60 Đề thi học sinh giỏi Toán 8

Nội dung text: 60 Đề thi học sinh giỏi Toán 8

1. Đề thi HSG I. Trắc nghiệm: Hãy chọn chữ cãi đứng trước câu trả lời đúng trong các câu sau: Câu 1: Để đa thức f(x) = x4 + 2x3 + ax2 + 2x + b là bình phương của một đa thức thì: A. a = 3; b = 1 B. a = 3; b = 0 C. a = 4; b = 1 D. a = 1; b = 1 x(x-1) Câu 2: Cho phân thức . Giá tri của phân thức bằng 0 khi: 2x2 A. x = 0 B. x = 0 hoặc x = 1 C. x = 1 D. Không có giá trị của x Câu 3: Kết quả của phép tính (a6 - 1) : (a2 - 1) là: A. a4 + 1 B. a4 + a2 + 1 C. a4 + 2a2 + 1 D. Không thực hiện được Câu 4: Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 3cm và 8cm, góc xen giữa bằng 600. Độ dài cạnh còn lại là: A. 7cm B. 4cm C. 55 D. 63 1 Câu5 Cho x-1 . Kết quả nào sau đây là đúng? 2 1 1 3 A. x = 0 B. x = C. x D. x = 4 2 2 2 Câu 6 Biết 5 x 4 thì (x - 5)2 bằng: A. 2 B. 16 C. 32 D. 256 Câu 7 Tổng A = 3 - 32 + 33 - 34 + - 3100 được kết quả là: 3 3101 3 3101 A. B. C. 3 - 3101 D. 3101 - 3 4 2 Câu 8 Một tam giác có góc B - góc C = 300, tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Số đo góc ADB là: A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 II. Tự luận: Câu 5: Giải các phương trình sau: a/ 2x3 + x2 - 5x + 2 = 0 b/ 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0 c/ 2x 1 2x 1 4 x2 8x 7 Câu 6: Cho P = . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P x2 1 Câu 7: a/ Cho ba số chính phương A, B, C. Chứng minh rằng: (A - B)(B - C)(C - A) chia hết cho 12. b/ Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a, b, c khác 0. Tính giá trị của biểu thức: a b c P = 1 1 1 b c a Câu 8: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 5cm; BC = 6cm. Vẽ các đường phân giác AD, BE, CF a/ Tính độ dài EF b/ Tính diện tích tam giác DEF Câu 9:
2. a/ Chứng minh rằng nếu a + b + c 3 thì a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3 b/ Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Đề thi học sinh giỏi cấp trường Bai1Phân tích đa thức thành nhân tử : P(x) = 6x3 + 13x2 + 4x - 3 b) Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 1) (x+2)(x+3)(x+6) Bài 2 : a) Giải PT : x2 + 2x + 2 x 1 - 2 = 0 b) Giải BPT : x2 - x - 2 0 thì y y y n * Nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì : a b c 2 b c c a a b Bài 4 : Lấy điểm O trong ΔABC. Các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh rằng OA OB OC 2 AP BQ CR Bài 5 : Trên cạnh AB của hình vuông ABCD, người ta lấy tuỳ ý điểm E. Tia phân  giác của C D E cắt BC tại K. Chứng minh AE + KC = DE ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 8 Đề 1 Bài 1: Trờn cạnh AB<BC<AC của tam giỏc ABC cố định, người ta lần lượt lấy cỏc điểm M,N,P sao cho Tớnh diện tớch MNP theo diện tớch ABC theo k.
