›
›
›

Bài ôn tập môn Toán 8 - Chuyên đề 10: Biểu thức hữu tỉ

doc 187 trang hoaithuong97 6480
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài ôn tập môn Toán 8 - Chuyên đề 10: Biểu thức hữu tỉ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_on_tap_mon_toan_8_chuyen_de_10_bieu_thuc_huu_ti.doc

Nội dung text: Bài ôn tập môn Toán 8 - Chuyên đề 10: Biểu thức hữu tỉ

  1. 106 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 1 1 1 P b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 Lời giải 1 1 1 P b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 1 1 1 b2 c2 b c 2 a2 c2 a c 2 a2 b2 a b 2 1 1 1 a b c 0 2ab 2ac 2ab 2abc x5 2x4 2x3 4x2 3x 6 Bài 149: Cho biểu thức M 2 x 2x 8 e) Rút gọn M f) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức M bằng 0. Lời Giải: x5 2x4 2x3 4x2 3x 6 Cho biểu thức M x2 2x 8 a) Rút gọn M HD: ĐKXĐ: x2 2x 8 0 x 2 x 4 0 x 2 và x 4 . Ta có: x5 2x4 2x3 4x2 3x 6 x4 x 2 2x2 x 2 3 x 2 x 2 x4 2x2 3 2 x 2 x2 1 4 x 2 x3 3 x 1 x 1 x2 3 x 1 x 1 Suy ra M , x 2; x 4 . x 4 b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức M bằng 0. Đề M 0 thì x3 3 x 1 x 1 0 và x 2 ; x 4 Ta có : x3 3 x 1 x 1 0 x 1 ( thỏa ĐKXĐ ) x 1 x 1 Vậy, M 0 x 1 2 x 1 1 2x2 4x 1 x2 x Bài 150: Cho biểu thức R 2 3 : 3 3x x 1 x 1 x 1 x x a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức R được xác định; b) Tìm giá trị của x để giá trị của R bằng 0; Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  2. 107 Nhóm Toán Học Sơ Đồ c) Tìm giá trị của x để R 1 . Lời Giải: 2 x 1 1 2x2 4x 1 x2 x Cho biểu thức R 2 3 : 3 3x x 1 x 1 x 1 x x a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1 . x2 1 b) Rút gọn: R , x 0; x 1; x 1 . x 1 x2 1 Để R 0 0 x  x 1 R 1 c)Ta có: R 1 R 1 x2 1 + Với R 1 , ta có: 1 , x 0; x 1; x 1 x 1 2 x 1 2 x 0 Giải pt 1 x 1 x 1 x x 1 0 ( không thỏa ĐKXĐ ) x 1 x 1 x2 1 + Với R 1 , ta có: 1 , x 0; x 1; x 1 x 1 2 2 x 1 2 2 1 7 Giải pt 1 x 1 x 1 x x 2 0 x 0 ( vô lý ) x 1 2 4 Vậy không có giá trị nào của x để R 1 . Bài 151: Tính giá trị của biểu thức P x15 2018x14 2018x13 2018x12 2018x2 2018x 2018 , với x 2017 . Lời Giải: Tính giá trị của biểu thức P x15 2018x14 2018x13 2018x12 2018x2 2018x 2018 , với.x 2017 Thay 2018 x 1 vào P ta được: P x15 x 1 x14 x 1 x13 x 1 x12 x 1 x2 x 1 x x 1 x15 x15 x14 x14 x13 x2 x x 1 1 Vậy, P 1 khi x 2017 . x2 x x 1 1 2 x2 Bài 152: Cho biểu P 2 : 2 x 2x 1 x x 1 x x a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P . 1 b) Tìm x để P . 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 Lời Giải: a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x2 Ta có: P 2 : x 1 x x 1 x x 1 x x 1 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  3. 108 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x x 1 x2 1 x 2 x2 x x 1 x 1 : : x 1 2 x x 1 x 1 2 x x 1 x x 1 x x 1 x2  x 1 2 x 1 x 1 x2 Vậy, P với x 0; x 1; x 1 . x 1 1 x2 1 b) Để Pvới x 0; x 1 ;suyx ra 1 với x 0; x 1; x 1 2 x 1 2 1 x 2x2 x 1 2x 1 x 1 0 2 x 1 1 Vìx 0; x 1; x 1 nên chọn x 2 1 1 Vậy, P x 2 2 x2 x2 1 1 x 1 x 1 1 1 1 c) Ta có: P x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 Với x 1 nên x 1 0 và 0 . Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x 1 và ta có : x 1 x 1 1 P 2 x 1 2 2 2 4 x 1 1 Dấu « = » x 1 với x 1 x 2 ( thỏa ĐKXĐ) x 1 Vậy, GTNN P 4 x 2 Bài 153: Cho a b c 2 p . Chứng minh : 2bc b2 c2 a2 4 p p a Lời Giải: Ta có : 2 p a b c Do đó, 4 p p a 2 p 2 p 2a a b c a b c 2a 2bc b2 c2 a2 KL : 1 1 4 1 4 Bài 154: a) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng và x y x y xy x y 2 1 1 b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng 16 ac bc Lời Giải: 1 1 4 1 4 a) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng và x y x y xy x y 2 HD: Dùng biến đổi tương đương. 1 1 b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng 16 ac bc Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  4. 109 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 1 1 4 1 4 16 Theo câu a, ta có: 4 4 16 ac bc ac bc c a b c a b 1 a,b,c 0 a,b,c 0 1 a b a b c 1 a b 1 c 4 Dấu “ =” ac bc a b 1 c c b a c 1 c 2 Bài 155: Cho biểu thức M x a x b x b x c x c x a x2 1 1 1 Tính M theo a,b,c biết rằng x a b c 2 2 2 Lời Giải Ta có: M x2 ax bx ab x2 bx cx bc x2 ax cx ca 4x2 2x a b c ab bc ca 1 1 1 1 Từ x a b c 2x a b c 2 2 2 2 Thay 2 vào 1 ta được M ab bc ca a b c a c b b c a Bài 156: Cho ba số a,b,c khác 0 thỏa mãn đẳng thức: . c b a b c a Tính giá trị của biểu thức: P 1 1 1 a b c Lời Giải: a b c a c b b c a Từ giả thiết, suy ra 2 2 2 c b a a b c a b c a b c c a b Xét hai trường hợp : a b b c c a c a b + Nếu a b c 0 P   1 a b c a.b.c + Nếu a b c 0 a b c 0 P 2.2.2 8 KL : 7 7 5a b 3b 2a Bài 157: a) Biết a ,b và 2a b 7 . Tính giá trị của biểu thức P 3 2 3a 7 2b 7 2a b 5b a b) Biết b 3a và 6a2 15ab 5b2 0 . Tính giá trị của biểu thức Q 3a b 3a b Lời Giải: 7 7 5a b 3b 2a a) Biết a ,b và 2a b 7 . Tính giá trị của biểu thức P 3 2 3a 7 2b 7 5a b 3b 2a 2a b 3a 2b 2a b 7 3a 2b 7 Ta có: P 1 1 0 3a 7 2b 7 3a 7 2b 7 3a 7 2b 7 7 7 Vậy, P 0 khi a ,b và 2a b 7 . 3 2 2a b 5b a b) Biết b 3a và 6a2 15ab 5b2 0 . Tính giá trị của biểu thức Q 3a b 3a b Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  5. 110 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 2a b 5b a 2a b 3a b 5b a 3a b 3a2 6b2 15ab Ta có: Q 3a b 3a b 3a b . 3a b 3a b . 3a b 2 2 2 2 9a b 6a 5b 15ab 9a2 b2 1 3a b 3a b 9a2 b2 Vậy, Q 1 khi b 3a và 6a2 15ab 5b2 0 Bài 158: Tính giá trị của biểu thức P x15 2018x14 2018x13 2018x12 2018x2 2018x 2018 , với x 2017 . Lời Giải: Tính giá trị của biểu thức P x15 2018x14 2018x13 2018x12 2018x2 2018x 2018 , với.x 2017 Thay 2018 x 1 vào P ta được: P x15 x 1 x14 x 1 x13 x 1 x12 x 1 x2 x 1 x x 1 x15 x15 x14 x14 x13 x2 x x 1 1 Vậy, P 1 khi x 2017 . Bài 159: Cho x, y là hai số khác nhau, biết x2 y y2 x . 2 2 Tính giá trị của biểu thức A x 2xy y 3x 3y Lời Giải: Cho x, y là hai số khác nhau, biết x2 y y2 x . Tính giá trị của biểu thức A x2 2xy y2 3x 3y Ta có : x2 y y2 x x y x y 1 0 Vì x y nên x y 1 0 x y 1 Khi đó, A x2 2xy y2 3x 3y x y 2 3 x y 1 2 3 1 4 Vậy, A 4 khi x2 y y2 x và x y . 3 3 2 2 Bài 160: Cho a b c 0 . Chứng minh rằng: a b a c b c abc 0 Lời Giải: Ta có: a3 b3 a2c b2c abc a3 b3 a2c b2c abc a b a2 ab b2 c a2 ab b2 a2 ab b2 a b c 0 ( Vì a b c 0 ) Bài 161: Cho x2 y2 z2 10 . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 P xy yz zx 2 x2 yz y2 xz z2 xy Lời Giải: 2 2 2 Ta có: P xy yz zx 2 x2 yz y2 xz z2 xy . x2 y2 y2 z2 x2 z2 2xy2 z 2x2 yz 2xyz2 x4 y2 z2 2x2 yz y4 x2 z2 2xy2 z z4 x2 y2 2xyz2 2 2 x4 2x2 y2 y4 2y2 z2 2x2 z2 z4 x2 y2 2 x2 y2 z2 z4 x2 y2 z2 102 100 ( Vì x2 y2 z2 10 ). Vậy, P 100 khi x2 y2 z2 10 . Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  6. 111 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Bài 162: Chứng minh rằng nếu ba số a,b,c thỏa mãn điều kiện: a b c 2018 và 1 1 1 1 thì một trong ba số a,b,c phải có một số bằng 2018. a b c 2018 Lời Giải: 1 1 1 1 1 1 1 1 Từ a b c 2018 và suy ra a b c 2018 a b c a b c 1 1 1 1 a b a b 0 0 a b c a b c ab c a b c a b c a b c ab 0 a b b c c a 0 a b 0 mà a b c 2018 b c 0 c a 0 Do đó, trong ba số a,b,c phải có một số bằng 2018. Bài 163: Rút gọn các phân thức: x3 y3 z3 3xyz a)A ; x y 2 y z 2 z x 2 3 3 3 x2 y2 y2 z2 z2 x2 b) B x y 3 y z 3 z x 3 Lời Giải: 1 2 2 2 * Nhớ : a3 b3 c3 3abc a b c a b b c c a 2 Do đó, nếu a b c 0 hoặc a b c thì a3 b3 c3 3abc . 1 2 2 2 3 3 3 x y z x y y z z x x y z 3xyz 1 a) A 2 x y z x y 2 y z 2 z x 2 x y 2 y z 2 z x 2 2 3 3 3 x2 y2 y2 z2 z2 x2 b) B x y 3 y z 3 z x 3 Ta có : x2 y2 y2 z2 z2 x2 0 3 3 3 Do đó, x2 y2 y2 z2 z2 x2 3 x2 y2 y2 z2 z2 x2 1 Ta lại có: x y y z z x 0 Do đó, x y 3 y z 3 z x 3 3 x y y z z x 2 3 x2 y2 y2 z2 z2 x2 Từ (1) và (2) suy ra B x y y z z x 3 x y y z z x x40 x30 x20 x10 1 Bài 164: a) Rút gọn phân thức: A 45 40 35 5 x x x  x 1 x24 x20 x16 x4 1 b) Rút gọn phân thức: B x26 x24 x22 x2 1 Lời Giải: Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  7. 112 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x40 x30 x20 x10 1 x40 x30 x20 x10 1 a) A x45 x40 x35  x5 1 x5 x40 x30 x20 x10 1 x40 x30 x20 x10 1 x40 x30 x20 x10 1 1 x40 x30 x20 x10 1 x5 1 x5 1 x24 x20 x16 x4 1 x24 x20 x16 x4 1 b) B x26 x24 x22 x2 1 x24 x2 1 x20 x2 1  x4 x2 1 x2 1 x24 x20 x16 x4 1 1 x2 1 x24 x20 x16 x4 1 x2 1 1 1 1 Bài 165: Cho các số a,b,c khác 0, thoả mãn a b c 1 . a b c Tính giá trị của biểu thức a23 b23 a5 b5 a2019 b2019 Lời Giải: 1 1 1 1 1 1 1 Từ a b c 1 a b c a b c a b c a b 0  a b b c c a 0 b c 0 c a 0 Đặt P a23 b23 a5 b5 a2019 b2019 + Nếu a b 0 thì a b a23 b23 a23 b23 0 . Vậy, P 0 . + Nếu b c 0 thì b c b5 c5 b5 c5 0 . Vậy, P 0 . + Nếu c a 0 thì c a c2019 a2019 c2019 a2019 0 . Vậy, P 0 . Kết luận: Với điều kiện đã cho P 0 . Bài 166: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y y z z x 8xyz . Chứng minh rằng: x y z Lời Giải: 2 2 2 Ta có: x y y z z x 8xyz x x y y z x z x y 0 Vì x, y, z 0 nên y z 2 z x 2 x y 2 0 x y z 0 KL: a b c a2 b2 c2 Bài 167: Cho 1 . Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b Lời Giải: a b c Nhân cả hai vế của 1 với a b c 0 , ta được: b c c a a b a2 a b c b2 b c a c2 c a b a b c b c c a a b a2 b2 c2 a b c a b c b c c a a b Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  8. 113 Nhóm Toán Học Sơ Đồ a2 b2 c2 0 b c c a a b KL: 1 1 1 1 1 1 Bài 168: Chứng minh rằng nếu 2 và a b c abc thì 2 2 2 2 a b c a b c Lời Giải: 1 1 1 1 1 1 a b c Bình phương hai vế 2 , ta được 2. 4 a b c a2 b2 c2 abc 1 1 1 1 1 1 Suy ra 2.1 4 ( Vì a b c abc ) hay 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 KL: Bài 169: Cho x, y, z thỏa điều kiện x y z 0 và xy yz zx 0 . Hãy tính giá trị của biểu thức: S x 1 2017 y2018 z 1 2019 Lời Giải: Ta có: x y z 0 x y z 2 0 x2 y2 z2 2 xy yz zx 0 x2 y2 z2 0 ( Vì xy yz zx 0 ) x y z 0 Suy ra S 0 1 2017 02018 0 1 2019 0 Vậy, S 0 khi x y z 0 và xy yz zx 0 . Bài 170: Rút gọn biểu thức: x 1 x 2 x 3 x 4 1 a) M x2 5x 5 1 1 2 4 8 16 b) N 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 Lời Giải: Rút gọn biểu thức: x 1 x 2 x 3 x 4 1 x2 5x 4 x2 5x 6 1 a) M x2 5x 5 x2 5x 5 2 2 x2 5x 4 2 x2 5x 4 1 x2 5x 5 x2 5x 5 x2 5x 5 x2 5x 5 1 1 2 4 8 16 b) N 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 2 2 4 8 16 1 x2 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 4 4 8 16 1 x4 1 x4 1 x8 1 x16 8 8 16 1 x8 1 x8 1 x16 16 16 1 x16 1 x16 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  9. 