khi a b 2 2 1 25 1 1 25 1 Áp dụng * có: a 5 a ; b 5 b b 4 b a 4 a 2 2 1 1 25 1 1 Suy ra: a b 5 a b b a 2 b a 2 2 1 1 25 1 1 a b 5 a b b a 2 a b 2 2 1 1 25 1 1 a b 5 5 (Vi a b 1) b a 2 a b 1 1 4 Với a,b dương , chứng minh 4 (Vi a b 1) a b a b Dấu bằng xảy ra khi a b 2 2 1 1 25 Ta được: a b 5 5.4 b a 2 2 2 1 1 25 1 a b . Dấu đẳng thức xảy ra a b b a 2 2 Bài 101: Cho các số a,b,c thỏa mãn 1 a,b,c 0.Chứng minh rằng: a b2 c3 ab bc ca 1 Lời giải 2 3 Vì b,c 0;1 nên suy ra b b;c c Do đó : a b2 c3 ab bc ca a b c ab bc ca (1) Lại có: a b c ab bc ca a 1 b 1 c 1 abc 1 (2) Vì a,b,c 0;1 nên a 1 b 1 c 1 0; abc 0 Do đó từ 2 a b c ab bc ca 1 3 Từ (1) và (3) suy ra a b2 c3 ab bc ca 1 Bài 102:
Cho a3 b3 2.Chứng minh rằng a b 2 Lời giải Giả sử 3 a b 2 a b 23 a3 b3 3ab a b 8 2 3ab a b 8(a3 b3 2) 3ab a b 6 ab a b 2 ab a b a3 b3 a3 b3 2 ab a b a b a2 ab b2 2 ab a2 ab b2 a2 2ab b2 0 a b 0(Vo ly') Vậy a b 2 Bài 103: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0. Ta có: x,y,z 0 y z x z x y Từ đó suy ra : a ; b ;c 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vào ta được: A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 A 3 . Dấu “= “ xảy ra a b c 2 Bài 104: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 b c c a a b Lời giải - Nhận xét : có a bc a a b c bc a b c a Tương tự: b ca b a b c ; c ab c a c b a b a c b a b c c a c b Do đó: VT b c c a a b Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a b a c b a b c 2 a b b c c a a b a c c a c b 2 a c b c a b b a b c c a c b 2 b c a c a b
1 Vậy 2.VT 4 a b c 4 VT 2 . Dấu “=” xảy ra a b c 3 Bài 105: Cho a,b thỏa mãn a2 b2 8.Chứng minh 4 a b 4 Lời giải Ta có: 2 a b 0 a2 b2 2ab mà a2 b2 8 nên 2ab 8 2 a b a2 b2 2ab 8 8 16 2 a b 16 0 a b 4 a b 4 0 4 a b 4(dfcm) 1 1 1 Bài 106: CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c Lời giải 1 1 1 a a b b c c A a b c 1 1 1 a b c b c a c a b a b a c c b 3 b a c a b c x y Mà 2 (BĐT Cô si) y x Do đó: A 3 2 2 2 9 . Vậy A 9 Bài 107: Cho biểu thức A 2a2 b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 .Chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 cạnh của một tam giác thì A 0 Lời giải A 2a2 b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 4a2 b2 2a2 b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 2 2 2ab a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2 2 a b c2 c2 a b a b c a b c c a b c a b Do a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên a b c 0;a b c 0;c a b 0;c a b 0 A 0 1 1 1 Bài 108: CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c Lời giải Ta có:
1 1 1 a a b b c c A a b c 1 1 1 a b c b c a c a b a b a c c b 3 b a c a b c x y Mà 2 (BĐT Cô si) y x Do đó: A 3 2 2 2 9 . Vậy A 9 Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác a b c Chứng minh rằng A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0 ;c a b y 0 ; a b c z 0 y z x z x y Từ đó suy ra a ; b ; c 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vào ta được A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A . 