3. Tớnh k Sao cho diện tớch MNP đạt GTNN. Bài 2: Cho tỳ giỏc ABCD cú 2 đường chộo cắt nhau tại O. Kớ Hiệu S là diện tớch. Cho diện tớch AOB và diện tớch COD với a,b là 2 số cho trước . 1, Hóy tỡm GTNN của diện tớch ABCD ? 2, Giả sủ diện tớch ABCD nhỏ nhất. Hóy tỡm đường chộo BD điểm M sao cho đường thẳng qua M // với AB bị 2 cạnh AD, BC và 2 đường chộo AC, BD chia thành 3 phần bằng nhau. Đề 2 Bài 1 Rỳt gọn biểu thức: A= Bài 2 Giải phương trỡnh a) b) Bài 3 Cho a,b,c thỏa món ab+bc+ac=4 chứng minh rằng: a2+b2+c2 lớn hơn hoặc bằng 4 Bài 4 cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AC>AB),đường cao AH . Trong nửa mặt phẳng bờ AH cú chứa C vẽ hỡnh vuụng AHKE. gọi P là giao điểm của AC và KE a)tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABP b)gọi Q là đỉnh thứ tư của hỡnh bỡnh hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và QA.cm H,I,K thẳng hàng c)Gọi F là giao điểm AK và HE. cm AI.AK=AF.AQ Đề 3 Bài 1:Cho đa thức P(x)= 2x4-7x3-2x2+13x+6 1) Phõn tớch P(x) thành nhõn tử 2) Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x thuộc Z Bài 2: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD (AC>BD). Vẽ CE vuụng gúc với AB và CF vuụng gúc với AD. Chứng minh rằng: AB.AE+AD.AF= Bài 3: Cho phõn thức F(x)= 1) Rỳt gọn phõn thức 2) Xỏc định x để phõn thức cú giỏ trị nhỏ nhất Bài 4: Cho tam giỏc vuụng ABC, cạnh huyền BC bằng 289 và đường cao AH bằng 120. Tớnh hai cạnh AB và AC Bài 5:Cho 3 số dương a,b,c 1)C/m: >9 2) Giải phương trỡnh:
4. .2đ. tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh xyz= x + y + z 2.2đ: a,giải phương trỡnh b,cho cỏc số dương x,y,z thỏa món điều kiện xyz=100.tớnh giỏ trị biểu thức: 3.(2đ) a,CMR nếu cỏc số x,y,z cú tổng là 1 số ko õm thỡ: b, cho m,n là cỏc số thỏa món điều kiện .tỡm min của : 4.(1,5đ).trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) cú phương trỡnh (m - 4)x+ (m-3)y=1( m là tham số ).tỡm m để KC từ gốc tọa độ đến d là lớn nhất. 5.(2,5đ).Cho (O) đường kớnh BC = 2R .từ điểm P trờn tia tiếp tuyến tại B của đường trũn,vẽ tiếp tuyến thứ hai PA với đường trũn(A là tiếp điểm).Gọi H là hỡnh chiếu của A trờn BC,E là giao điểm của PC và AH. a,CM : E là TĐ của AH b,tớnh AH theo R và khoảng cỏch d=PO
5. Đề thi học sinh giỏi toán 8 Thời gian:90 phút Bài 1: Cho a, b, c ≠ 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1 + + = . a b c a + b + c Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng : 1 1 1 1 + + = . a2009 b2009 c2009 a2009 + b2009 + c2009 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: . Bài 3: Chứng minh rằng với x,y nguyờn thỡ: là số chớnh phương. Bài 4: Cho tam giỏc ABC, O là giao điểm của cỏc đường trung trực trong tam giỏc, H là trực tõm của tam giỏc. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm cỏc cạnh AB, AC, BC. Gọi Q là trung điểm đoạn thẳng AH. Xỏc định dạng của tứ giỏc OPQR? Tam giỏc ABC phải thỏa món điều kiện gỡ để OPQR là hỡnh thoi? a.Chứng minh AQ = OM. b.Gọi G là trọng tõm của tam giỏc ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng. c.Vẽ ra ngoài tam giỏc ABC cỏc hỡnh vuụng ABDE, ACFL. Gọi I là trung điểm của EL. Nếu diện tớch tam giỏc ABC khụng đổi và BC cố định thỡ I di chuyển trờn đường nào? Sở GD-ĐT Hà TĩNH Đề THI họC SINH GiỏI