114 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 32 1 x32 2 2 2 4 4 4 Bài 171: Cho a + b + c = 0 và a b c 1 . Tính giá trị của biểu thức M a b c Lời Giải: 2 Ta có : 12 a2 b2 c2 1 a4 b4 c4 2 a2b2 b2c2 c2a2 a4 b4 c4 1 2 a2b2 b2c2 c2a2 (1) Ta lại có : a b c 0 a b c 2 0 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 ab bc ca 2 1 2 1 ab bc ca ab bc ca 2 4 1 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c 4 1 a2b2 b2c2 c2a2 4 1 1 Do đó, M a4 b4 c4 1 2. 4 2 x4 2x2 1 Bài 172: Cho phân thức A 3 x 3x 2 a) Rút gọn A. b) Tính x để A 1 Lời Giải: a) Rút gọn A. Ta có x3 3x 2 x 1 2 x 2 2 ĐKXĐ: x3 3x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 và x 2 Ta lại có: x4 2x2 1 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 Suy ra A x 1 2 x 2 x 2 x 1 2 Vậy, A với x 1 và x 2 x 2 b) Tính x để A 1 2 x 1 x2 2x 1 Ta có: A 1 1 1 0 x 2 x 2 x2 2x 1 x 2 x2 3x 3 0 0 x 2 x 2 2 3 3 x 2 2 4 3 3 0 x 2 0 ( Vì x 0 ) x 2 2 4 x 2 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  10. 115 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Kết hợp với ĐKXĐ, ta được A 1 x 2 và x 1 . x.y 5 x2 2xy y2 Bài 173: a) Cho2 2 , hãy tính A 2 2 x y 8 x 2xy y x y z x2 y2 z2 b) Cho , hãy tính B a b c ax by cz 2 Lời Giải: xy 5 x2 2xy y2 a) Cho , hãy tính A x2 y2 8 x2 2xy y2 xy 5 2 2 Ta có: 2 2 suy ra 5 x y 8xy với x 0 và y 0 . x y 8 2 2 2 2 x2 2xy y2 5 x 2xy y 5 x y 10xy 8xy 10xy 2xy 1 Ta có: A ( vì xy 0 ) x2 2xy y2 5 x2 2xy y2 5 x2 y2 10xy 8xy 10xy 18xy 9 1 xy 5 Vậy, A với . 9 x2 y2 8 x y z x2 y2 z2 b) Cho , hãy tính B a b c ax by cz 2 x y z Đặt k x ka, y kb, z kc với a,b,c 0 a b c 2 2 2 2 x2 y2 z2 k 2a2 k 2b2 k 2c2 k a b c 1 Khi đó, B 2 2 2 2 2 2 ax by cz a2k b2k c2k k 2 a2 b2 c2 a b c 1 x y z Vậy, B khi với a,b,c 0 . a2 b2 c2 a b c a b c) Cho a b 0 thỏa mãn: 3a2 3b2 10ab . Tính C a b a b Vì a b 0 nên C 0 a b 2 2 2 3 a2 2ab b2 3 a2 b2 6ab 2 a b a 2ab b 10ab 6ab 4ab 1 Xét C 2 2 a b a 2ab b 3 a2 2ab b2 3 a2 b2 6ab 10ab 6ab 16ab 4 1 Suy ra C vì C 0 2 1 Vậy, C với a b 0 thỏa mãn: 3a2 3b2 10ab 2 x2 3x 3 1 6x Bài 174: Cho biểu thức: P 3 2 2 : 3 2 x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 a) Rút gọn P ; b) Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào? c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. Lời Giải: a) Rút gọn P ĐKXĐ: x 3 . Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  11. 116 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x x 3 3 1 6x Ta có: P : 2 x2 9 x 3 2 x 3 x 9 x 3 x 9 2 x 3 x2 9 6x x 3 x 3 x 9 x 3 : . x2 9 x 3 x2 9 x2 9 x 3 2 x 3 x 3 Vậy, P , x 3 . x 3 b)Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào? x 3 Ta có: P , x 3 x 3 3 P 1 P x 3 x 3 x P 1 3 1 P x P 1 3 P 1 P 1 P 1 Với x 0 0 0 P 1 P 1 P 1 Vậy, với x 0 thì P không nhận các giá trị từ (-1) đến 1, tức là P  1;1 . c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. x 3 Ta có: P , x 3 x 3 x 3 6 6 1 Z x 3 x 3 Suy ra x 3 U 6 1; 2; 3; 6 . Lập bảng : x 3 -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 x -3 0 1 2 4 5 6 9 Vậy, x 0;1;2;4;5;6;9 . x 3 8x2 3x 1 Bài 175: Cho biểu thức: Q 1 2 : 3 2 2 x 5x 6 4x 8x 3x 12 x 2 a) Rút gọn Q ; b) Tìm các giá trị của x để Q 0,Q 1 ; c) Tìm các giá trị của x để Q 0 . Lời Giải: x 3 8x2 3x 1 Cho biểu thức: Q 1 2 : 3 2 2 x 5x 6 4x 8x 3x 12 x 2 a) Rút gọn Q : x 3 8x2 3x 1 Ta có: Q 1 : 2 x 2 x 3 4x x 2 3 x 2 x 2 x 2 ĐKXĐ: x 0, x 2, x 3 . 1 2 x 1 x 4 Suy ra Q 1 : x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 6 x 4 Vậy, Q với x 0, x 2, x 3 . 6 b) Tìm các giá trị của x để Q 0,Q 1 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  12. 117 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x 4 Ta có Q 0 0 x 4 ( thỏa ĐKXĐ ) 6 x 4 Ta có: Q 1 1 x 2 ( không thỏa ĐKXĐ ) 6 Vậy, tại x 4 thì Q 0 và không tồn tại x để Q 1 . c) Tìm các giá trị của x để Q 0 . x 4 Ta có: Q 0 0 x 4 6 Kết hợp với ĐKXĐ, ta có: Q 0 x 4 và x 0, x 2, x 3 . a2 4a 4 Bài 176: Cho phân thức: A a3 2a2 4a 8 a) Rút gọn A ; b) Tìm a Z để A có giá trị nguyên Lời Giải: a) Rút gọn A : 2 2 a2 4a 4 a 2 a 2 Ta có: A a3 2a2 4a 8 a2 a 2 4 a 2 a 2 2 a 2 ĐKXĐ: a 2 . 1 Khi đó, A với a 2 . a 2 b) Tìm a Z để A có giá trị nguyên. 1 a 3 Để A có giá trị nguyên với a Z và a 2 thì a 2 1 ( thỏa ĐKXĐ) a 2 a 1 Vậy, a 3 hoặc a 1 thì A nhận giá trị nguyên. 2 1 2 1 4 1 4 1 Bài 177: Cho x 2 : x 2 a . Tính M x 4 : x 4 theo a . x x x x Lời Giải: 2 1 2 1 4 1 4 1 Cho x 2 : x 2 a . Tính M x 4 : x 4 theo a . x x x x 4 2 1 2 1 x 1 4 a 1 Ta có: a x 2 : x 2 4 x a 1 x x x 1 1 a a 1 2a Thay x4 a 1 vào M , rút gọn ta được M ,a 1 . 1 a a2 1 ab bc ca Bài 178: Cho a,b,c là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ số a b b c c a ab bc ca đều có nghĩa ). Tính: M . a2 b2 c2 Lời Giải: ab bc ca a b b c c a Ta có: a b b c c a ab bc ca 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 0 b a c b a c a b c Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  13. 118 Nhóm Toán Học Sơ Đồ ab bc ca 3a2 Khi đó, M 1 a2 b2 c2 3a2 ab bc ca Vậy, M 1 với a,b,c là ba số dương khác 0. a b b c c a a b 2 ab 2 Bài 180: Cho a b 1 và ab 0 . Chứng minh: 3 3 2 2 b 1 a 1 a b 3 Lời Giải: Với a b 1 và ab 0 , ta có: 3 3 4 4 2 2 2 2 2 a b a a 1 b b 1 a b a b a b 2a b 1 b3 1 a3 1 a3 1 b3 1 a3b3 a3 b3 1 a3b3 a b 3 3ab a b 1 2 a b 2 2ab 2a2b2 1 ( Vì a b 1 và ab 0 ) a3b3 3ab 1 4ab 4a2b2 2a2b2 1 ( Vì a b 1 và ab 0 ) ab a2b2 3 2ab ab 2 2 ab 2 ( Vì ab 0 ) ab a2b2 3 a2b2 3 a b 2 ab 2 Vậy, với a b 1 và ab 0 . b3 1 a3 1 a2b2 3 Bài 181: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện: abc 2019 . Chứng minh rằng: 2019a b c 1 ab 2019a 2019 bc b 2019 ca c 1 Lời Giải: Ta có: 2019a b c ab 2019a 2019 bc b 2019 ca c 1 abca b c ab abca abc bc b 2019 ca c 1 a(bca) b bc a(b abc bc) bc b 2019 bca bc b bca b bc b abc bc bc b 2019 bca bc b 2019 b bc 2019 b bc 1 . b 2019 bc bc b 2019 2019 bc b b 2019 bc 2019a b c Vậy, 1 với abc 2019 . ab 2019a 2019 bc b 2019 ca c 1 x 2x 3y Bài 182: Cho 3y x 6 . Tính giá trị của biểu thức M y 2 x 6 Lời Giải: x 2x 3y Cho 3y x 6 . Tính giá trị của biểu thức M y 2 x 6 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  14. 119 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Ta có: 3y x 6 x 3y 6, 3y x 6 x 2x 3y 3y 6 2x x 6 Do đó, M 3 1 4 y 2 x 6 y 2 x 6 x 2x 3y Vậy, M khi 3y x 6 . y 2 x 6 3 5 7 2n 1 Bài 183: Cho biểu thức P 2 2 2 2 ,n N * 1.2 2.3 3.4 n n 1 a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P tại n 99 . Lời Giải: a) Rút gọn P : 2 2k 1 k 1 k 2 1 1 Ta có: với k N * . k 2 k 1 2 k 2 k 1 2 k 2 k 1 2 3 5 7 2n 1 Do đó, P 2 2 2 2 ,n N * 1.2 2.3 3.4 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 n n 2 1 12 22 22 32 n2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n n 2 Vậy, P ,n N * . n 1 2 b) Tính giá trị của P tại n 99 . 99. 99 2 9999 Tại n 99 ta có P 99 1 2 10000 9999 Vậy, P tại n 99 . 10000 Bài 184: 2 a) Cho a,b,c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c a2 b2 c2 a2 b2 c2 Tính giá trị của biểu thức: P a2 2bc b2 2ac c2 2ab b) Cho x y z 0.Chứng minh rằng: 2 x5 y5 z5 5xyz x2 y2 z2 Lời Giải: 2 a) a b c a2 b2 c2 ab ac bc 0 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  15. 120 Nhóm Toán Học Sơ Đồ a2 a2 a2 a2 2bc a2 ab ac bc a b a c b2 b2 c2 c2 Tương tự: ; b2 2ac b a b c c2 2ac c a c b a2 b2 c2 P a2 2bc b2 2ac c2 2ab a2 b2 c2 a b a c a b b c a c b c a b a c b c 1 a b a c b c 3 b) Vì x y z 0 x y z x y z3 Hay x3 y3 3xy x y z3 3xyz x3 y3 z3 3xyz x2 y2 z2 x3 y3 z3 x2 y2 z2 Do đó: x5 y5 z5 x3 y2 z2 y3 z2 x2 z3 x2 y2 2 Mà x2 y2 x y 2xy z2 2xy Vi x y z Tương tự: y2 z2 x2 2yz; z2 x2 y2 2zx Vì vậy: 3xyz x2 y2 z2 x5 y5 z5 x3 x2 2yz y3 y2 2zx z3 z2 2xy 2 x5 y5 z5 2xyz x2 y2 z2 Suy ra : 2 x5 y5 z5 5xyz x2 y2 z2 Bài 185: Rút gọn biểu thức sau: Lời giải Điều kiện: Ta có: = = = Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  16. 121 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Vậy Bài 186: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P khi x là nghiệm của phương trình x2 – 3x + 2 = 0 Lời giải a) Với ta có : Vậy thì b) Ta có : x2 – 3x + 2 = 0 thay x= 2 vào P ta có: P = Kết luận với x = 2 thì P = Bài 187: Cho biểu thức Tìm x để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức Lời giải Ta có: ĐK : Khi đó: Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  17. 122 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Vậy R xác định khi và Bài 188: Cho x2 + x =1.Tính giá trị biểu thức Q = x6 + 2x5 +2x4 +2x3 + 2x2 +2x + 1 Lời giải Ta có: Q = x6 + 2x5 +2x4 +2x3 + 2x2 +2x + 1 = x2.(x4 + 2x3 +x2) + (x4 + 2x3+x2) + x2 + x + x +1 = x2(x2 + x)2 +(x2 +x)2 + x + 2 = x2 + x + 3 = 4 Vậy Q = 4 Bài 189: Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A nhận giá trị là số âm c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức (x+2).A nhận giá trị là số nguyên. Lời giải a) ĐKXĐ : . Rút gọn được: b) A< 0  x – 1 < 0  x < 1 Đối chiếu với ĐKXĐ, ta được x < 1 c) Ta có: Lập luận để suy ra : Bài 190: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên? c) Tìm giá trị lớn nhất của A Lời giải a) Ta có: b) Muốn A nhận giá trị nguyên thì Từ đó tìm được tập hợp các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên là Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  18. 123 Nhóm Toán Học Sơ Đồ c) Ta có : nhận giá trị lớn nhất khi có giá trị nhỏ nhất Mà mọi x Vậy Max A= 3  x = 0 Bài 191: Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn (a - b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 2010 Tính giá trị của biểu thức A = |a – b| +|b – c| +|c – a| Lời giải Đặt Ta có: Do x,y,z là số nguyên có tổng bằng 0 và xyz = 70 = (-2).