2 2 2 hay A 3 2 1 1 1 1 1 1 Bài 110: Chứng minh rằng a b c a b c , trong đó a, b, c là các b c a a b c số thực không nhỏ hơn 1. Lời giải 1 1 1 1 1 1 a b c a b c b c a a b c ab 1 bc 1 ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 abc abc ab 1 bc 1 ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 a2b2c2 abc a b c ab bc ca a2b2c2 a2 b2 c2 a2b2 b2c2 c2a2 2 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca ab bc 2 bc ca 2 ca ab 2 a b 2 b c 2 c a 2 2 2 2 2 2 2 a c . b 1 b a . c 1 c b . a 1 0 (đúng với mọi a,b,c 1 ) Bài 111: Chứng minh a 2 b2 c2 2 ab bc ca với mọi số thực a, b, c. Lời giải Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có: 0 a b c a2 ab ca ; 0 b c a b2 bc ab
0 c a b c2 ca bc Do đó, suy ra: a2 b2 c2 2(ab bc ca) a 3c a 3b 2a Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 5 . a b a c b c Đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải a c a b a b c VT 2 a b a c b c a c a b a c a b Áp dụng bđt côsi ta có: 2 a b a c a b c 1 1 1 9 3 (a b c) 3 (a b c) 3 b c a c a b b c a c a b 2.(a b c) 2 a 3c a 3b 2a 3 2 2. 5 . Đẳng thức xảy ra khi a = b = c a b a c b c 2 Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c abc . Chứng minh rằng 1 1 1 a b c 3 a b c Lời giải 1 1 1 bc ac ab a b c 3 a b c 3 a b c abc bc ac ab 2 a b c 3 a b c 3 bc ac ab a b c a2 b2 c2 bc ac ab 2 a2 b2 c2 2 bc ac ab a b 2 b c 2 c a 2 0 1 1 25 Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng (a )(b ) . a b 4 Đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải 1 a b 25 P (ab ) ( ) (*) ab b a 4 2 1 Vì a b 4ab, a b 1, ab  0 4 ab 1 a b 1 a b 15 1 15 25 Mà P (ab ) ( ) = (ab ) ( ) 2 .4 (Theo BĐT ab b a 16ab b a 16ab 2 16 4 Cauchy) nên BĐT (*) đúng do đó bđt được CM. 1 Đẳng thức xảy ra khi a b . 2
Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c Lời giải 2 x y 4 1 1 4 Ta có: x y 4xy ( x, y >0) xy x y x y x y Áp dụng kết quả này ta được: 1 1 4 4 4 p a p b p a p b 2 p a b c 1 1 4 1 1 4 Tương tự ta có: ; p b p c a p c p a b Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, thu gọn ta được: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay tam giác đã cho là đều. Bài 116: Cho a, b, c là các số dương . Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 a b c + + b c c a a b 2 Lời giải a2 b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , không âm ta có : b c 4 a2 b c a2 b c a + 2. = 2 . = a b c 4 b c 4 2 a2 b c Suy ra a - b c 4 b2 a c Tương tự b - c a 4 c2 a b c - a b 4 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được: a2 b2 c2 a b c a b c + + ( a + b + c ) - = b c c a a b 2 2 a2 b2 c2 a b c Vậy + + (đpcm) b c c a a b 2 x y x2 y2 Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh: x y x2 y2 Lời giải Với x > 0; y > 0. Ta có x + y 0 Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức ta có:
x y (x y)(x y) x y (x y)2 x2 y2 (1) x2 2xy y2 Mặt khác : x > 0 ; y > 0 nên x2 + 2xy + y2 > x2 + y2 x2 y2 x2 y2 (2) x2 2xy y2 x2 y2 x y x2 y2 Từ (1) và (2) ta có: (đpcm). x y x2 y2 Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 0 với mọi a, b, c. Lời giải A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 = 4 (a + b) (a + c) a (a + b + c) + b2c2 = 4(a2 + ab + ac + bc)(a2 + ab + ac) + b2c2 Đặt a2 + ab + ac = m, ta có: A = 4(m + bc)m + b2c2 = 4m2 + 4mbc + b2c2 =( 2m + bc)2 = (2 a2 + 2 ab + 2ac + bc)2 0 với mọi a,b,c (đpcm) 1 1 1 Bài 119: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1.Chứng minh rằng 9 a b c Lời giải 1 b c 1 a a a 1 a c Từ a b c 1 1 b b b 1 a b 1 c c c 1 1 1 a b a c b c 3 a b c b a c a c b 3 2 2 2 9 1 Dấu " "xảy ra a b c 3 Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. a b c 3 Chứng minh rằng: . 