LớP 8 NĂM HọC 2008-2009 PHòNG GD-ĐT HƯƠNG SƠN MÔN : TOáN(Thời gian 120 phút) x 1 x 1 x 2 4x 1 x 1004 Câu: 1Cho biểu thức A= ( )( ) x 1 x 1 x 2 1 x a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 1 c) Với giá trị nào của x thì A < 2 Câu :2 Cho hai số dương x và y thoả mãn x+y=1 a) Tính giá trị của biểu thức M= x(x+34) +y(y+34) +2xy +65 1 1 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =(1- )(1 ) x 2 y 2 Câu :3 Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 Giả sử P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0 . Hãy tính giá trị của biểu thức : Q= P(-2)+7P(6)
6. Câu : 4 Tìm tất cả các số nguyên n thoả mãn (n+5)2 =[4(n-2)]3 Câu :5 Cho đoạn thẳng AB , gọi O là trung điểm của AB; vẽ về một phía của AB các tia Ax và By cùng vuông góc với AB . Lấy điểm C trên Ax, lấy điểm D trên By sao cho góc COD=900 a) Chứng minh ACO đồng dạng với BOD b) Chứng minh CD=AC+BD c) Kẻ OM vuông góc với CD tại M . Gọi N là giao điểm của AD với BC Chứng minh MN // AC Trường THCS Tiến Thịnh Đề Khảo sỏt học sinh giỏi Mụn: Toỏn. Lớp 8 Thời gian: 120 phỳt Cõu 1( 2đ): Biết: a - b = 25. Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: A = a( a + 2) + b( b - 2) - 2ab – 75 b) Cho: x + y = 2; x2 + y2 = 10. Tớnh giỏ trị của biểu thức: B = x3 + y3 Cõu 2( 2đ): Cho x + y = a; x2 + y2 = b; x3 + y3 = c. Chứng minh: a3 - 3ab +2c = 0. Cõu 4( 2đ): a) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là 3 cạnh của một tam giỏc thỡ: b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = ( x - 2)2 + ( x - 3)2 Cõu 5( 2đ): Giả sử AC là đường chộo lớn của hỡnh bỡnh hành ABCD. Từ C, vẽ đường vuụng gúc CE với đường thẳng AB, đường vuụng gúc CF với đường thẳng AD ( E, F thuộc phần kộo dài của cỏc cạnh AB và AD). Chứng minh rằng: AB . AE + AD . AF = AC2
7. phòng Gd & đt kì thi khảo sát chất lượng học sinh mũi nhọn ngọc lặc Năm học 2008-2009 Đề thi chính thức Môn : Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Số báo danh: Đề thi này có 5 câu x 3 3x x 4 Câu 1(4.0 điểm) : Cho biểu thức A = x 1 x2 x 1 x3 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1 Câu 2(4.0 điểm): Giải phương trình: a) x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 b) 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x Câu 3(3.0 điểm) : Cho xy ≠ 0 và x + y = 1. x y 2 xy 2 Chứng minh rằng: = 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 Câu 4(3.0 điểm): Chứng minh rằng: Với mọi x Q thì giá trị của đa thức : M = x 2 x 4 x 6 x 8 16 là bình phương của một số hữu tỉ. Câu 5 (6.0 điểm) : Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB . 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM GB HD 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . BC AH HC Hết
8. Câu Nội dung Điểm 1 2 x 3 3x x 4 x x x 1 x 1 3 3x x 4 1điểm - Rút gọn: A = = x 1 x2 x 1 x3 1 x 1 x2 x 1 a 2 x3 2x2 2x 1 x 1 x x 1 x2 x 1 = x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 1điểm 2 1 3 2 x x x 1 2 4 1điểm Với mọi x ≠ - 1 thì A = 2 = 2 x x 1 1 3 x b 2 4 2 2 1 3 1 3 Vì x 0; x 0,x 1 A 0,x 1 2 4 2 4 1điểm 2 * Với x 1 (*) x - 1 0 tax có1 phươngx 1 trình 2 2 1điểm x2 -3x + 2 + x-1 = 0 x 2x 1 0 x 1 0 x 1 ( Thoả mãn điều kiện *) * Với x< 1 ( ) x - 1 0 tax có1 phương1 x trình a x2 -3x + 2 + 1 - x = 0 x2 4x 3 0 x 1 x 3 0 + x - 1 = 0 x 1 ( Không thỏa mãn điều kiện ) + x - 3 = 0 x 3 ( Không thoả mãn điều kiện ) 1điểm Vậy nghiệm của phương trình là : x = 1 * Điều kiện x ≠ 0 (1) 0.5điể 2 2 1 2 1 2 1 1 2 m * pt 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 b 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 2 2 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 1điểm 16 x 4 2 x x 8 0 x 0 hoặc x = -8 So sánh với điều kiện (1) , suy ra nghiệm của phương trình là x = - 8
9. 0.5điể m Ta có y3 1 y 1 y2 y 1 x y2 y 1 vì xy 0 x, y 0 x, y 0 1điểm y-1 0 và x-1 0 x 1 3 2 y 1 y y 1 3 2 2 y 1 x 1 x 1 x x 1 y x x 1 3 2 x 1 x x 1 x y 1 1 3 y3 1 x3 1 y2 y 1 x2 x 1 1điểm 2 x2 x 1 y2 y 1 x y 2xy x y 2 2 2 2 2 2 x x 1 y y 1 x y x y 2xy xy x y xy x y 1 4 2xy x y 2 xy 2 0 x2 y2 3 y3 1 x3 1 x2 y2 3 1điểm Ta có: M = x2 10x 16 x2 10x 24 16 1điểm 4 Đặt a = x2 + 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2 1điểm M = ( x2 + 10x + 20 )2 ( đpcm) 1điểm 5 + Hai tam giác ADC và BEC có: Góc C chung. CD CA (Hai tam giác vuông CDE CE CB và CAB đồng dạng) 1.5điể a Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). Suy ra: Bã EC ãADC 1350 (vì tam m giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết). Nên ãAEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: BE AB 2 m 2 1điểm BM 1 BE 1 AD Ta có:   (do BEC : ADC ) b BC 2 BC 2 AC 1.5điể mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông cân tại H)
10. BM 1 AD 1 AH 2 BH BH m nên   (do ABH : CBA ) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE Do đó BHM : BEC (c.g.c), suy ra: Bã HM Bã EC 1350 ãAHM 450 1điểm Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC. 1điểm GB AB AB ED AH HD Suy ra: , mà ABC : DEC ED // AH c GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó: GC HC GB GC HD HC BC AH HC UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1. x2 7x 6 2. x4 2008x2 2007x 2008 Bài 2: (2điểm) Giải phương trình: 1. x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2. 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x Bài 3: (2điểm) 1. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6 4 Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó. 2. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho đa thức x2 10x 21 . Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB . 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
11. GB HD 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . BC AH HC Đề bài Bài 1 (4 điểm) 1 x3 1 x2 x : Cho biểu thức A = 2 3 với x khác -1 và 1. 1 x 1 x x x a, Rút gọn biểu thức A. 2 b, Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 . 3 c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm) 2 2 2 2 2 2 Cho a b b c c a 4. a b c ab ac bc . Chứng minh rằng a b c . Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm) 4 3 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 2a 3a 4a 5 . Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b, Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c, Biết SAOB= 2008 (đơn vị diện tích); SCOD= 2009 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi cấp Bài 1( 4 điểm ) a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì : 0,5đ 1 x 3 x x 2 (1 x)(1 x) A=: 1 x (1 x)(1 x x 2 ) x(1 x)