(-5).7 nên Suy ra A = |a – b| +|b – c| +|c – a| = 14 Bài 192: Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x : (x – 1)4 –x2(x2 + 6) + 4x(x2 + 1) Lời giải Ta có: (x – 1)4 –x2(x2 + 6) + 4x(x2 + 1) = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1 – x4 – 6x2 + 4x3 + 4x = 1 Vậy với mọi giá trị của x biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến x. Bài 193: Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng: Nếu a + b + c = 0 thì Lời giải Ta có: a(b – c)(b + c – a)2 + c(a – b)(a + b – c)2 - b(a – c)(a + c – b)2 = 0 (1) Đặt Khi đó ta có: VT = = Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  19. 124 Nhóm Toán Học Sơ Đồ  đpcm Bài 194: Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng: Nếu a + b + c = 0 thì Lời giải Đặt : = y; (1) Ta có: ) Ta lại có: Tương tự ta có: Vì a + b + c = 0 nên suy ra a3 + b3 + c3 = 3abc Do đó: Bài 195: Tìm 3 số dương a,b,c thỏa mãn : Lời giải Từ giả thiết : a2 + 2c2 = 3b2 + 19 suy ra a2 + 2c2 - 3b2 = 19 Ta có: Suy ra : Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  20. 125 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Vậy a = 7; b = 8; c =9 Bài 196: Chứng minh rằng (x2 + y2 +z2)2 = 2(x4 + y4 +z4) biết x+ y + z = 0 Lời giải Ta có: x + y + z = 0 suy ra x = -(y+z) Do đó: x2 = [-(y+z) ]2  x2 = y2 + z2 + 2yz  x2 – y2 – z2 = 2yz  (x2 – y2 –z2) = 4y2z2  x4 + y4 + z4 = 2x2y2 + 2y2z2 + 2x2z2  2(x4 + y4 + z4) = x4 + y4 + z4 + 2x2y2 + 2y2z2 + 2x2z2  2(x4 + y4 + z4) = (x4 + y4 + z4)2 a2 b2 Bài 197: Biết a3 3ab2 5 và b3 3a2b 10 . Tính M 2018 Lời giải a3 3ab2 5 a6 6a4b2 9a2b4 25 b3 3a2b 10 b6 6a2b4 9a4b2 100 a6 3a4b2 3a2b4 b6 125 2 2 3 a b 5 a2 b2 53 2018 2018 ab Bài 198: Biết 4a2 b2 5ab với 2a b 0. Tính giá trị biểu thức C 4a2 b2 Lời giải 4a2 b2 5ab a b 4a b 0 a b 0 a b 4a b 0 a 4b Do 2a b 0 nên 4a b loại ab a2 1 Với a b thì C 4a2 b2 4a2 a2 3 Bài 199: Cho 10a2 = 10b2 – c2. Chứng minh rằng: (7a – 3b – 2c)(7a – 3b + 2c) = ( 3a – 7b)2 Lời giải VT = (7a – 3b)2 – 4c2 = 49a2- 42ab + 9b2 – 4c2 mà 10a2 = 10b2 + c2 nên c2 = 10a2 – 10b2 nên VT = 49a2 – 42ab + 9b2 – 4(10a2 – 10b2) = 49a2 – 42ab + 9b2 – 40a2 + 40b2 = 9ª2 – 42ab + 49b2 = (3a – 7b)2 = VP Bài 200: Chứng minh rằng: Với mọi x ¤ thì giá trị của đa thức : M x 2 x 4 x 6 x 8 16 là bình phương của một số hữu tỉ Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  21. 126 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Lời giải Ta có: M x2 10x 16 x2 10x 24 16 Đặt a x2 10x 16 2 Suy ra M a a 8 16 a2 8a 16 a 4 2 Vậy M x2 10x 20 (dpcm) Bài 201: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a b c 0. Chứng minh rằng ab bc ca 0 Lời giải Có: 2 2 2 2 2 2 a b 2ab;a c 2ac;b c 2ac Cộng được: 2a2 2b2 2c2 2ab 2ac 2bc a2 b2 c2 ab ac bc (1) a b c 0 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 0 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (2) Cộng 1 với 2 được 3ab 3ac 3bc 0 ab bc ca 0 Bài 202: Chứng minh rằng: a b c b c a 2 c a b a b c 2 b a c a c b 2 Lời giải Ta có: a b c b c a2 c a b a b c2 b a c a c b2 0 (1) x z a 2 a b c x x y Đặt b c a y b 2 a c b z y z c 2 Khi đó ta có: x z x y y z 2 y z x z x y 2 1 2 VT . .y . x x y x y z 2 2 2 2 2 2 4 x z x z y z z y 1 . .y2 . .x2 . x2 y2 z2 2 2 2 2 4 1 1 1 = x2 z2 y2 z2 y2 x2 . x2 y2 .z2 4 4 4 1 1 x2 y2 z2 x2 y2 z2 0 VP (dfcm) 4 4 Bài 203: Cho a,bdương và a2000 b2000 a2001 b2001 a2002 b2002 . Tính a2011 b2011 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  22. 127 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Lời giải a2001 b2001 a b a2000 b2000 ab a2002 b2002 a b ab 1 a 1 a 1 b 1 0 b 1 2000 2001 b 1(tm) Với a 1 b b b 0(ktm) 2000 2001 a 1(tm) Với b 1 a a a 0(ktm) Vậy a 1;b 1 a2011 b2011 2 1 2a 3b 7 3a Bài 204: Tìm a,b biết 15 23 7a 20 Lời giải 1 2a 7 3a Từ 20 1 2a 15 7 3a a 1 15 20 1 2a 3b 1 2.1 3b Thay a 1 vào tỉ lệ thức ta được: b 2 15 23 7a 15 23 7.1 Vậy a 1, b 2 Bài 205: Chứng minh rằng: a b c b c a 2 c a b a b c 2 b a c a c b 2 Lời giải Ta có: a b c b c a2 c a b a b c2 b a c a c b2 0 (1) x z a 2 a b c x x y Đặt b c a y b 2 a c b z y z c 2 Khi đó ta có: Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  23. 128 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x z x y y z 2 y z x z x y 2 1 2 VT . .y . x x y x y z 2 2 2 2 2 2 4 x z x z y z z y 1 . .y2 . .x2 . x2 y2 z2 2 2 2 2 4 1 1 1 = x2 z2 y2 z2 y2 x2 . x2 y2 .z2 4 4 4 1 1 x2 y2 z2 x2 y2 z2 0 VP (dfcm) 4 4 Bài 206: x4 x2 1 a) Cho x2 4x 1 0 . Tính E x2 x x2 b) Cho a . Tính F theo a x2 x 1 x4 x2 1 Lời giải x4 x2 1 Cho x2 4x 1 0 . Tính E x2 x2 x 1 *Cách 1: Ta có x2 4x 1 0 x2 x 1 3x 3, x 0 x x4 x2 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2x E 2 . 3. 3. 3. 3 5 15. x x x x x x x4 x2 1 Vậy, E 15 khi x2 4x 1 0 . x2 2 2 2 x4 x2 1 x 1 x 4x x2 15x2 *Cách 2: E 15, x 0 x2 x2 x2 x2 x x2 b) Cho a . Tính F theo a x2 x 1 x4 x2 1 + Xét x 0 thì a 0 F 0 + Xét x 0 thì a 0 x2 x x x Ta có F  a  1 x4 x2 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2x 1 1 2a x2 a Mặt khác, 2 2 x2 x x a a x2 x 1 1 2a a a2 Từ 1 và 2 suy ra F a  1 2a 1 2a a2 x Vậy, F khi a . 1 2a x2 x 1 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  24. 129 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 14 4 54 4 94 4 214 4 Bài 207: Rút gọn biểu thức: P 34 4 74 4 114 4 234 4 Lời giải 14 4 54 4 94 4 214 4 Rút gọn biểu thức: P 34 4 74 4 114 4 234 4 2 n4 4 n2 2 2n 2 n2 2n 2 n2 2n 2 n 1 2 1 n 1 2 1 Xét 14 4 54 4 94 4 214 4 Do đó, P 34 4 74 4 114 4 234 4 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 4 1 6 1 20 1 22 1 1 1 . 22 1 42 1 62 1 82 1 222 1 242 1 242 1 577 x 2 1 10 x2 Bài 208: Cho biểu thức M 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 b) Rút gọn biểu thức M . b) Tính giá trị của M , biết x . 2 c)Tìm giá trị của x để M 0 . d) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên. Lời giải x 2 1 10 x2 a) Rút gọn M 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 ĐKXĐ: x 2 x 2 x 2 x 2 6 6 x 2 1 Ta có: M :  x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 6 2 x 1 Vậy, M , x 2 2 x 1 b) Tính giá trị của M , biết x . 2 1 1 1 Ta có: x x hoặc x . 2 2 2 1 1 2 + Với x ( thỏa ĐKXĐ) thì M 1 2 2 3 2 1 1 2 + Với x ( thỏa ĐKXĐ) thì M 1 2 2 5 2 1 2 2 +Vậy, khi x thì M hoặc M 2 3 5 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  25. 130 Nhóm Toán Học Sơ Đồ c) Tìm giá trị của x để M 0 . 1 Ta có: M 0 0 2 x 0 x 2 (thỏa ĐKXĐ) 2 x Vậy, M 0 x 2 d) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên. 1 Để M có giá trị nguyên khi x nguyên và x 2 thì 2 x U 1 1;1 2 x Giải ra x 1 hoặc x 3 ( thỏa ĐKXĐ) Suy ra x 1;3 thì M có giá trị nguyên. 2 x2 y2 x2 y2 x y Bài 209: Cho biểu thức: P 2 2 . 2 2 với x x xy xy xy y x xy y x 0; y 0; x y 3) Rút gọn biểu thức P. 4) Tính giá trị của biểu thức P,biết x,y thỏa mãn đẳng thức: x2 y2 10 2 x 3y Lời giải 1) Với x 0; y 0; x y ta có: 2 2 2 2 2 x y x y x y xy x y P . x xy x y x2 xy y2 2 2 xy x y x y x y x y . x xy x y x2 xy y2 2 2 2 x y x xy y x y . x xy x y x2 xy y2 2 x y x y x xy xy 2) Ta có: x2 y2 10 2 x 3y x2 2x 1 y2 6y 9 0 2 2 x 1 y 3 0 x 1 Lập luận (tm) y 3 x y 1 3 2 Nên thay x 1; y 3 vào biểu thức P xy 1. 3 3 Bài 210: Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  26. 131 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 1 2 5 x 1 2x Cho biểu thức: A : 1 x 1 x 1 x2 x2 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A A Lời giải 1 a) ĐKXĐ: x 1; x 2 1 x 2 1 x 5 x x2 1 A . 2 1 x 1 2x 2 x2 1 2 . 1 x2 1 2x 1 2x x 1(ktm) b)A nguyên, mà x nguyên nên 2 1 2x , từ đó tìm được x 0(tm) Vậy x 0 c) Ta có: 1 A A A 0 1 2x 0 x 2 1 Kết hợp với điều kiện : 1 x 2 x2 x x 1 1 2 x2 Bài 211: Cho biểu thức : P 2 : 2 x 2x 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1 x2 Rút gọn P ta có: P x 1 2 1 3 2 2 2 x x x x x 1 2 4 b) P 1 1 1 0 0 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 1 Vậy với x 1 và x 0; x 1 thì P 1 x2 x2 1 1 1 1 a) Ta có: P x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  27. 132 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 1 Khi x 1; x 1 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x 1 2 . Dấu " " xảy ra khi x 1 và chỉ khi x 2. Vậy GTNN của P bằng 4 x 2 4x 8x2 x 1 2 Bài 212: Cho biểu thức : A 2 : 2 2 x 4 x x 2x x a) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A 1 c) Tìm các giá trị của x để A 0 Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 2 2 4x 8x2 x 1 2 4x 2 x 8x x 1 2 x 2 A 2 : 2 : 2 x 4 x x 2x x 2 x 2 x x x 2 8x 4x2 8x2 x 1 2x 4 8x 4x2 3 x : : 2 x 2 x x x 2 2 x 2 x x x 2 4x 2 x x x 2 4x2 . 2 x 2 x 3 x x 3 2 x 1 4x 2 b) A 1 1 4x x 3 0 3 x 3 x 4 4x2 c) A 0 0 x 3 0 x 3 x 3 Vậy x 3; x 0; x 2 thì A 0 x y Bài 213: Tính giá trị của biểu thức P . Biết x2 2y2 xy x y 0; y 0 x y Lời giải x2 2y2 xy x2 xy 2y2 0 x y x 2y 0 Vì x y 0 nên x 2y 0 x 2y 2y y y 1 Khi đó P 2y y 3y 3 Bài 214: Rút gọn bc ca ab a) A a b a c b c b a c a c b Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  28. 133 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 6 1 1 6 x x 6 2 x x b) B 3 1 1 3 x x 3 x x Lời giải a) Rút gọn A 1 1 b) Rút gọn B 3 x x Bài 215: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện xyz 2009.Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến x,y,z : 2009x y z xy 2009x 2009 yz y 2009 xz z 1 Lời giải 2009x y z 2009 2009x xy xyz y yz 1 z zx xy.xz 1 z 1 z xz 1 xy xz z 1 1 z zx 1 z zx 1 z zx 2 2 x 1 x 1 Bài 216: Cho biểu thức: A . x 1 : 3x x 1 3x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên Lời giải 2 2 x 1 x 1 c) A . x 1 : 3x x 1 3x x 2 2 x 1 3x x 1 x 1 A . : 3x x 1 3x x 2 2.(1 3x) x A . 3x 3x x 1 x 2x A 2. x 1 x 1 2x 2x 2 d) Với x 0; x 1, Ta có: A 2 A 2 x 1 x 1 x 1 Để A ¢ thì x 1 phải là ước của 2 x 1 1; 2 Đối chiếu điều kiện tìm được x 2 hoặc x 3 thỏa mãn x 5 x 2x 5 2x Bài 217: Cho biểu thức : P : x2 25 x2 5x x2 5x 5 x Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  29. 