1 b2 1 c2 1 a2 2 Lời giải a ab2 ab2 ab Do a, b > 0 và 1 + b2 ≥ 2b với mọi b nên a a a . 1 b2 1 b2 2b 2 b bc c ca Tương tự ta có : b ; c 1 c2 2 1 a2 2 a b c ab bc ca mà a + b + c = 3 nên 3 (1) 1 b2 1 c2 1 a2 2 Cũng từ a + b + c = 3 (a + b + c)2 = 9 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 9
mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy ra 3(ab + bc + ca) 9 ab + bc + ca 3 (2). a b c 3 3 Từ (1) và (2) suy ra 3 đpcm. 1 b2 1 c2 1 a2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi ta có: Dấu “=”xảy ra Thật vậy, với và ta có: ( luôn đúng) Dấu “=” xảy ra Áp dụng bất đẳng thức ( ) ta có: Dấu “=” xảy ra Ta có: Áp dụng BĐT (*) ta có : (Vì abc = 1) Hay
Mà nên : Vậy Bài 122: Cho các số thực dương thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng: Lời giải Đặt Áp dụng BĐT : và với a,b,c dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Ta có: Bởi vậy (đpcm) x y 4 Bài 123: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 6 . Chứng minh rằng xyz 9 Lời giải Ta có: x y 2 4xy (1) 2 x y z 4(x y)z 36 4(x y)z (vì x y z 6 ) 36(x y) 4(x y)2 z (vì x, y dương nên x + y dương) (2) Từ (1) và (2), ta có: 36(x y) 16xyz 4 x y 4 x y xyz (đpcm) 9 xyz 9
Bài 124: Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng a b c 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b 6 a b c Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với a,b,c 0 ta có 18a 18a 18a 18a 2 2 2 2 2 2 2 3a 2b c 2 a b a c 2.2 ab 2 2 ac 2 4ab 2ac 18a 18a 18a 9 3a2 2b2 c2 4ab 2ac 2a. 2b c 2b c 2 a2 b2 a b Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz . x y x y 2 2 1 22 12 2 1 Ta có: 2b c 2b c b c 2 18a 9 2 1 2 1 Suy ra : 3a2 2b2 c2 2b c 2b c b c Tương tự: 2 18b 9 2 1 2 1 3b2 2c2 a2 2c a 2c a c a 2 18c 9 2 1 2 1 3c2 2a2 b2 2a b 2a b a b Cộng vế với vế các BĐT trên ta có: 18a 18b 18c 2 1 2 1 2 1 3a2 2b2 c2 3b2 2c2 a2 3c2 2a2 b2 c a b c a b a b c 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 :18 . DPCM 3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b a b c 6 a b c Bài 125: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: a b b c c a 1 1 1 bc a2 ac b2 ab c2 a b c Lời giải Ký hiệu vế trái là A, vế phải là B, xét hiệu A B a b 1 b c 1 c a 1 bc a2 a ac b2 b ab c2 c a2 ab bc a2 b2 bc ac b2 c2 ac ab c2 a bc a2 b ac b2 c ab c2 b a c c b a a c b a bc a2 b ac b2 c ab c2 Do a,b,c bình đẳng nên giả sử a b c, khi đó b a c 0,c b a 0 , a c b 0