12. (1 x)(1 x x 2 x) (1 x)(1 x) 0,5đ = : 1 x (1 x)(1 2x x 2 ) 1 = (1 x 2 ) : 0,5đ (1 x) = (1 x 2 )(1 x) 0,5đ KL b, (1 điểm) 2 5 5 2 5 0,25đ Tại x = 1 = thì A = 1 ( ) 1 ( ) 3 3 3 3 25 5 = (1 )(1 ) 0,25đ 9 3 34 8 272 2 . 10 0,5đ 9 3 27 27 KL c, (1điểm) Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 x 2 )(1 x) 0 (1) 0,25đ Vì 1 x 2 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 x 0 x 1 0,5đ KL 0,25đ Bài 2 (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để được 0,5đ a 2 b 2 2ab b 2 c 2 2bc c 2 a 2 2ac 4a 2 4b 2 4c 2 4ab 4ac 4bc Biến đổi để có (a 2 b 2 2ac) (b 2 c 2 2bc) (a 2 c 2 2ac) 0 0,5đ Biến đổi để có (a b) 2 (b c) 2 (a c) 2 0 (*) 0,5đ Vì (a b) 2 0 ;(b c) 2 0 ;(a c) 2 0 ; với mọi a, b, c 0,5đ nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a b) 2 0 ;(b c) 2 0 và (a c) 2 0 ; 0,5đ Từ đó suy ra a = b = c 0,5đ Bài 3 (3 điểm) 0,5đ Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân x số cần tìm là (x là số nguyên khác -11) x 11 x 7 Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số 0,5đ x 15 (x khác -15) x x 15 Theo bài ra ta có phương trình = 0,5đ x 11 x 7 Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn) 1đ 5 Từ đó tìm được phân số 0,5đ 6 KL
13. Bài 4 (2 điểm) 0,5đ Biến đổi để có A= a 2 (a 2 2) 2a(a 2 2) (a 2 2) 3 = (a 2 2)(a 2 2a 1) 3 (a 2 2)(a 1) 2 3 0,5đ Vì a 2 2 0 a và (a 1) 2 0a nên (a 2 2)(a 1) 2 0a do đó 0,5đ (a 2 2)(a 1) 2 3 3a Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a 1 0 a 1 0,25đ KL 0,25đ Bài 5 (3 điểm) B M N A a,(1 điểm) D I C Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang 0,5đ Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đ b,(2điểm) 4 3 8 3 0,5đ Tính được AD = cm ; BD = 2AD = cm 3 3 1 4 3 AM = BD cm 2 3 4 3 0,5đ Tính được NI = AM = cm 3 8 3 1 4 3 0,5đ DC = BC = cm , MN = DC cm 3 2 3 8 3 0,5đ Tính được AI = cm 3 Bài 6 (5 điểm) A B O M N D C
14. a, (1,5 điểm) OM OD ON OC Lập luận để có , 0,5đ AB BD AB AC OD OC Lập luận để có 0,5đ DB AC OM ON OM = ON 0,5đ AB AB b, (1,5 điểm) OM DM OM AM Xét ABD để có (1), xét ADC để có (2) 0,5đ AB AD DC AD 1 1 AM DM AD Từ (1) và (2) OM.( ) 1 AB CD AD AD 1 1 Chứng minh tương tự ON.( ) 1 0,5đ AB CD 1 1 1 1 2 từ đó có (OM + ON).( ) 2 0,5đ AB CD AB CD MN b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC 0,5đ , S AOB .S DOC S BOC .S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh được S AOD S BOC 0,5đ 2 S AOB .S DOC (S AOD ) 0,5đ 2 2 2 Thay số để có 2008 .2009 = (SAOD) SAOD = 2008.2009 2 2 2 2 Do đó SABCD= 2008 + 2.2008.2009 + 2009 = (2008 + 2009) = 4017 (đơn vị 0,5đ DT) Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức 4xy 1 1 A : 2 2 2 2 2 2 y x y x y 2xy x a) Tỡm điều kiện của x, y để giỏ trị của A được xỏc định. b) Rỳt gọn A. c) Nếu x; y là cỏc số thực thoả món: 3x 2 + y2 + 2x – 2y = 1, hóy tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A? Bài 2 (4 điểm): a) Giải phương trỡnh : x 11 x 22 x 33 x 44 115 104 93 82 b) Tỡm cỏc số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2009 y2009 z 2009 32010 Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n N thỡ n5 và n luụn cú chữ số tận cựng giống nhau. Bài 4 (7 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và Eã AD Eã CB ã 0 2 b) Cho BMC 120 và SAED 36cm . Tớnh SEBC?