134 Nhóm Toán Học Sơ Đồ a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để P có giá trị là một số nguyên. Lời giải 5 c) Tìm được ĐKXĐ của P là : x 0; x 5; x 2 x x 5 2x 5 2x P : x 5 x 5 x x 5 x x 5 5 x 2 2 x x 5 2x 5 2x : x x 5 x 5 x x 5 5 x x x 5 x x 5 x x 5 2x . x x 5 x 5 2x 5 5 x 5 2x 5 2x x 5 x 5 x 5 d) x 0; x 5; x ¢ * P ¢ 5 2x ¢ x 5 5 2x 15 Ta có: 2 . Vì x ¢ x 5 U(15) 1; 3; 5; 15 x 5 x 5 Mà x lớn nhất nên x 5 lớn nhất . Do đó x 5 15 x 20 (thỏa mãn * ) Vậy giá trị nguyên lớn nhất của x 20 để P có giá trị là một số nguyên x16 1 Bài 218: a) Tính giá trị của biểu thức sau: với x 2011 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 3 2 b)Cho x 3y 6 x 3y 12 x 3y 19 Tìm giá trị của biểu thức x 3y Lời giải a) x16 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 2 4 8 x16 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 Kết quả 2010 3 2 x 3y 6 x 3y 12 x 3y 8 27 3 3 b) x 3y 2 3 x 3y 2 3 x 3y 1 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  30. 135 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x x3 8 x2 2x 4 1 x2 3x 2 Bài 219: Cho biểu thức P 3 . 2 : . 2 x 2 x 8 x 4 x 2 x x 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P 0 Lời giải a) ĐKXĐ: x 2 2 x3 8 x2 2x 4 x 2 x 2x 4 x2 2x 4 x2 2x 4 . . 3 2 2 2 x 8 x 4 x 2 x 2x 4 x 2 x 2 x 2 2 x x2 2x 4 x x 2 x 2x 4 4 2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 4 1 x2 3x 2 4. x 2 x 1 x 2 4. x 1 2 : . 2 2 2 x 2 x 2 x x 1 x 2 . x2 x 1 x x 1 2 2 1 3 b) x x 1 x 0 với mọi x 2 4 Để P 0 4 x 1 0 x 1 0 x 1 Vậy để P 0 thì x 1; x 2 Bài 220: Cho x(m n) y(n p) z(p m) trong đó x,y,z la các số khác nhau và khác 0, m n n p p m Chứng minh rằng: x(y z) y z x z x y Lời giải Vì xyz 0 nên: x(m n) y(n p) z(p m) x m n y n p z p m xyz xyz xyz m n n p p m hay : yz xz xy p m n p m n p m n p m n xy yz yz xy xz yz m n n p p m x y z y z x z x y 1 1 1 1 Bài 221: Tính tổng: S 1.3 3.5 5.7 2007.2009 a) Rút gọn A 1 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  31. 136 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 1 b) Rút gọn B 3 x x Bài 222: 2a 1 a) Hãy viết biểu thức sau : thành hiệu hai bình phương a2 a 1 2.1 1 2.2 1 2.3 1 2.2012 1 b) Cho M 2 2 2 2 12 1 22 2 32 3 20122 2012 Chứng minh rằng M 1 Lời giải 2 2 2 2 2a 1 a2 2a 1 a2 a 1 a 1 1 a) 2 2 2 a2 a 1 a2 a 1 a2 a 1 a a 1 2a 1 1 1 b) 2 2 2 a2 a a a 1 1 1 1 1 1 1 1 M 1 22 22 32 32 42 20122 20132 1 1 1 M 1 20132 Bài 223: Cho biểu thức: x2 6 1 10 x2 M 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Rút gọn M b) Tính giá trị của biểu thức M khi x 1 c) Với giá trị nào của x thì M 2 d) Tìm giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên. Lời giải a) Điều kiện x 0,x 2 x2 6 1 10 x2 M 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 x 2 1 x2 4 10 x2 : x 2 x 2 2 x x 2 x 2 x 2 2 x x 2 6 6 x 2 1 1 : . x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 6 x 2 2 x 1 1 1 b) x 1 M 2 x 2 1 3 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  32. 137 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 1 1 3 c) M 2 2 2 2 x 1 2 x x (TMDK) 2 x 2 2 1 d) Để M nhận giá trị nguyên thì nhận giá trị nguyên 2 x 2 x U 1 1;1 2 x 1 x 3(tm) 2 x 1 x 1(tm) Vậy với x 1; 3 thì M nhận giá trị nguyên. x2 2x 2x2 1 2 Bài 224: Rút gọn biểu thức sau: A 2 2 3 . 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x Lời giải x 0 Điều kiện: x 2 x2 2x 2x2 1 2 A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x 2 2 2 x 2x 2x x x 2 . 2 4 2 x x2 2 x x2 2 x 4 2 2 x 2x 2x x 1 x 2 . 2 2 x2 2 x 4 x 4 2 x 2 2 x. x 2 4x x 1 . x 2 x3 4x2 4x 4x2 x 1 . . 2 x 2 x2 4 x2 2 x2 4 x2 2 x x 4 x 1 x 1 2x2 x2 4 2x x 1 x 0 Vậy A với 2x x 2 Bài 225: Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c b c a c a b a b c b a c a c b Lời giải Ta có: a b c b c a2 c a b a b c2 b a c a c b2 0 (1) Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  33. 138 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x z a a b c x 2 x y Đặt b c a y b 2 a c b z y z c 2 Khi đó ta có: x z x y y z 2 y z x z x y 2 1 2 VT . .y . x x y x y z 2 2 2 2 2 2 4 x z x z y z z y 1 . .y2 . .x2 . x2 y2 z2 2 2 2 2 4 1 1 1 = x2 z2 y2 z2 y2 x2 . x2 y2 .z2 4 4 4 1 1 x2 y2 z2 x2 y2 z2 0 VP (dfcm) 4 4 Bài 226: Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng: a b b c c a c a b Nếu a b c 0 thì . 9 c a b a b b c c a Lời giải a b b c c a c 1 a 1 b 1 Đặt x; y; z ; ; (1) c a b a b x b c y c a z 1 1 1 x y z 9 x y z 1 1 1 y z x z x y Ta có: x y z 3 (2) x y z x y z y z b c c a c b2 bc ac a2 c Ta lại có: . . x a b a b ab a b c a b c a b c c a b c 2c a b c 2c2 ab a b ab ab ab x z 2a2 x y 2b2 Tương tự ta có: ; y bc z ac 1 1 1 2c2 2a2 2b2 2 x y z 3 3 a3 b3 c3 x y z ab bc ac abc Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  34. 139 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Vì a b c 0 a3 b3 c3 3abc 1 1 1 2 Do đó: x y z 3 .3abc 3 6 9 x y z abc x 4 1 x 8 Bài 227: Cho biểu thức P : 1 x 1 x3 1 x 1 x2 x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P khi x là nghiệm của phương trình x2 3x 2 0 Lời giải a) Với x 1 ta có: 2 2 x 4 x x 1 x x 1 x 8 P : 2 2 x2 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 2 2 2 2 x 4 x x 1 x 9 x 2x 3 x x 1 : . 2 x2 x 1 2 x2 9 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x2 9 x2 9 x 3 Vậy x 1 thì P x2 9 x 2(tm) 2 3 5 2 b) x 3x 2 0 . Thay x 2 vào P ta có: P 2 x 1(ktm) 2 9 13 5 Kết luận với x 2 thì P 13 a2 7 b2 6 c2 3 Bài 228: Tìm 3 số dương a,b,c thỏa mãn : và a2 2c2 3c2 19 4 5 6 Lời giải Từ giả thiết a2 2c2 3b2 19 a2 2c2 3b2 19 a2 7 b2 6 c2 3 3b2 18 2c2 6 a2 7 2c2 6 3b2 18 14 Ta có: 14 4 5 6 15 12 4 12 15 1 a2 49 a 7 Suy ra : b2 64 b 8 c2 81 c 9 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  35. 140 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Bài 229: Một giải bóng chuyền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt (hai đội bất kỳ chỉ thi đấu với nhau 1 trận). Biết đội thứ nhất thắng a1 trận và thua b1 trận, đội thứ 2 thắng a2 trận và thua b2 trận, ., đội thứ 9 thắng a9 trận và thua b9 trận. 2 2 2 2 2 2 2 2 Chứng minh rằng a1 a2 a3 a9 b1 b2 b3 b9 Lời giải Mỗi đội bóng thi đấu với 8 đội bóng khác và hai đội bất kỳ chỉ gặp nhau 1 trận nên mỗi đôi sẽ thi đấu 8 trận ai bi 8 (với i 1,2,3 8) Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 2 2 2 2 2 2 2 2 a1 a2 a3 a9 8 a1 8 a2 8 a3 8 a9 16 a1 a2 a3 a9 576(1) Mặt khác, tổng số trận thắng của các đôi bằng tổng số trận đấu nên : 9.8 a a a a 36(2) 1 2 3 9 2 Từ (1) và (2) suy ra đpcm Bài 230: Cho x2 x 1. Tính giá trị biểu thức Q x6 2x5 2x4 2x3 2x2 2x 1 Lời giải Ta có: Q x2 . x4 2x3 x2 x4 2x3 x2 x2 x x 1 2 2 x2 x2 x x2 x x 2 x2 x 3 4 Vậy Q 4 x 1 x 1 4 4026 Bài 231: Cho biểu thức R : . Tìm x để biểu thức xác x2 2x x2 2x x3 4x x định, khi đó hãy rút gọn biểu thức Lời giải x 1 x 1 4 x Ta có: R . x x 2 x x 2 2 4026 x x 4 x 0 ĐK: x x2 4 0 x 2 1 x 1 x 1 4 Khi đó: R . 4026 x 2 x 2 x2 4 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  36. 141 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 1 x 1 x 2 x 1 x 2 4 . 4026 x2 4 2 1 2 x 4 1 . 4026 x2 4 2013 x 0 1 Vậy R xác định khi và R x 2 2013 1 2x 2x Bài 232: Cho biểu thức A : 1 x 1 x3 x x2 1 x2 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A nhận giá trị là số âm c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức x 2 .A nhận giá trị là số nguyên. Lời giải 1 1a) ĐKXĐ: x 1; Rút gọn được: A x 1 1b) A 0 x 1 0 x 1 Đối chiếu với ĐKXĐ, ta được x 1 x 2 3 1c) Ta có: x 2 A 1 x 1 x 1 Lập luận để suy ra : x 0; 2; 2; 4 Bài 233: Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x 4 x 1 x2 x2 6 4x x2 1 Lời giải 4 x 1 x2 x2 6 4x x2 1 x4 4x3 6x2 4x 1 x4 6x2 4x3 4x 1 Vậy với mọi giá trị của x biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến x 2 Bài 234: Chứng minh rằng x2 y2 z2 2 x4 y4 z4 Lời giải Ta có: x y z 0 x y z Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  37. 142 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 2 2 x y z x2 y2 z2 2yz x2 y2 z2 2yz 2 2 x2 y2 z2 2yz x4 y4 z4 2x2 y2 2x2z2 2y2z2 4y2z2 x4 y4 z4 2x2 y2 2x2z2 2y2z2 x4 y4 z4 x4 y4 z4 x4 y4 z4 2x2 y2 2x2z2 2y2z2 2 2 x4 y4 z4 x2 y2 z2 3x 3 Bài 235: Cho biểu thức A x3 x2 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên? c) Tìm giá trị lớn nhất của A Lời giải 3x 3 3 x 1 3 x 1 3 a) A x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x 1 x2 1 x2 1 b) Muốn A nhận giá trị nguyên thì x2 1 U 3 1; 3 - Nếu x2 1 3 x  - Nếu x2 1 1 x  - Nếu x2 1 1 x 0 A 3 - Nếu x2 1 3 x 2 A 1 Vậy tập hợp các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên là 2;0; 2 3 c) A nhận giá trị lớn nhất khi x2 1 có giá trị nhỏ nhất x2 1 Mà x2 1 1 với mọi x ¡ Vậy MaxA 3 x 0 3 3 3 Bài 236: Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn a b b c c a . Tính giá trị của biểu thức A a b b c c a Lời giải Đặt a b x; b c y;c a z x y z 0 z x y 3 Ta có: x3 y3 z3 210 x3 y3 x y 210 3xy x y 210 xyz 70 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  38. 143 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Do x,y,z là số nguyên có tổng bằng 0 và xyz 70 2 . 5 .7 nên x,y,z 2; 5;7 A a b b c c a 14 x2 2x 2x2 1 2 Bài 237: Cho biểu thức A 2 2 3 . 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Lời giải 2x2 8 0 a) Giá trị của A được xác định 8 4x 2x2 x3 0 x 0 2x2 8 x2 4 x 2 4 2 x x2 2 x 0 2 x 4 x2 0 x 0 x 0 x 0 Ta có: x2 2x 2x2 1 2 A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x 2 2 2 x 2x 2x x x 2 . 2 4 2 x x2 2 x x2 2 x 4 2 2 x 2x 2 x 4x x2 x 2x 2 . 2 x2 4 2 x x2 2x2 x3 4x 2x2 4x2 x x 1 2 x 1 . 2 x2 4 2 x x2 2 x x 4 x 2 x 1 x 1 . 2 x2 4 2 x x2 2x b) x 1 * ¢ x 12x 2x 22x mà 2x2x 2x x 1(tm) 22x 1x x 1(tm) x 1 Vậy A ¢ x 1hoặc x 1 2x Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  39. 144 Nhóm Toán Học Sơ Đồ ab Bài 238: Cho 4a2 b2 5ab và 2a b 0. Tính P 4a2 b2 Lời giải Biến đổi được: 2 2 b 4a 4a b 5ab 4a b a b b a Mà 2a b 0 4a 2b b nên a b a2 1 Ta có: P 4a2 a2 3 1 Vậy 4a2 b2 5ab và 2a b 0 thì P 3 1 2x 1 2y Bài 239: Cho x,y là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn 1 1 x 1 y Chứng minh M x2 y2 xy là bình phương của một số hữu tỷ. Lời giải Ta có 1 2x 1 2y 1 1 2x 1 y 1 2y 1 x 1 x 1 y 1 x 1 y 3xy 1 1 y 2x 2xy 1 x 2y 2xy 1 x y xy x y 2 2 2 2 2 2 3xy 1 3xy 1 Ta có : M x y xy x y 3xy 3xy 2 2 3xy 1 Vì x,y ¤ nên là số hữu tỷ , Vậy M là bình phương của một số hữu tỷ. 2 x,y,z 2 2 2 Bài 240: Cho thỏa mãn x y z 7; x y z 23; xyz 3 1 1 1 Tính giá trị của biểu thức H xy z 6 yz x 6 zx y 6 Lời giải Vì x y z 7 z x y 7 xy z 6 xy x y 1 x 1 y 1 Tương tự ta có: yz x 6 y 1 z 1 ; zx y 6 z 1 y 1 1 1 1 z 1 x 1 y 1 Vậy H x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 1 z 1 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  40. 