b a c b a c a3 b3 c3 abc a3 abc b3 abc c3 a bc a2 b ac b2 b a c c b a a c b ab ac ac ab A B b ac b2 b ac b2 c ab c2 b ac b2 c ab c2 a b c a b c b ac b2 c ab c2 1 1 Mà nên A B 0 đpcm b ac b2 c ab c2 Bài 126: Cho a,b,c là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng a2 b2 c2 5 Lời giải Từ giả thiết ta có: 2 a 2 b 2 c 0 8 2 ab bc ca 4 a b c abc 0 Cộng hai vế với a2 b2 c2 , sau đó thu gọn ta được: a b c 2 a2 b2 c2 abc 4 a2 b2 c2 abc 5 Mà abc 0 nên a2 b2 c2 5 Dấu bằng xảy ra khi trong ba số a,b,c có một số bằng 0, một số bằng 2, một số bằng 1. 1 1 1 1 1 1 Bài 127: Chứng minh rằng: a b c a b c , trong đó a,b,c là các b c a a b c số thực không nhỏ hơn 1 Lời giải 1 1 1 1 1 1 c) a b c a b c b c a a b c ab 1 bc 1 ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 abc abc ab 1 bc 1 ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 a2b2c2 abc a b c ab bc ca a2b2c2 a2 b2 c2 a2b2 b2c2 c2a2 2 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca ab bc 2 bc ca 2 ca ab 2 a b 2 b c 2 c a 2 a c 2 b2 1 b a 2 c2 1 c b 2 a2 1 0(đúng với mọi a,b,c 1) Bài 128: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c
Lời giải Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0 y z x z x y từ đó suy ra a ;b ;c ; 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vào ta được: A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 hay A 3 2 1 1 1 1 Bài 129: Chứng minh rằng: P 1 22 32 42 1002 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 P 22 32 42 1002 1 1 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 99 1 1 1 2 2 3 3 4 99 100 100 100 bc ac ab Bài 130: Chứng minh a b c với mọi số dương a,b,c. a b c Lời giải Với mọi số dương a,b,c ta có: 2 2 2 bc ac ab bc ac ab a b c a b c a b c abc abc abc bc 2 ac 2 ab 2 a2bc b2ac c2ab 2 bc 2 2 ac 2 2 ab 2 2a2bc 2b2ac 2c2ab 0 ac 2 2a2bc ab 2 bc 2 2b2ac ab 2 ac 2 2c2ab bc 2 0 ac ab 2 bc ab 2 ac bc 2 0 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh. Bài 131: Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0 y z x z x y Từ đó suy ra a ;b ;c 2 2 2
y z x z x y 1 y x x z y z Thay vào ta được: A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 hay A 3 2 Bài 132: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1.Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 b c c a a b Lời giải Nhận xét có: a bc a a b c bc a b c a Tương tự có: b ca b a b c ;c ab c a c b a b a c b a b c c a c b Do đó VT b c c a a b Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: a b a c b a b c 2 a b b c c a a b a c c a c b 2 a c b c a b b a b c c a c b 2 b c a c a b Vậy 2.VT 4 a b c 4 hay VT 2 1 Đẳng thức xảy ra khi a b c 3 x2 y2 x y Bài 133: Cho x, y 0.Chứng minh rằng : 2 2 4 3 y x y x Lời giải x y Học sinh chứng minh 2 với mọi x, y 0 y x x y x y 2 0; 1 1 y x y x x y x y 2 1 0 y x y x x2 y2 x y x y 2 2 2 2. 2 0 y x y x y x x2 y2 x y 2 2 4 3 y x y x Dấu " "xảy ra x y 0 Bài 134: Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
2 a2 b2 c2 4a2b2 0 Lời giải 2 a2 b2 c2 4a2b2 a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab a b 2 c2 a b 2 c2 a b c a b c a c b b c a Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh. Bài 135: Cho a,b,c là các số dương. 1 1 1 27 Chứng minh: a a b b b c c(c a) 2(a b c)2 Lời giải Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta được: 1 1 1 3 (*) a(a b) b(b c) c(c a) 3 abc a b b c c a Cũng theo BĐT Cô si : 3 3 0 33 abc a b c 1 và 0 33. a b b c c a 8 a b c (2) Nhân tương ứng hai vế các BĐT (1) và (2) được: 36 abc a b b c c a 8 a b c 6 3 27 Hay 3 abc(a b)(b c)(c a) 2 a b c 2 1 1 1 27 Từ * và suy ra a(a b) b(b c) c(c a) 2 a b c 2 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức: a b c 3 với a b c 0 a b b c c a 2 Lời giải Gọi vế trái là A, ta có:
3 a 1 b 1 c 1 A 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a 2 a b 2 b c 2 c a a b b a a c c a 2 a b 2 b c 2 c a a b 1 1 a c 1 1 . . 2 a b b c 2 b c c a a b c a a c a b . . 2 a b b c 2 b c . c a a b a c 1 1 . 2 b c a b c a a b a c b c 0(Do a b c 0) 2 b c a b c a 3 Vậy A 2 1 Bài 137: Cho a b 1 . Chứng minh a2 b2 2 Lời giải Từ a b 1 a 1 b a2 1 2b b2 , thay vào đẳng thức cần chứng minh ta có: 1 1 2b 2b2 2 2 1 4b2 4b 1 0 2b 1 0.BĐT này luôn đúng . Vậy a2 b2 2 1 a 2 2 Dấu " " xảy ra 2b 1 0 1 b 2 Bài 138: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0; c a b y 0; a b c z 0 y z x z x y Từ đó suy ra a ;b ;c 2 2 2 Thay vào ta được:
y z x z x y 1 y x x z y z A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 hay A 3 a b c 2 1 1 1 Bài 139: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c Lời giải 1 b c 1 a a a 1 a c Từ a b c 1 1 b c b 1 a b 1 c c c 1 1 1 a b a c b c 3 3 2 2 2 9 a b c b a c a c b 1 Dấu “=” xảy ra a b c 3 1 1 2 Bài 140: Cho x, y thỏa mãn xy 1.Chứng minh rằng: 1 x2 1 y2 1 xy Lời giải 1 1 2 (1) 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x y x y x y 0 1 x2 1 xy 1 y2 1 xy y x 2 . xy 1 0 2 1 x2 1 y2 1 xy Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 B ĐT (2) luôn đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu " " xảy ra x y Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 y2 z2 xy xz yz với mọi x, y, z Lời giải
2 2 2 Có x y y z z x 0 với mọi x, y, z x2 2xy y2 y2 2yz z2 z2 2zx x2 0 2 x2 y2 z2 2 xy yz xz x2 y2 z2 xy yz xz (dfcm) Bài 142: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi a,b,c ¡ và x, y, z 0 ta có: 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z Thật vậy, với a,b ¡ và x, y 0 ta có: 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2 x x y xy(a b)2 2 bx ay 0 (luôn đúng) a b Dấu " " xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ta có: 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng BĐT (*) ta có :
2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vì abc 1) ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c Hay 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy .(đpcm) a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 143: Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy Lời giải 1 1 2 (1) 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x(y x) y(x y) 0 1 x2 1 xy 1 y2 (1 xy) y x 2 . xy 1 0 (2) 1 x2 1 y2 (1 xy) Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi x y Bài 144: a) Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. 1 1 1 1 1 1 CMR: 2. p a p b p c a b c a b b c c d a d b) Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: b c c d d a a b Lời giải
Ta có: 1 1 4 2 p a p b p a p b c 1 1 4 2 p b p c p a p c a 1 1 4 2 p c p a p c p a b Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh b)Ta có: a b b c c d a b a b b c c d d a 0 b c c d d a a b b c c d d a a b a c b d c a d b 4 b c c d d a a b Xét a c b d c a d b 4 b c c d d a a b 1 1 1 1 a c b d 4 b c d a c d a b 4 4 a c . b d . 4 0 a b c d a b c d đpcm Dấu " " xảy ra khi a b c d