15. c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi. d) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ  PD . Bài 5 (2 điểm): x y a) Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 (với x và y cựng dấu) y x x2 y2 x y b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 2 3 5 (với x 0, y 0 ) y x y x Phòng Giáo dục- Đào tạo đáp án và hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 - TRựC NINH 2009 môn: Toán 8 Bài 1: (4 điểm) a) Điều kiện: x y; y 0 (1 điểm) b) A = 2x(x+y) (2 điểm) c) Cần chỉ ra giỏ trị lớn nhất của A, từ đú tỡm được tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2 A = 2 – (x – y + 1)2 2 (do (x – y + 1) 0 (với mọi x ; y) A 2. (0,5đ) 1 x y 1 0 x 2 + A = 2 khi 2x x y 2 3 x y;y 0 y 2
16. (x y 1)2 1 + A = 1 khi 2x x y 1 Từ đú, chỉ cần chỉ ra được một cặp giỏ trị của x và y, chẳng x y;y 0 2 1 x 2 hạn: 2 3 y 2 + Vậy A chỉ cú thể cú 2 giỏ trị nguyờn dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm) Bài 2: (4 điểm) x 11 x 22 x 33 x 44 a) 115 104 93 82 x 11 x 22 x 33 x 44 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 115 104 93 82 x 126 x 126 x 126 x 126 115 104 93 82 x 126 x 126 x 126 x 126 0 115 104 93 82 x 126 0 x 126 b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0 (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0 x y 0 y z 0 z x 0 x y z x2009 = y2009 = z2009 Thay vào điều kiện (2) ta cú 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = 3 Vậy x = y = z = 3 Bài 3 (3 điểm) Cần chứng minh: n5 – n  10 - Chứng minh : n5 - n  2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1)  2 ( vỡ n(n – 1) là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp) - Chứng minh: n5 – n  5 n5 - n = = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
17. = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) lý luận dẫn đến tổng trờn chia hết cho 5 - Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n  2.5 tức là n5 – n  10 Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau. Bài 4: 6 điểm E D A M Q B C P I H Câu a: 2 điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm) - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) 0,5 điểm EB ED - Từ đó suy ra EA.EB ED.EC 0,5 điểm EC EA * Chứng minh Eã AD Eã CB (1 điểm) - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) 0,75 điểm - Suy ra Eã AD Eã CB 0,25 điểm Câu b: 1,5 điểm - Từ Bã MC = 120o ãAMB = 60o ãABM = 30o 0,5 điểm - Xét EDB vuông tại D có Bà = 30o 1 ED 1 ED = EB 0,5 điểm 2 EB 2 2 SEAD ED 2 - Lý luận cho từ đó SECB = 144 cm 0,5 điểm SECB EB Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm
18. BH BD 2BP BD BP BD 0,5 điểm DH DC 2DQ DC DQ DC - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) Bã DP Dã CQ   CQ  PD 1 điểm ã ã o ma`BDP PDC 90  Câu d: 1 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi 0,5 điểm Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 Bài 5: (2 điểm) x y a) vỡ x, y cựng dấu nờn xy > 0, do đú 2 x2 y2 2xy (x y)2 0 bất y x đẳng thức này luụn đỳng, suy ra bđt ban đầu đỳng (đpcm) x y b) Đặt t y x x2 y2 t2 2 y2 x2 Biểu thức đó cho trở thành P = t2 – 3t + 3 P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1 - Nếu x; y cựng dấu, theo c/m cõu a) suy ra t 2. t 2 0 ; t 1 0 t 2 t 1 0 P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 x = y (1) x y - Nếu x; y trỏi dấu thỡ 0 và 0 t 0 y x P > 1 (2) - Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x 0 ; y 0 thỡ luụn cú P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pmin= 1 (khi x = y) Bài 5: (2 điểm) - Gọi R(x) là đa thức dư trong phộp chia f(x) : (x – 2)(x2 – x + 1), khi đú ta cú: f(x) = (x – 2).(x2 – x + 1).P(x) + R(x) (1) - Vỡ đa thức chia (x – 2)(x2 – x + 1) là đa thức bậc 3 nờn đa thức dư R(x) cú bậc 2 - Từ (1) dư trong phộp chia f(x) : (x – 2) chớnh là dư trong phộp chia R(x) : (x – 2), mà R(x) là đa thức cú bậc 2, và f(x) : (x – 2) dư 4 (gt) R(x) = (x – 2)(kx + p) + 4 - Lập luận tương tự trờn òng GD  ĐT Nam Trực đề thi khảo sát chất lượng hsg năm học 2008-2009 Môn: toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1(4đ) Giải các pt sau:
19. 1 2 3 a) 0 x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 1 x x 1 x 2 x 3 x 4 b) 5 2000 2001 2002 2003 2004 Bài 2 (4đ) a)Tích của 4 sốtự nhiên liên tiép cộng thêm 1 là một số chính phương 1 1 1 1 b) 1 22 32 42 n 2 Bài 3 (3đ) Hai bể nước chứa đầy cùng một lượng nước và mỗi bể có1 vòi để xả nước ra. Nừu mở vòi ở bể thứ nhất thì trong 20 phút bể sẽ hết nước. Nếu mở vòi ở bể thứ hai thì trong 10 phút bể sẽ hết nước. Hỏi nếu mở hai vòi cùng một lúc thíau bao lâu số nước còn lại trong bể thứ nhất nhiều hơn số nước còn lại trong bể thứ hai là 3 lần, biết vận tốc dòng chảy của mỗi vòi là không đổi. Bài 4(3đ) Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm D bất kì lấy trên cạnh BC, kẻ DEAB, DFac. Chứng minh rằng tổng DE+DF không đổi khi D di chuyển trên cạnh BC. Bài 5 (4đ) Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 20cm, Trên cạnh CD lấy điểm M. Đường vuông góc với BM cắt AD tại N. a) Tính DN biết MC=5cm b) Tìm vị trí điểm M để độ dài DN lớn nhất. Bài 6 (2đ) Xác định a để phương trình 4x2+31y2=a + 6 - 17xy có nghiệm nguyên duy nhất ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 8 QUẬN 1 TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2002-2003 ( Thời gian làm bài : 90 phỳt) Bài 1: (3 điểm) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử a) x2 +6x +5 b) (x2-x +1) (x2 –x+2) -12 Bài 2: (4 điểm) a) Cho x+y+z = 0 .Chứng minh x3 +y3 +z3 =3xyza 3 3 3 b) Rỳt gọn phõn thức : x y z 3xyz (x y)2 (y z)2 (z x)2 Bài 3 : (4 điểm) Cho x , y , z là độ dài ba cạnh của tam giỏc A= 4x2y2 –(x2 + y2 –z2)2 .Chứng minh A >0 Bài 4 : (3 điểm) Tỡm số dư trong phộp chia của biểu thức ( x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2002 cho x2 +8x +12 Bài 5: (6 điểm)
20. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AC >AB) ,đường cao AH .Trờn tia HC lấy HD= HA .Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E a) Chứng minh AE = AB b) Gọi M là trung điểm của BE .Tớnh gúc AHM Phòng gd-đt vĩnh tường đề khảo sát chất lượng hsg Môn:Toán 8 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) I/ Trắc nghiệm khách quan: Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu sau: 3 x 4 Câu 1: Rút gọn biểu thức P= với x -1,6  x > 2 C. - 0,8x > -1,6  x -1,6  x > -2 D. - 0,8x > -1,6  x < -2 Câu 3: Cho tam giác ABC cân ở A, AB = 32cm; BC = 24cm, đường cao BK. Tính độ dài KC ta được: A. KC = 16 B. KC = 9 C. KC = 4 D. KC = 3 Câu 4: Cho hình thang ABCD ( AB// CD); AB = 3cm, CD = 5cm. Gọi O là giao điểm của các đường thẳng AD và BC. Biết diện tích tam giác OAB bằng 27cm2. Tính diện tích hình thang ta được: A. 9 cm2 B. 25cm2 C. 48cm2 D. 75cm2 II. Tự luận: Câu 1: Cho ba số tự nhiên: A = 44 4 ( có 2n chữ số 4); B = 22 2 ( có n+1 chữ số 2); C = 88 8 ( có n chữ số 8); Chứng minh rằng A + B + C + 7 là số chính phương. Câu 2: Chứng minh rằng tổng các bình phương của n số tự nhiên đầu tiên : n(n 1)(2n 1) S = 12 + 22 +32 + + (n-1)2 + n2 = 6 Câu 3: Giải và biện luận phương trình ẩn x m 2 (x 2) 2 m 2 (x 2) 2 2(2x m 1) (m 1) 2 1 8 8 Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2 – xy – x + y + 1 Câu 5: Cho tam giác ABC có B và C là các góc nhọn, đáy BC dài 20cm, đường cao AH dài 10cm. Hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC sao cho M thuộc AB, N thuộc AC , P và Q thuộc BC. a. Đặt MQ = x; MN = y; Hãy biểu thị y theo x.