145 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x y z 3 7 3 4 xyz xy yz xz x y z 1 3 xy yz xz 7 1 9 xy yz xz 2 Ta có: x y z x2 y2 z2 2 xy yz xz 72 23 2 xy yz xz xy yz xz 13 4 Vậy H 1 9 13 Bài 241: Cho a,b dương và a2000 b2000 a2001 b2001 a2002 b2002 . Tính : a2011 b2011 Lời giải a2001 b2001 a b a2000 b2000 ab a2002 b2002 a 1 ab 1 a 1 a 1 b 1 1 b 1 2000 2001 b 1(tm) Vì a 1 b b b 0(ktm) 2000 2001 a 1(tm) Vì b 1 a a a 0(ktm) Vậy a 1; b 1 a2011 b2011 2 a b c a2 b2 c2 Bài 242: Cho 1. Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b Lời giải a b c Nhân cả 2 vế của 1với a b c , rút gọn suy ra đpcm b c c a a b x2 a 1 a a2x2 1 Bài 243: Rút gọn biểu thức: x2 a 1 a a2x2 1 Lời giải Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  41. 146 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 2 2 2 x a 1 a a x 1 x2 x2a a a2 a2x2 1 x2 a 1 a a2x2 1 x2 x2a a a2 a2x2 1 2 2 2 x2 x2a a2x2 1 a a2 x 1 a a 1 a a x2 x2a a2x2 1 a a2 x2 1 a a2 1 a a2 2 2 x 1 1 a a 1 a a2 x2 1 1 a a2 1 a a2 a2 b2 Bài 244: Biết a3 3ab2 5 và b3 3a2 b 10 . Tính M 2018 Lời giải a3 3ab2 5 a6 6a4 b2 9a2 b4 25 b3 3a2 b 10 b6 6a2 b4 9a4 b2 100 a6 3a4 b2 3a2 b4 b6 125 2 2 3 a b 5 a2 b2 53 2018 2018 Bài 245: 1 a) Cho a2 a 1 0. Tính giá trị của biểu thức P a2013 a2013 b) Cho hai số x,y thỏa mãn: x2 x2 y2 2y 0 và x3 2y2 4y 3 0 Tính giá trị của biểu thức Q x2 y2 Lời giải a) Từ a2 a 1 0 với a 1 ta có: a 1 a2 a 1 0 a3 1 0 a3 1 671 Ta lại có a2013 a3 1 671 1 2013 3 Do đó: P a 2013 a 671 1 1 2 a a3 2y b) Từ x2 x2 y2 2y 0 x2 1 1 x 1 (1) y2 1 2 x3 2y2 4y 3 0 x3 1 2 y 1 1 x 1 (2) Từ (1) và (2) x 1 x2 1 x2 1 y2 2y 1 0 y 1 y2 1 Vậy Q x2 y2 1 1 2 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  42. 147 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x2 x x 1 1 2 x2 Bài 246: Cho biểu thức P 2 : x 2x 1 x x 1 x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P 1 b) Tìm x để P = 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x2 P 2 : x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x2 1 x 2 x2 x x 1 x 1 2 : 2 : x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x2 2 . x 1 x 1 x 1 1 x2 1 b)P P với x ĐKXĐ 2 x 1 2 2x2 x 1 2x2 x 1 0 1 x (TM) 2x 1 x 1 0 2 x 1(KTM) 1 1 Vậy P x 2 2 c) x2 x2 1 1 x 1 x 1 1 1 P x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 P x 1 x 1 2 x 1 x 1 1 1 Vì x 1 nên x 1 0. Áp dụng BĐT Cosi ta có: x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 1 2 Dấu “=” xảy ra x 1 x 1 1 x 1 1 x 2(TM) x 1 Vậy GTNN của P là 4 x 2 Bài 247: Cho a b c 0 và abc 0, tính giá trị của biểu thức: Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  43. 148 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 1 1 1 P b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 Lời giải 1 1 1 P b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 1 1 1 2 2 2 b2 c2 b c a2 c2 a c a2 b2 a b 1 1 1 a b c 0 2ab 2ac 2ab 2abc a3 4a2 a 4 Bài 248: Rút gọn biểu thức: P a3 7a2 14a 8 Lời giải 2 2 2 a3 4a2 a 4 a a 1 4 a 1 a 1 a 4 P a3 7a2 14a 8 a3 8 7a a 2 a 2 a2 5a 4 a 1 a 1 a 4 a 1 a 2 a 1 a 4 a 2 a 1 Vậy P với a 1; 2; 4 a 2 x4 2 x2 1 x2 3 Bài 249: Cho biểu thức M x6 1 x4 x2 1 x4 4x2 3 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn nhất của M Lời giải x4 2 x2 1 x2 3 M x2 1 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x2 3 x4 2 x2 1 1 x2 1 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 1 4 2 2 4 2 x 2 x 1 x 1 x x 1 x4 2 x4 1 x4 x2 1 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x4 x2 1 2 2 x4 x2 x . x 1 x2 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 Vậy M với mọi x x4 x2 1 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  44. 149 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x2 b) Ta có : M với mọi x x4 x2 1 Nếu x 0 ta có M 0 1 Nếu x 0 , chia cả tử và mẫu của M cho x2 ta có: M 1 x2 1 x2 2 2 1 2 1 1 1 Ta có: x 2 1 x 2.x. 2 1 x 1 1 x x x x 1 Nên ta có: M 1 . Dấu " "xảy ra khi x 1. 1 x2 x2 1 Vậy M lớn nhất là M 1 khi x 1 1 2x 1 2y Bài 250: Cho x, y là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn 1 .Chứng minh M x2 y2 xy là 1 x 1 y bình phương của một số hữu tỷ. Lời giải Ta có 1 2x 1 2y 1 1 2x 1 y 1 2y 1 x 1 x 1 y 1 x 1 y 3xy 1 1 y 2x 2xy 1 x 2y 2xy 1 x y xy x y 2 2 2 2 2 2 3xy 1 3xy 1 Ta có : M x y xy x y 3xy 3xy 2 2 3xy 1 Vì x, y ¤ nên là số hữu tỷ , Vậy M là bình phương của một số hữu tỷ. 2 Bài 251: Cho x, y, z thỏa mãn x y z 7; x2 y2 z2 23; xyz 3 1 1 1 Tính giá trị của biểu thức H xy z 6 yz x 6 zx y 6 Lời giải Vì x y z 7 z x y 7 xy z 6 xy x y 1 x 1 y 1 Tương tự ta có: yz x 6 y 1 z 1 ; zx y 6 z 1 y 1 1 1 1 z 1 x 1 y 1 Vậy H x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 1 z 1 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  45. 150 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x y z 3 7 3 4 Ta có: xyz xy yz xz x y z 1 3 xy yz xz 7 1 9 xy yz xz x y z 2 x2 y2 z2 2 xy yz xz 72 23 2 xy yz xz xy yz xz 13 4 Vậy H 1 9 13 Bài 252: Cho x2 x 1. Tính giá trị biểu thức Q x6 2x5 2x4 2x3 2x2 2x 1 Lời giải Ta có: Q x2. x4 2x3 x2 x4 2x3 x2 x2 x x 1 2 2 x2 x2 x x2 x x 2 x2 x 3 4 Vậy Q 4 x 1 x 1 4 4026 Bài 253: Cho biểu thức R 2 2 3 : . Tìm x để biểu thức xác định, khi x 2x x 2x x 4x x đó hãy rút gọn biểu thức Lời giải x 1 x 1 4 x Ta có: R . x x 2 x x 2 2 4026 x x 4 2 x 0 ĐK: x x 4 0 x 2 1 x 1 x 1 4 Khi đó: R . 2 4026 x 2 x 2 x 4 2 1 x 1 x 2 x 1 x 2 4 1 2 x 4 1 . . 4026 x2 4 4026 x2 4 2013 x 0 1 Vậy R xác định khi và R x 2 2013 1 x3 1 x2 Bài 254: Cho biểu thức A = x : 2 3 BTHT 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức A. Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  46. 151 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 2 2 1 b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 3 9 c) Tìm giá trị của x, để A 1 thì A < 0 x2 3x 3 1 6x Bài 255: Cho biểu thức P 3 2 2 : 3 2 BTHT x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P b) Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào ? Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  47. 152 Nhóm Toán Học Sơ Đồ c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. Lời giải x 3 a) ĐKXĐ: x 3, P x 3 x 3 3 P 1 b) Ta có: P x x 3 P 1 3 P 1 P 1 P 1 Để x 0 thì 0 0 P 1 P 1 P 1 Vậy x 0 thì P không nhận những giá trị từ 1đến 1, P  1;1 x 3 6 c) Ta có P 1 x 3 x 3 P có giá trị nguyên Ư x 3 6 1; 2; 3; 6 Từ đó tính được x 0;1;2;4;5;6;9 (Chú ý loại x 3) a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Bài 256: Cho biểu thức M BTHT 2ab 2bc 2ca Chứng minh rằng: a) Nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì M 1 b) Nếu M 1 thì hai trong ba phân thức đã cho của biểu thức M bằng 1, phân thức còn lại bằng 1 Lời giải a) Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác nên a,b,c 0 và a b c 0;a c b 0;c b a 0 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Đặt A ; B ;C 2ab 2bc 2ca Ta cần chứng minh : M A B C 1 hay A 1 B 1 C 1 0 Ta có: a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab a b c a b c A 1 1 2ab 2ab 2ab b2 c2 a2 b2 c2 a2 2bc b c a b c a B 1 1 2bc 2bc 2bc c2 a2 b2 c2 a2 b2 2ca c a b c a b C 1 1 2ca 2ca 2ca Suy ra A 1 B 1 C 1 a b c a b c b c a b c a c a b c a b 2ab 2bc 2ca Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  48. 153 Nhóm Toán Học Sơ Đồ c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b 2abc a b c c a b c a b c a b c a b 2abc a b c ca cb c2 ab ac a2 bc ba b2 2abc a b c bc ba b2 c2 ca cb ac a2 ab 2abc a b c b c a c a b 0 (đúng) 2abc Từ đó suy ra M 1 0 đúng vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác hay M 1 2 2 x 1 x 1 Bài 257: Cho biểu thức P . x 1 : BTHH 3x x 1 3x x a) Rút gọn P b) Tìm x ¢ để P có giá trị nguyên c) Tìm x để P 1 Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 1 Ta có: 2 2 x 1 2 x 2 2 x 2x P . . x 1 . 2 . 3x x 1 3x x 1 x 1 3x 3x x 1 x 1 2x Vậy P x 1 2 b) Ta có: ƯP 2 ¢ x 1 2 1; 2 x 1 Từ đó suy ra x 2;0;3; 1 Kết hợp với ĐKXĐ được x 2;3 2x 2x x 1 c) P 1 1 1 0 0 x 1 x 1 x 1 Mà x 1 x 1 nên x 1 0 và x 1 0 x 1 và x 1 Kết hợp với ĐKXĐ được 1 x 1 và x 0 x 2 x2 Bài 258: Cho biết . Hãy tính giá trị của biểu thức: Q x2 x 1 3 x4 x2 1 Lời giải Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  49. 154 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x 2 x2 x 1 3 a) Từ x 0, do đó : x2 x 1 3 x 2 2 1 3 1 5 1 25 21 x 1 x x 1 1 x 2 x 2 x 4 4 4 2 x x 1 2 1 2 1 21 Lại có: 2 x 2 1 x 2 1 x x x 4 x2 4 Suy ra Q x4 x2 1 21 Bài 259: Cho x, y,a,b là những số thực thỏa mãn: x4 y4 x2 y2 x2006 y2006 2 và x2 y2 1 . Chứng minh: BTHT a b a b a1003 b1003 a b 1003 Lời giải 2 4 4 2 2 x y x y 2 Từ giả thiết suy ra: bx4 ay4 a b ab x2 y2 a b a b 2 b2 x4 a2 y4 2abx2 y2 0 bx2 ay2 0 x2 y2 x2 y2 1 bx2 ay2 0 a b a b a b x2006 y2006 1 x2006 y2006 2 (dpcm) a1003 b1003 a b 1003 a1003 b1003 a b 1003 x3 1 x2 4 2 x x 1 Bài 260: Cho biểu thức A 2 2 : với x 0; x 1; x 2; x 1 x x x 2x x x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính A biết x thỏa mãn x3 4x2 3x 0. Lời giải x2 x 1 x 2 2 x x x2 3x 1 a) A . x x x x 1 x 1 b) x3 4x2 3x 0 x x 1 x 3 0 x 0(ktm) x 1(ktm) x 3(tm) 32 3.3 1 19 Thay x 3 vào biểu thức có A 3 1 4 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  50. 155 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 19 Vậy A 4 Bài 261: Cho a,b,c là các số hữu tỷ khác 0 thỏa mãn a b c 0 . Chứng minh rằng: 1 1 1 M là bình phương của một số hữu tỷ a2 b2 c2 Lời giải Ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 1 1 1 2 2 2 2 2. a b c a b c ab bc ac a b c abc a b c Vậy M là bình phương của một số hữu tỉ Bài 262: Rút gọn biểu thức sau và tìm giá tri nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên: x2 2x 2x2 1 2 M 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x Lời giải x2 2x 2x2 x2 x 2 M . 2 4. 2 x x2. 2 x x2 2 x 4 2 x2 2x 2x2 x 2 . x 1 M . 2 2 x2 2 x 4 x 4 x 2 x2. x 2 2 4x2 x 2 x 1 x x2 4x 4 4x x 2 x 1 M . . 2 x 2 x2 4 x2 2 x 2 x2 4 x2 2 x x 4 x 2 x 1 x 1 M . 2 x 2 x2 4 x2 2x 2x2 8 0 2 x 0 Để M xác định thì x 4 x 2 0 x 2 2 x 0 x 1 x 1 1 Khi đó M nguyên thì 2M nguyên hay nguyên. Mà 1 ¢ x U (1) 1 x x x Với x 1 thỏa mãn (*) và M 0 ¢ Với x 1thỏa mãn * và M 1 ¢ Vậy x 1; x 1 thỏa mãn điều kiện bài ra. 2017 2016 2014 2016 x2 4 Bài 263: Cho biểu thức : A 2 : 2 BTHT x 1 x 1 x 1 x 1 a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  51. 156 Nhóm Toán Học Sơ Đồ b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm x để A 0 và biểu diễn tập các giá trị tìm được của x trên trục số d) Tìm tất cả các số nguyên x để A có giá tri là số nguyên. Lời giải a) ĐKXĐ: x 1; x 2 x 3 b) Rút gọn được: A x2 4 c) Để A 0 thì x 3 x 3 A 0 3 x 2 hoặc x 2 x2 4 x 2 x 2 Học sinh tự biểu diễn trên trục số x 3M x2 4 x2 3x M x2 4 x2 4 3x 4 M x2 4 3x 4 M x2 4 ; 3x 9 M x2 4 5M x2 4 x2 4 -5 -1 1 5 x2 -1 3 5 9 x Loại Loại Loại 3 Thử lại, chỉ có x 3 là thỏa mãn. Vậy x 3 y 2y2 4y4 8y8 x Bài 264: Cho x y và 2016. Tính tỉ số ? x y x2 y2 x4 y4 x8 y8 y Lời giải y 2y2 4y4 8y8 2016 x y x2 y2 x4 y4 x8 y8 4 4 4 8 y 2y2 4y x y 8y 2016 x y x2 y2 x8 y8 y 2y2 4y4 2016 x y x2 y2 x4 y4 y 2016 x y y 2y2 2016 x y x2 y2 x 2017 y 2016 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  52. 157 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x y 2 x y Bài 265: Cho x y 1 và xy 0 . Tính: P y3 1 x3 1 x2 y2 3 Lời giải x y x4 x y4 y Ta có: = y3 1 x3 1 (y3 1)(x3 1) x4 y4 (x y) x y x y x2 y2 (x y) xy(y2 y 1)(x2 x 1) xy(x2 y2 y2 x y2 yx2 xy y x2 x 1) x y (x2 y2 1) x y (x2 x y2 y) 2 2 2 2 2 2 2 xy x y xy(x y) x y xy 2 xy x y (x y) 2 x y x(x 1) y(y 1) x y x( y) y( x) = ( do x + y = 1 y - 1= -x và x – 1 = - y) xy(x2 y2 3) xy(x2 y2 3) x y ( 2xy) 2(x y) xy(x2 y2 3) x2 y2 3 2(x y) 2(x y) P 0 x2 y2 3 x2 y2 3 a3 4a2 a 4 Bài 266: Cho P a3 7a2 14a 8 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên. Lời giải a) a3 4a2 a 4 a 1 a 1 a 4 = a3 7a2 14a 8 a 2 a 1 a 4 Nêu ĐKXĐ: a 1;a 2;a 4 a 1 Rút gọn P a 2 a 2 3 3 b) P 1 ; a 2 a 2 ta thấy P nguyên khi a 2 là ước của 3, mà U (3) 1;1; 3;3 , từ đó tìm được a 1;3;5 Bài 267: a) Cho a b c 0.Chứng minh rằng a3 b3 c3 3abc 1 1 1 yz xz xy b) Cho 0, (với x 0; y 0; z 0) Tính giá trị của biểu thức x y z x2 y2 z2 Lời giải Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  53. 158 Nhóm Toán Học Sơ Đồ a) a b c 3 a b 3 3 a b 2 c 3 a b c2 c3 a b 3 3 a b c. a b c c3 a b 3 c3 a3 3a2b 3ab2 b3 c3 a3 b3 c3 3ab(a b) a3 b3 c3 3ab c (Vi a b c 0 a b c) a3 b3 c3 3abc 1 1 1 b)Với a ;b ;c x y z 1 1 1 3 Áp dụng kết quả câu a ta có: x3 y3 z3 xyz yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 1 2 2 2 3 3 3 xyz. 3 3 3 x y z x y z x y z 3 xyz. 3 xyz 4x 8x2 x 1 2 Bài 268: Cho biểu thức : A 2 : 2 2 x 4 x x 2x x a) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A 1 c) Tìm các giá trị của x để A 0 Lời giải ĐKXĐ: x 0; x 2 4x 8x2 x 1 2 4x 2 x 8x2 x 1 2 x 2 A 2 : 2 : 2 x 4 x x 2x x 2 x 2 x x x 2 8x 4x2 8x2 x 1 2x 4 8x 4x2 3 x : : 2 x 2 x x x 2 2 x 2 x x x 2 4x 2 x x x 2 4x2 . 2 x 2 x 3 x x 3 2 x 1 4x 2 b) A 1 1 4x x 3 0 3 x 3 x 4 4x2 c) A 0 0 x 3 0 x 3 x 3 Vậy x 3; x 0; x 2 thì A 0 x2 2x 2x2 1 2 Bài 269: Cho biểu thức M 2 2 3 . 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  54. 159 Nhóm Toán Học Sơ Đồ a) Rút gọn M b) Tìm x nguyên để M có giá trị là số nguyên dương c) Tìm x để M 3 Lời giải a) 2x2 8 2 x2 4 0;8 4x 2x2 x3 2 x x2 4 0 và x 0 M xác định x 2; x 0 x2 2x 2x2 x2 x 2 M . 2 2 x2 2 x 4 2 x x 4 x2 2x 2 x 4x2 x 1 x 2 . 2 2 x x2 4 x2 2 x x 4 x 1 x 2 x 1 . 2 2 x x2 4 x2 2x x 1 b) Với x 2; x 0, M có giá trị nguyên dương M có giá trị nguyên dương 2x 2x 2 1 2M 1 nguyên dương 2x x 1 x ¢ ;2M ¢ ¢ x là ước của 1 x 1(Thỏa mãn điều kiện) x x 1 Thử lại: Với x 1 ta có: M có giá trị bằng 1(Thỏa mãn) 2x x 1 Với x 1 ta có: M có giá trị bằng 0 (không thỏa mãn) 2x Vậy x 1 x 1 c) M 3 x 2; x 0; 3 2x x 1 x 1 7x 1 3 3 0 0 2x 2x 2x 7x 1 0 7x 1 0 1 Ta có: hoặc . Giải được x 0 hoặc x 2x 0 2x 0 7 x 0 1 Kết hợp với điều kiện ta có: M 3 hoặc x x 2 7 1 2 5 x 1 2x Bài 270: Cho biểu thức : C 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức C Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  55. 160 Nhóm Toán Học Sơ Đồ b) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B là số nguyên. Lời giải 1 a) ĐKXĐ: x 1; x 2 1 2 5 x 1 2x C 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 1 x 2 1 x 5 x x 1 x 1 . 1 x 1 x 1 2x 2 2x 1 2 b) B có giá trị nguyên khi x là số nguyên thì có giá trị nguyên 2x 1 x 1(ktm) 2x 1 1 x 0(tm) 2x 1 1 3 2x 1 là Ư(2) x (tm) 2x 1 2 2 2x 1 2 1 x (tm) 2 x 0 3 Đối chiếu ĐK thì có x thỏa mãn 2 1 x 2 2 2 x 1 x 1 Bài 271: Cho biểu thức : A . x 1 : 3x x 1 3x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Lời giải 2 2 x 1 x 1 a) A . x 1 : 3x x 1 3x x 2 2 x 1 3x x 1 x 1 A . : 3x x 1 3x x 2 2 1 3x x A . 3x 3x x 1 x 2x A 2. x 1 x 1 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  56. 161 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 2x 2 b) Với x 0; x 1. Ta có: A 2 x 1 x 1 Để A ¢ thì x 1 phải là ước của 2 x 1 1; 2 Xét từng trường hợp tìm x, đối chiếu điều kiện x 2;3 x2 2x 2x2 1 2 Bài 272: Cho biểu thức A 2 2 3 . 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Lời giải 2x2 8 0 2 3 a) Giá trị của A được xác định 8 4x 2x x 0 x 0 2x2 8 x2 4 2 2 x 2 4 2 x x 2 x 0 2 x 4 x 0 x 0 x 0 x 0 Ta có: x2 2x 2x2 1 2 A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x x2 2x 2x2 x2 x 2 2 . 2 2 4 2 x x 2 x x 2 x 4 2 2 x 2x 2 x 4x x2 x 2x 2 . 2 x2 4 2 x x2 2x2 x3 4x 2x2 4x2 x x 1 2 x 1 . 2 x2 4 2 x x2 2 x x 4 x 2 x 1 x 1 . 2 x2 4 2 x x2 2x a) x 1 * ¢ x 12x 2x 22x mà 2x2x 2x x 1(tm) 22x 1x x 1(tm) x 1 Vậy A ¢ x 1hoặc x 1 2x Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  57. 162 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Bài 273: Cho x, y là hai số dương và x2010 y2010 x2011 y2011 x2012 y2012. Tính giá trị của biểu thức S x2020 y2020 Lời giải Có x2012 y2012 x2011 y2011 x y x2010 y2010 .xy Do x, y là hai số dương và x2010 y2010 x2011 y2011 x2012 y2012 Nên x2010 y2010 x2011 y2011 x2012 y2012 m 0 x 1 m m x y mxy 1 x y xy x 1 1 y 0 y 1 Với x 1 y2010 y2011 y 0(loại) hoặc y 1 Với y 1 x2010 x2011 x 0(ktm) hoặc x 1 x y z a b c x2 y2 z2 Bài 274: Cho 1 và 0 Chứng minh rằng: 1 a b c x y z a2 b2 c2 Lời giải a b c ayz bxz cxy Từ 0 0 ayz bxz cxy 0 x y z xyz Ta có: 2 x y z x y z 1 1 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2 2 2 2. 1 a b c ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2. 1 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1 (dpcm) a2 b2 c2 ab Bài 275: Cho 4a2 b2 5ab và 2a b 0. Tính P 4a2 b2 Lời giải Biến đổi được: 2 2 b 4a 4a b 5ab 4a b a b b a Mà 2a b 0 4a 2b b nên a b Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  58. 163 Nhóm Toán Học Sơ Đồ a2 1 Ta có: P 4a2 a2 3 1 Vậy 4a2 b2 5ab và 2a b 0 thì P 3 1 1 Bài 276: Cho x 3. Tính giá trị biểu thức A x3 x x3 Lời giải 3 3 1 3 2 1 1 1 1 1 3 A x 3 x 3.x . 3.x. 2 3 x 3 x 3 3.3 18 x x x x x x Bài 277: Cho a b c 2 p . Chứng minh : 2bc b2 c2 a2 4 p p a Lời giải Ta có : 2 p a b c Do đó, 4 p p a 2 p 2 p 2a a b c a b c 2a 2bc b2 c2 a2 KL : x5 2x4 2x3 4x2 3x 6 Bài 278: Cho biểu thức M x2 2x 8 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức M bằng 0. Lời giải c) Rút gọn M HD: ĐKXĐ: x2 2x 8 0 x 2 x 4 0 x 2 và x 4 . Ta có: x5 2x4 2x3 4x2 3x 6 x4 x 2 2x2 x 2 3 x 2 x 2 x4 2x2 3 2 x 2 x2 1 4 x 2 x3 3 x 1 x 1 x2 3 x 1 x 1 Suy ra M , x 2; x 4 . x 4 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  59. 164 Nhóm Toán Học Sơ Đồ d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức M bằng 0. Đề M 0 thì x3 3 x 1 x 1 0 và x 2 ; x 4 Ta có : x3 3 x 1 x 1 0 x 1 ( thỏa ĐKXĐ ) x 1 x 1 Vậy, M 0 x 1 Bài 279: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên. 2x3 x2 2x 5 A 2x 1 Lời giải 1 ĐKXĐ: 2x 1 0 x 2 2x3 x2 2x 5 x2 2x 1 2x 1 4 4 Ta có: A x2 1 2x 1 2x 1 2x 1 Để A có giá trị nguyên khi x nguyên thì 2x 1 U 4 4; 2; 1;1;2;4 Lập bảng: 2x +1 -4 -2 -1 1 2 4 2x -5 -3 -2 0 1 3 x 5 3 -1 0 1 3 2 2 2 2 Vậy, x 1;0 . Bài 280: Cho biểu thức M x a x b x b x c x c x a x2 1 1 1 Tính M theo a,b,c biết rằng x a b c 2 2 2 Lời giải Ta có: M x2 ax bx ab x2 bx cx bc x2 ax cx ca Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  60. 165 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 4x2 2x a b c ab bc ca 1 1 1 1 Từ x a b c 2x a b c 2 2 2 2 Thay 2 vào 1 ta được M ab bc ca 2 x 1 1 2x2 4x 1 x2 x Bài 281: Cho biểu thức R 2 3 : 3 3x x 1 x 1 x 1 x x a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức R được xác định; b) Tìm giá trị của x để giá trị của R bằng 0; c) Tìm giá trị của x để R 1 . Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1 . x2 1 b) Rút gọn: R , x 0; x 1; x 1 . x 1 x2 1 Để R 0 0 x  x 1 R 1 c)Ta có: R 1 R 1 x2 1 + Với R 1 , ta có: 1 , x 0; x 1; x 1 x 1 2 x 1 2 x 0 Giải pt 1 x 1 x 1 x x 1 0 ( không thỏa ĐKXĐ ) x 1 x 1 x2 1 + Với R 1 , ta có: 1 , x 0; x 1; x 1 x 1 2 2 x 1 2 2 1 7 Giải pt 1 x 1 x 1 x x 2 0 x 0 ( vô lý ) x 1 2 4 Vậy không có giá trị nào của x để R 1 . a b c a c b b c a Bài 282: Cho ba số a,b,c khác 0 thỏa mãn đẳng thức: . c b a b c a Tính giá trị của biểu thức: P 1 1 1 a b c Lời giải a b c a c b b c a Từ giả thiết, suy ra 2 2 2 c b a Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  61. 166 Nhóm Toán Học Sơ Đồ a b c a b c a b c c a b Xét hai trường hợp : a b b c c a c a b + Nếu a b c 0 P   1 a b c a.b.c + Nếu a b c 0 a b c 0 P 2.2.2 8 KL : 2k 1 Bài 283: Cho a1,a2 ,a3 , ,a2018 là 2018 số thực thoả mãn ak 2 , với k 1,2,3, ,2018 . k 2 k Tính S2018 a1 a2 a3 a2017 a2018 Lời giải 2 2k 1 k 1 k 2 1 1 Ta có : ak 2 2 2 2 k 2 k k 2 k 1 k k 1 Do đó, S2018 a1 a2 a3 a2017 a2018 1 1 1 1 1 1 20192 1 2 2 2 2  2 2 2 1 2 2 3 2018 2019 2019 7 7 5a b 3b 2a Bài 284: a) Biết a ,b và 2a b 7 . Tính giá trị của biểu thức P 3 2 3a 7 2b 7 2a b 5b a b) Biết b 3a và 6a2 15ab 5b2 0 . Tính giá trị của biểu thức Q 3a b 3a b Lời giải 7 7 5a b 3b 2a a) Biết a ,b và 2a b 7 . Tính giá trị của biểu thức P 3 2 3a 7 2b 7 5a b 3b 2a 2a b 3a 2b 2a b 7 3a 2b 7 Ta có: P 1 1 0 3a 7 2b 7 3a 7 2b 7 3a 7 2b 7 7 7 Vậy, P 0 khi a ,b và 2a b 7 . 