21. b. Tìm giá trị của x để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Hướng dẫn chấm khảo sát chất lượng hsg Môn: Toán 8 I/Trắc nghiệm khách quan ( 1 điểm) Câu 1 2 3 4 Đáp án đúng D C B C Cho điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 II/Tự luận Câu Nội dung Điểm Ta có: A +B+C+7= 44. 4 22. 2 88. 8 7 0,5 2n n 1 n =4*1 1 1 2*1 1 1 8*1 1 1 7 0,5 2n n 1 n 102n 1 10n 1 1 10n 1 = 4* 2* 8* 7 0,5 1 9 9 9 2 2 (2 đ) 2*10n 7 = 66 69 (đpcm) 0,5 3 n 1 - Ta có đẳng thức sau: 23= (1+1)3 = 13 +3.12.1+3.1.12 +13 0,25 33= (2+1)3 = 23 +3.22.1+3.2.12 +13 0,25 (n+1)3= n3 +3.n2.1+3.n.12 +13 0,25 Cộng từng vế rồi rút gọn ta được: 3 2 2 2 2 (n+1) =1+3(1 +2 + +n ) +3(1+2+ +n)+n 0,25 n(n 1) (2 đ) Thay 1+2+ +(n-1)+n= ta có: 0,25 2 n(n 1) 3(12+22+ +n2)=(n+1)3-(n+1)-3 0,25 2 =1/2(n+1)(2n2+n)=1/2n(n+1)(2n+1) 0,25 n(n 1)(2n 1) Vậy S= 12+22+ +n2= (đpcm) 0,25 6 Phương trình đã cho  8m2x-32x=8m2+32m+32 0,25 m2x-4x=m2+4m+4 0,25  (m-2)(m+2)x=(m+2)2 (*) 0,5 m 2 0,5 3 - Nếu m 2 thì pt có nghiệm duy nhất x= m 2 (2 đ) - Nếu m=2 thì pt (*) 0x=4, pt vô nghiệm 0,25 - Nếu m=-2 thì pt (*)  0x=0, pt vô số nghiệm 0,25
22. Ta có P=x2-x(y+1) + (y2+y+1) 2 y 1 y 1 = (x- )2+(y2+y+1)- 2 2 0,25 2 y 1 3y 2 2y 3 = x 2 4 2 y 1 3 2 = x (y 2 y 1) 2 4 3 4 2 y 1 3 1 2 2 0,25 = x (y ) 2 4 3 3 2 y 1 0,25 Do đó: P với mọi x, y. Dấu “=” xảy ra khi x- =0 3 2 và y+1/3=0  x=2/3 và y=-1/3.Vậy GTNN của P=2/3 0,25 5 A ( 2 đ) M K N B C Q H P Gọi K là giao điểm của AH và MN MN AK y 10 x a/ AMN đồng dạng ABC nên 0,5 BC AH 20 10 suy ra y=20-2x 0,5 b/SMNPQ = (20 - 2x)x 0,25 = 20x- 2x2=-2(x2-10x+25)+50=-2(x-5)2+50 0,5 2 suy ra SMNPQ 50 nên SMNPQ lớn nhất là 50m khi và chỉ khi x=5m ( khi đó MN là đường trung bình của tam giác ABC) 0,25 Đề thi học sinh giỏi toán 8 Bài 1: C/m rằng A=75( + + + +4+1)+25 là số chia hết cho 100 Bài 2: Cho a+b+c=1 và Chứng minh
23. Bài 3: Tớnh giỏ trị của đa thức P(x)= tại x=11 Bài 4: An và Bỡnh cựng lỳc từ làng sang làng B ở cựng một bờ sụng rồi quay về A ngay. An đi bộ, Bỡnh đi thuyền với vận tốc riờng của thuyền bằng vận tốc đi bộ của An. Hỏi ai quay về sớm hơn? Bài 5: Cho tam giỏc ABC. Gọi M là trung điểm của BC. C/m rằng AM 0 x 3 x 6 x 9 x 11 Câu2: a. Giải phương trình: = 4 87 84 81 79 b. Cho x-2y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2+y2+4 c. Tìm số dư của phép chia đa thức x2008 – x3 + 5 cho đa thức x2 – 1 Câu3: Cho AD là đường phân giác của tam giác nhọn ABC(AB<AC), phân giác ngoài tại A của tam giác ABC cắt BC tại K và cắt đường vuông góc với AC qua D tại N. AC cắt DN tại M. a. Chứng minh:AN2 =NM . ND b. Từ D kẻ DH // AB (H thuộc AC) , DE//AC (E thuộc AB) Chứng minh: EH // KN c. Chứng minh: AH. KC = HC. KB Câu4: Chứng minh: A = n2 + n + 4 không chia hết cho 25 với mọi n N