3 2 2a b 5b a b) Biết b 3a và 6a2 15ab 5b2 0 . Tính giá trị của biểu thức Q 3a b 3a b 2a b 5b a 2a b 3a b 5b a 3a b 3a2 6b2 15ab Ta có: Q 3a b 3a b 3a b . 3a b 3a b . 3a b 2 2 2 2 9a b 6a 5b 15ab 9a2 b2 1 3a b 3a b 9a2 b2 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  62. 167 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Vậy, Q 1 khi b 3a và 6a2 15ab 5b2 0 Bài 285: Rút gọn: a) M 90.10k 10k 2 10k 1, k N ; b) N 202 182 22 192 172 12 . Lời giải a) M 90.10k 10k 2 10k 1, k N ; 90.10k 100.10k 10.10k 0 b) N 202 182 22 192 172 12 202 192 182 172 22 12 20 19 20 19 18 17 18 17 2 1 2 1 20 19 18 17 2 1 210 Bài 286: Tính giá trị của biểu thức P x15 2018x14 2018x13 2018x12 2018x2 2018x 2018 , với.x 2017 Lời giải Thay 2018 x 1 vào P ta được: P x15 x 1 x14 x 1 x13 x 1 x12 x 1 x2 x 1 x x 1 x15 x15 x14 x14 x13 x2 x x 1 1 Vậy, P 1 khi x 2017 . Bài 287: a) So sánh hai số A 332 1 và B 3 1 32 1 34 1 38 1 316 1 2019 2018 20192 20182 b) C và D 2019 2018 20192 20182 Lời giải Ta có: B 3 1 32 1 34 1 38 1 316 1 B. 3 1 3 1 3 1 32 1 34 1 38 1 316 1 B.2 32 1 32 1 34 1 38 1 316 1 B.2 34 1 34 1 38 1 316 1 B.2 38 1 38 1 316 1 B.2 316 1 316 1 B.2 332 1 A Vậy, A 2.B Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  63. 168 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Bài 288: Cho a b c 0 . Chứng minh rằng: a3 b3 a2c b2c abc 0 Lời giải Ta có: a3 b3 a2c b2c abc a3 b3 a2c b2c abc a b a2 ab b2 c a2 ab b2 a2 ab b2 a b c 0 ( Vì a b c 0 ) Bài 289: Cho x2 y2 z2 10 . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 P xy yz zx 2 x2 yz y2 xz z2 xy . Lời giải 2 2 2 Ta có: P xy yz zx 2 x2 yz y2 xz z2 xy . x2 y2 y2 z2 x2 z2 2xy2 z 2x2 yz 2xyz2 x4 y2 z2 2x2 yz y4 x2 z2 2xy2 z z4 x2 y2 2xyz2 2 2 x4 2x2 y2 y4 2y2 z2 2x2 z2 z4 x2 y2 2 x2 y2 z2 z4 x2 y2 z2 102 100 ( Vì x2 y2 z2 10 ). Vậy, P 100 khi x2 y2 z2 10 . Bài 290: Chứng minh rằng nếu ba số a,b,c thỏa mãn điều kiện: a b c 2018 và 1 1 1 1 thì một trong ba số a,b,c phải có một số bằng 2018. a b c 2018 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 Từ a b c 2018 và suy ra a b c 2018 a b c a b c 1 1 1 1 a b a b 0 0 a b c a b c ab c a b c a b c a b c ab 0 a b b c c a 0 a b 0 mà a b c 2018 b c 0 c a 0 Do đó, trong ba số a,b,c phải có một số bằng 2018. x2 x x 1 1 2 x2 Bài 291: Cho biểu P 2 : 2 x 2x 1 x x 1 x x a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P . 1 b) Tìm x để P . 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  64. 169 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x2 Ta có: P 2 : x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x2 1 x 2 x2 x x 1 x 1 : : x 1 2 x x 1 x 1 2 x x 1 x x 1 x x 1 x2  x 1 2 x 1 x 1 x2 Vậy, P với x 0; x 1; x 1 . x 1 1 x2 1 b) Để Pvới x 0; x 1 ;suyx ra 1 với x 0; x 1; x 1 2 x 1 2 1 x 2x2 x 1 2x 1 x 1 0 2 x 1 1 Vìx 0; x 1; x 1 nên chọn x 2 1 1 Vậy, P x 2 2 x2 x2 1 1 x 1 x 1 1 1 1 c) Ta có: P x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 Với x 1 nên x 1 0 và 0 . Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x 1 và ta có : x 1 x 1 1 P 2 x 1 2 2 2 4 x 1 1 Dấu « = » x 1 với x 1 x 2 ( thỏa ĐKXĐ) x 1 Vậy, GTNN P 4 x 2 Bài 292: Rút gọn các phân thức: 2 2 3 2 2 3 2 2 3 x3 y3 z3 3xyz x y y z z x a)A ; b) B x y 2 y z 2 z x 2 x y 3 y z 3 z x 3 Lời giải 1 2 2 2 * Nhớ : a3 b3 c3 3abc a b c a b b c c a 2 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  65. 170 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Do đó, nếu a b c 0 hoặc a b c thì a3 b3 c3 3abc . 1 2 2 2 3 3 3 x y z x y y z z x x y z 3xyz 1 a) A 2 x y z x y 2 y z 2 z x 2 x y 2 y z 2 z x 2 2 3 3 3 x2 y2 y2 z2 z2 x2 b) B x y 3 y z 3 z x 3 Ta có : x2 y2 y2 z2 z2 x2 0 3 3 3 Do đó, x2 y2 y2 z2 z2 x2 3 x2 y2 y2 z2 z2 x2 1 Ta lại có: x y y z z x 0 3 3 3 Do đó, x y y z z x 3 x y y z z x 2 3 x2 y2 y2 z2 z2 x2 Từ (1) và (2) suy ra B x y y z z x 3 x y y z z x 4 3 2 Bài 293: Chứng tỏ rằng đa thức: Aluôn xkhông2 1 âm 9 với x2 1 21 x2 1 x2 31 mọi giá trị của biến x . Lời giải Đặt x2 1 y , ta có: A y4 9y3 21y2 y 30 y 1 y 2 y 3 y 5 Khi đó, A x2 x2 3 x2 4 x2 6 0 với mọi giá trị của x (Đpcm ) x40 x30 x20 x10 1 Bài 294: a) Rút gọn phân thức: A x45 x40 x35  x5 1 x24 x20 x16 x4 1 b) Rút gọn phân thức: B x26 x24 x22 x2 1 Lời giải x40 x30 x20 x10 1 x40 x30 x20 x10 1 a) A x45 x40 x35  x5 1 x5 x40 x30 x20 x10 1 x40 x30 x20 x10 1 x40 x30 x20 x10 1 1 x40 x30 x20 x10 1 x5 1 x5 1 x24 x20 x16 x4 1 x24 x20 x16 x4 1 b) B x26 x24 x22 x2 1 x24 x2 1 x20 x2 1  x4 x2 1 x2 1 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  66. 171 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x24 x20 x16 x4 1 1 x2 1 x24 x20 x16 x4 1 x2 1 1 1 1 Bài 295: Cho các số a,b,c khác 0, thoả mãn a b c 1 . a b c Tính giá trị của biểu thức a23 b23 a5 b5 a2019 b2019 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 Từ a b c 1 a b c a b c a b c a b 0  a b b c c a 0 b c 0 c a 0 Đặt P a23 b23 a5 b5 a2019 b2019 + Nếu a b 0 thì a b a23 b23 a23 b23 0 . Vậy, P 0 . + Nếu b c 0 thì b c b5 c5 b5 c5 0 . Vậy, P 0 . + Nếu c a 0 thì c a c2019 a2019 c2019 a2019 0 . Vậy, P 0 . Kết luận: Với điều kiện đã cho P 0 . Bài 296: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y y z z x 8xyz . Chứng minh rằng: x y z Lời giải 2 2 2 Ta có: x y y z z x 8xyz x x y y z x z x y 0 2 2 2 Vì x, y, z 0 nên y z z x x y 0 x y z 0 KL: Bài 297: Thực hiện phép tính: 1 2.36 1 36 53 a) A . 23.36 23.53 8 93 125 183 103 x3 y xy3 xy b) B x3 y3 x2 y xy2 x y Lời giải 1 2.36 1 36 53 1 2.36 1 36 53 a) A 23.36 23.53 8 93 125 183 103 23 36 53 23 36 53 23 36 53 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  67. 172 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 1 2.36 1 36 53 36 53 1 23 36 53 23 36 53 8 x3 y xy3 xy b) B x3 y3 x2 y xy2 x y 2 2 xy x y 1 xy x y x2 y2 1 x y xy Vậy, B , x y x y a b c a2 b2 c2 Bài 298: Cho 1 . Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b Lời giải a b c Nhân cả hai vế của 1 với a b c 0 , ta được: b c c a a b a2 a b c b2 b c a c2 c a b a b c b c c a a b a2 b2 c2 a b c a b c b c c a a b a2 b2 c2 0 b c c a a b KL: 1 1 1 1 1 1 Bài 299: Chứng minh rằng nếu 2 và a b c abc thì 2 a b c a2 b2 c2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 a b c Bình phương hai vế 2 , ta được 2. 4 a b c a2 b2 c2 abc 1 1 1 1 1 1 Suy ra 2.1 4 ( Vì a b c abc ) hay 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 KL: 5n 11 Bài 300: a) Xác định n N để A là số tự nhiên 4n 13 1 1 1 b) Tính tổng S n 2.5 5.8 3n 1 . 3n 2 Lời giải 5n 11 a) Xác định n N để A là số tự nhiên 4n 13 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  68. 173 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 5n 11 Để A là số tự nhiên 4n 13 5n 11  4n 13 4 5n 11  4n 13 5 4n 13 21  4n 13 21 4n 13 4n 13 U 21 1; 3; 7; 21 Lập bảng : 4n 13 -21 -7 -3 -1 1 3 7 21 4n -8 6 10 12 14 16 20 34 n -2 3 5 3 7 4 5 17 2 2 2 2 Vì n N nên chọn n 3;4;5 Thử lại: 5.3 11 + Với n 3 , ta có: A 4 N ( Loại ) 4.3 13 5.4 11 + Với n 4 , ta có: A 3 N ( Nhận ) 4.4 13 5.5 11 + Với n 5 , ta có: A 2 N ( Nhận ) 4.5 13 KL : n 4;5 1 1 1 b) Tính tổng S n 2.5 5.8 3n 1 . 3n 2 1 1 1 1 3 3 3 Ta có: S n 2.5 5.8 3n 1 . 3n 2 3 2.5 5.8 3n 1 . 3n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 3 2 5 5 8 3n 1 3n 2 3 2 3n 2 2 3n 2 Bài 301: Cho x, y, z thỏa điều kiện x y z 0 và xy yz zx 0 . Hãy tính giá trị của biểu thức: S x 1 2017 y2018 z 1 2019 Lời giải Ta có: x y z 0 x y z 2 0 x2 y2 z2 2 xy yz zx 0 x2 y2 z2 0 ( Vì xy yz zx 0 ) Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  69. 174 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x y z 0 Suy ra S 0 1 2017 02018 0 1 2019 0 Vậy, S 0 khi x y z 0 và xy yz zx 0 . x2 y2 x2 y2 Bài 302: Cho P x y 1 y x y 1 x 1 x 1 y a) Tìm ĐKXĐ của P , rút gọn P b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P 2 Lời giải a) Tìm ĐKXĐ của P , rút gọn P + ĐKXĐ : x y 0,1 y 0,1 x 0 x y, y 1, x 1 x2 1 x y2 1 y x y x2 y2 + Rút gọn : P x xy y x y 1 y 1 x Vậy, P x xy y với x y, y 1, x 1 . b)Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P 2 Ta có : P 2 x xy y 2 x 1 y 1 y 1 1 y x 1 1 1 y 1 1 y 1 hoặc x 1 1 x 1 1 x 2 x 0 hoặc ( thỏa ĐKXĐ ) y 0 y 2 x 2 x 0 Vậy, P 2 hoặc y 0 y 2 Bài 303: Rút gọn biểu thức: x 1 x 2 x 3 x 4 1 a) M x2 5x 5 1 1 2 4 8 16 b) N 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 Lời giải x 1 x 2 x 3 x 4 1 x2 5x 4 x2 5x 6 1 a) M x2 5x 5 x2 5x 5 2 2 x2 5x 4 2 x2 5x 4 1 x2 5x 5 x2 5x 5 x2 5x 5 x2 5x 5 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  70. 175 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 1 1 2 4 8 16 b) N 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 2 2 4 8 16 4 4 8 16 1 x2 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 1 x4 1 x4 1 x8 1 x16 8 8 16 16 16 1 x8 1 x8 1 x16 1 x16 1 x16 32 1 x32 Bài 304: Cho a + b + c = 0 và a2 b2 c2 1 . Tính giá trị của biểu thức M a4 b4 c4 Lời giải 2 Ta có : 12 a2 b2 c2 1 a4 b4 c4 2 a2b2 b2c2 c2a2 a4 b4 c4 1 2 a2b2 b2c2 c2a2 (1) 2 Ta lại có : a b c 0 a b c 0 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 ab bc ca 2 1 2 1 ab bc ca ab bc ca 2 4 1 1 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c a2b2 b2c2 c2a2 4 4 1 1 Do đó, M a4 b4 c4 1 2. 4 2 x4 2x2 1 Bài 305: Cho phân thức A x3 3x 2 a) Rút gọn A. b) Tính x để A 1 Lời giải c) Rút gọn A. 2 Ta có x3 3x 2 x 1 x 2 2 ĐKXĐ: x3 3x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 và x 2 2 2 Ta lại có: x4 2x2 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 2 Suy ra A x 1 2 x 2 x 2 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  71. 176 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x 1 2 Vậy, A với x 1 và x 2 x 2 d) Tính x để A 1 2 x 1 x2 2x 1 Ta có: A 1 1 1 0 x 2 x 2 x2 2x 1 x 2 x2 3x 3 0 0 x 2 x 2 2 3 3 x 2 2 4 3 3 0 x 2 0 ( Vì x 0 ) x 2 2 4 x 2 Kết hợp với ĐKXĐ, ta được A 1 x 2 và x 1 . x.y 5 x2 2xy y2 Bài 306: a) Cho , hãy tính A x2 y2 8 x2 2xy y2 x y z x2 y2 z2 b) Cho , hãy tính B a b c ax by cz 2 a b c) Cho a b 0 thỏa mãn: 3a2 3b2 10ab . Tính C a b Lời giải xy 5 x2 2xy y2 a) Cho , hãy tính A x2 y2 8 x2 2xy y2 xy 5 2 2 Ta có: 2 2 suy ra 5 x y 8xy với x 0 và y 0 . x y 8 2 2 2 2 x2 2xy y2 5 x 2xy y 5 x y 10xy 8xy 10xy 2xy 1 Ta có: A ( vì xy 0 ) x2 2xy y2 5 x2 2xy y2 5 x2 y2 10xy 8xy 10xy 18xy 9 1 xy 5 Vậy, A với . 9 x2 y2 8 x y z x2 y2 z2 b) Cho , hãy tính B a b c ax by cz 2 x y z Đặt k x ka, y kb, z kc với a,b,c 0 a b c 2 2 2 2 x2 y2 z2 k 2a2 k 2b2 k 2c2 k a b c 1 Khi đó, B 2 2 2 2 2 2 ax by cz a2k b2k c2k k 2 a2 b2 c2 a b c Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  72. 177 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 1 x y z Vậy, B khi với a,b,c 0 . a2 b2 c2 a b c a b c) Cho a b 0 thỏa mãn: 3a2 3b2 10ab . Tính C a b a b Vì a b 0 nên C 0 a b 2 2 2 3 a2 2ab b2 3 a2 b2 6ab 2 a b a 2ab b 10ab 6ab 4ab 1 Xét C 2 2 a b a 2ab b 3 a2 2ab b2 3 a2 b2 6ab 10ab 6ab 16ab 4 1 Suy ra C vì C 0 2 1 Vậy, C với a b 0 thỏa mãn: 3a2 3b2 10ab 2 x2 3x 3 1 6x Bài 307: Cho biểu thức: P 3 2 2 : 3 2 x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 e) Rút gọn P ; f) Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào? c)Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. Lời giải a) Rút gọn P ĐKXĐ: x 3 . x x 3 3 1 6x Ta có: P : 2 x2 9 x 3 2 x 3 x 9 x 3 x 9 2 x 3 x2 9 6x x 3 x 3 x 9 x 3 : . x2 9 x 3 x2 9 x2 9 x 3 2 x 3 x 3 Vậy, P , x 3 . x 3 b)Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào? x 3 Ta có: P , x 3 x 3 3 P 1 P x 3 x 3 x P 1 3 1 P x P 1 3 P 1 P 1 P 1 Với x 0 0 0 P 1 P 1 P 1 Vậy, với x 0 thì P không nhận các giá trị từ (-1) đến 1, tức là P  1;1 . Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  73. 178 Nhóm Toán Học Sơ Đồ c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. x 3 Ta có: P , x 3 x 3 x 3 6 6 1 Z x 3 x 3 Suy ra x 3 U 6 1; 2; 3; 6 . Lập bảng : x 3 -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 x -3 0 1 2 4 5 6 9 Vậy, x 0;1;2;4;5;6;9 . M N 32x 19 Bài 308: Cho . Tính M .N ? x 1 x 2 x2 x 2 Lời giải ĐKXĐ : x 1, x 2 . M x 2 N x 1 32x 19 Ta có : x 1 x 2 x 1 x 2 M x 2 N x 1 32x 19 M N x N 2M 32x 19 M N 32, 2M N 19 M 17, N 15 M.N 255 Vậy, M.N 255 với .x 1, x 2 x 3 8x2 3x 1 Bài 309: Cho biểu thức: Q 1 2 : 3 2 2 x 5x 6 4x 8x 3x 12 x 2 a) Rút gọn Q ; b) Tìm các giá trị của x để Q 0,Q 1 ; c) Tìm các giá trị của x để Q 0 . Lời giải d) Rút gọn Q : x 3 8x2 3x 1 Ta có: Q 1 : 2 x 2 x 3 4x x 2 3 x 2 x 2 x 2 ĐKXĐ: x 0, x 2, x 3 . 1 2 x 1 x 4 Suy ra Q 1 : x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 6 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  74. 179 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x 4 Vậy, Q với x 0, x 2, x 3 . 6 e) Tìm các giá trị của x để Q 0,Q 1 x 4 Ta có Q 0 0 x 4 ( thỏa ĐKXĐ ) 6 x 4 Ta có: Q 1 1 x 2 ( không thỏa ĐKXĐ ) 6 Vậy, tại x 4 thì Q 0 và không tồn tại x để Q 1 . f) Tìm các giá trị của x để Q 0 . x 4 Ta có: Q 0 0 x 4 6 Kết hợp với ĐKXĐ, ta có: Q 0 x 4 và x 0, x 2, x 3 . a2 4a 4 Bài 310: Cho phân thức: A a3 2a2 4a 8 a)Rút gọn A ; b)Tìm a Z để A có giá trị nguyên. Lời giải c) Rút gọn A : 2 2 a2 4a 4 a 2 a 2 Ta có: A a3 2a2 4a 8 a2 a 2 4 a 2 a 2 2 a 2 ĐKXĐ: a 2 . 1 Khi đó, A với a 2 . a 2 d) Tìm a Z để A có giá trị nguyên. 1 a 3 Để A có giá trị nguyên với a Z và a 2 thì a 2 1 (thỏa ĐKXĐ) a 2 a 1 Vậy, a 3 hoặc a 1 thì A nhận giá trị nguyên. 2 1 2 1 4 1 4 1 Bài 311: Cho x 2 : x 2 a . Tính M x 4 : x 4 theo a . x x x x Lời giải 4 2 1 2 1 x 1 4 a 1 Ta có: a x 2 : x 2 4 x a 1 x x x 1 1 a a 1 2a Thay x4 a 1 vào M , rút gọn ta được M ,a 1 . 1 a a2 1 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  75. 180 Nhóm Toán Học Sơ Đồ ab bc ca Bài 312: a) Cho a,b,c là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ a b b c c a ab bc ca số đều có nghĩa ). Tính: M . a2 b2 c2 2 2 2 2017 b) Tìm số tự nhiên n khác 0, biết: 1 1 1 . 2.3 3.4 n n 1 6045 1 1 1 1 1 c) Tính: M . 1 1 1 1 2 1.3 2.4 3.5 2017.2019 Lời giải ab bc ca a) Cho a,b,c là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ số đều có a b b c c a ab bc ca nghĩa ). Tính: M . a2 b2 c2 ab bc ca a b b c c a Ta có: a b b c c a ab bc ca 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 0 b a c b a c a b c ab bc ca 3a2 Khi đó, M 1 a2 b2 c2 3a2 ab bc ca Vậy, M 1 với a,b,c là ba số dương khác 0. a b b c c a 2 2 2 2017 b) Tìm số tự nhiên n khác 0, biết: 1 1 1 . 2.3 3.4 n n 1 6045 2 2 2 4 10 18 n n 1 2 Ta có: 1 1 1 . . 2.3 3.4 n n 1 2.3 3.4 4.5 n n 1 1.4 2.5 3.6 n 1 n 2 1.2.3.4 n 1 4.5.6 n 2 n 2 . . . 2.3 3.4 4.5 n n 1 2.3.4 n 3.4.5 n 1 3n n 2 2017 Khi đó, ta có: n 2015 3n 6045 Vậy, n 2015 . 1 1 1 1 1 c) Ta có: M . 1 1 1 1 2 1.3 2.4 3.5 2017.2019 1 4 9 16 2017.2019 1 1 2.2 3.3 4.4 2018.2018 . . 2 1.3 2.4 3.5 2017.2019 2 1.3 2.4 3.5 2017.2019 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  76. 181 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 2.3 2018 2.3 2018 1 2018 . 2018. 2.3.4 2017 2.3.4 2019 2019 2019 2018 Vậy, M . 2019 a b 2 ab 2 Bài 313: Cho a b 1 và ab 0 . Chứng minh: b3 1 a3 1 a2b2 3 Lời giải Với a b 1 và ab 0 , ta có: 3 3 4 4 2 2 2 2 2 a b a a 1 b b 1 a b a b a b 2a b 1 b3 1 a3 1 a3 1 b3 1 a3b3 a3 b3 1 a3b3 a b 3 3ab a b 1 2 a b 2 2ab 2a2b2 1 ( Vì a b 1 và ab 0 ) a3b3 3ab 1 4ab 4a2b2 2a2b2 1 ( Vì a b 1 và ab 0 ) ab a2b2 3 2ab ab 2 2 ab 2 ( Vì ab 0 ) ab a2b2 3 a2b2 3 a b 2 ab 2 Vậy, với a b 1 và ab 0 . b3 1 a3 1 a2b2 3 a3 a2 a Bài 314: Cho biểu thức E với a là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ E có giá trị 24 8 12 nguyên. Lời giải Vì a là một số tự nhiên chẵn nên a 2k,k N . a3 a2 a 8k 3 4k 2 2k 2k 3 3k 2 k k k 1 2k 1 Do đó E 24 8 12 24 8 12 6 6 Ta có: k k 1 2 k k 1 2k 1 2 Ta cần c/m: k k 1 2k 1 3 . Thật vậy: + Nếu k 3n,n N k3 thì k k 1 2k 1 3 + Nếu k 3n 1, n N 2k 1 2 3n 1 1 6n 33 thì k k 1 2k 1 3 + Nếu k 3n 2,n N k 1 3n 33 thì k k 1 2k 1 3 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  77. 182 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Mà 2,3 1 k k 1 2k 1 6 a3 a2 a Vậy, E có giá trị nguyên với a là một số tự nhiên chẵn. 24 8 12 Bài 315: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện: abc 2019 . Chứng minh rằng: 2019a b c 1 ab 2019a 2019 bc b 2019 ca c 1 Lời giải Ta có: 2019a b c ab 2019a 2019 bc b 2019 ca c 1 abca b c ab abca abc bc b 2019 ca c 1 a(bca) b bc a(b abc bc) bc b 2019 bca bc b bca b bc b abc bc bc b 2019 bca bc b 2019 b bc 2019 b bc 1 . b 2019 bc bc b 2019 2019 bc b b 2019 bc 2019a b c Vậy, 1 với abc 2019 . ab 2019a 2019 bc b 2019 ca c 1 x 2x 3y Bài 316: Cho 3y x 6 . Tính giá trị của biểu thức M y 2 x 6 Lời giải Ta có: 3y x 6 x 3y 6, 3y x 6 x 2x 3y 3y 6 2x x 6 Do đó, M 3 1 4 y 2 x 6 y 2 x 6 Vậy, M 4 khi 3y x 6 . 3 5 7 2n 1 Bài 317: Cho biểu thức P 2 2 2 2 ,n N * 1.2 2.3 3.4 n n 1 a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P tại n 99 . Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  78. 183 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Lời giải c) Rút gọn P : 2 2k 1 k 1 k 2 1 1 Ta có: với k N * . k 2 k 1 2 k 2 k 1 2 k 2 k 1 2 3 5 7 2n 1 Do đó, P 2 2 2 2 ,n N * 1.2 2.3 3.4 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 n n 2 1 12 22 22 32 n2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n n 2 Vậy, P ,n N * . n 1 2 d) Tính giá trị của P tại n 99 . 99. 99 2 9999 Tại n 99 ta có P 99 1 2 10000 9999 Vậy, P tại n 99 . 10000 Bài 318: Cho đa thức E x4 2017x2 2016x 2017 . Tính giá trị của E với x là nghiệm của phương trình: x2 x 1 1 . Lời giải x2 x 1 1 Ta có: x2 x 1 1 2 x x 1 1 2 2 x 0 *) x x 1 1 x x 0 x x 1 0 x 1 2 2 2 1 7 *) x x 1 1 x x 2 0 x 0 (vô nghiệm). 2 4 Vậy với x 0 E 2017 ; x 1 E 6051 . 2017 2016 Bài 319: So sánh A và B , biết: A 20172016 20162016 ; B 20172017 20162017 Lời giải Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  79. 184 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 2017 2016 A 20172016 20162016 20172016 20162016 . 20172016 20162016 2016 20172016 20162016 .20172016 2016 20172016 20162016 .2017 2016 20172017 20162016.2016 2016 20172017 20162017 B 2a 1 Bài 320: Hãy viết biểu thức sau : thành hiệu hai bình phương a2 a 1 Lời giải 2 2 2 2a 1 a2 2a 1 a2 a 1 a2 1 1 2 2 2 a2 a 1 a2 a 1 a2 a 1 a a 1 x 1 1 2 Bài 321: Cho biểu thức : P 2 : 2 x 1 x x x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị của x để P 1 c) Giải phương trình P 2 Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 1 x2 1 x 1 2 x2 1 x 1 x 1 x2 1 P : . x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x2 1 x2 1 x2 1 x b) P 1 1 1 0 0 x x x 2 2 1 3 Vì x x 1 x 0 với mọi x 2 4 x2 1 x x 0 Để 0 x 0 . Vậy P 1 x x 1 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  80. 185 Nhóm Toán Học Sơ Đồ P 2 c) P 2 P 2 x2 1 x2 1 2x P 2 2 0 x 1(ktm) x 2 x2 1 x2 1 2x P 2 2 0 x 1(ktm) x x Vậy phương trình vô nghiệm 2 2 Bài 322: Cho x2 y2 2 và M x2 1 y2 1 2x2 y2 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức M không phụ thuộc vào giá trị của biến số x, y Lời giải 2 2 M x2 1 y2 1 2x2 y2 x4 2x2 1 y4 2y2 1 2x2 y2 x4 2x2 y2 y4 2 x2 y2 2 2 x2 y2 2 x2 y2 2 22 2.2 2 2 Vậy biểu thức M không phụ thuộc vào giá trị của biến số x, y x 1 1 3x x2 1 x2 2x 1 Bài 323: Cho A 2 3 : 3x x 1 x 1 1 x x 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A 2 b) Tìm các giá trị thực của x để A và có giá trị là số nguyên. A Lời giải a) Điều kiện xác định x 1 x 1 1 3x x2 1 x 1 1 3x x2 1 2 x3 1 1 x x2 x 1 2 1 x 3x x 1 x 1 x x 1 2 2 x 1 x 1 1 3x x x x 1 x2 2x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  81. 186 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x 1 1 3x x2 1 x2 2x 1 2 3 : 3x x 1 x 1 1 x x 1 x2 2x 1 x 1 1 . x 1 x2 x 1 x2 2x 1 x2 x 1 1 2 b) A nguyên thì nguyên nghĩa là A U (2) x2 x 1 A 3 4 x2 x 1 ;0 A A 1 4 3 2 x 0(tm) Suy ra A 1 x x 1 1 x 1(ktm) Vậy x 0 Bài 324: Chứng minh rằng: nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn 2 a b c 3 ab bc ca thì tam giác đó là tam giác đều. Lời giải 2 1 2 2 2 Xét hiệu a b c 3 ab bc ca a b b c c a 2 2 1 2 2 2 Suy ra a b c 3 ab bc ca a b b c c a 0 a b c 2 2 Vậy, a b c 3 ab bc ca thì tam giác đó là tam giác đều. Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10
  82. 187 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Sản Phẩm Dùng Chung : Tách Dạng HSG 6789 - Vào 10