5 Đề thi học sinh giỏi lớp 7- Môn Toán

Nội dung text: 5 Đề thi học sinh giỏi lớp 7- Môn Toán

1. Đề thi học sinh giỏi lớp 7- Môn: Toán. Thời gian: 120 phút ĐỀ SỐ 1: Cõu 1. Tỡm x biết: a) 3x 1 5.3x 1 162 b) 3x +x2 = 0 c) (x-1)(x-3) 0) 2b 2c 2d 2a 2011a 2010b 2011b 2010c 2011c 2010d 2011d 2010a Tớnh A = c d a d a b b c Cõu 3. a) Tỡm cặp số nguyờn (x,y) thoả món x + y + xy =2. b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức Q = 27 2x (với x nguyờn) 12 x Cõu 4. a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Chứng minh rằng nếu f(x) nhận 1 và -1 là nghiệm thỡ a và c là 2 số đối nhau. 2 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 3 2 y 3 2007 Cõu 5. Cho ABC vuụng tại A. M là trung điểm BC, trờn tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. Gọi I và K lần lượt là chõn đường vuụng gúc hạ từ B và C xuống AD, N là chõn đường vuụng gúc hạ từ M xuống AC. a) Chứng minh rằng BK = CI và BK//CI. b) Chứng minh KN < MC. c) ABC thỏa món thờm điều kiện gỡ để AI = IM = MK = KD. d) Gọi H là chõn đường vuụng gúc hạ từ D xuống BC. Chứng minh rằng cỏc đường thẳng BI, DH, MN đồng quy. ĐỀ SỐ 2: 219.273 15.49.94 Cõu1. (3 điểm) Rỳt gọn biểu thức A 69.210 1210 Cõu 2. (4 điểm) Chứng minh: P 3x 1 3x 2 3x 3 3x 100 120 (x N) 5 4 Cõu 3. (4 điểm) Cho hai hàm số y x và y x 4 5 a. Vẽ đồ thị 2 h/số trờn trờn cựng hệ trục tọa độ Oxy. b. CMR:đồ thị của hai h/số trờn vuụng gúc với nhau. 1 2 3 4 5 30 31 Bài 4: ( 2,5 điểm) Tỡm x biết:a. . . . . . 4 x 4 6 8 10 12 62 64 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 b. . 8 x ; c. 4x 3 - x 1 = 7 35 35 35 25 25
2. Cõu 5. (4,5điểm). Cho ∆ABC cõn, àA 100 . Gọi M là điểm nằm trong tam giỏc sao cho Mã BC 10 ,Mã CB 20 . Trờn tia đối của AC lấy điểm E sao cho CE = CB. a. Chứng minh: ∆BME đều. b. Tớnh ãAMB Cõu 6. (4,5điểm). Cho ∆ABC, trung tuyến BM. Trờn tia BM lấy I và K sao 2 cho BI BM và M là trung điểm của IK. Gọi N là trung điểm của KC. IN 3 1 cắt AC tại O. Chứng minh: a. O là trọng tõm của ∆IKC. b. IO BC . 3 ĐỀ SỐ 3: Cõu 1: ( 4 điểm). Tớnh: 5.415.99 4.320.89 a) A = ; 5.210.619 7.229.276 1 2 2 0 1 1 3 b) B = 0,1 . . 22 : 25 7 49 Cõu 2: ( 4 điểm) a) Tỡm cỏc số a, b, c biết: 2a = 3b, 5b = 7c và 3a - 7b + 5c = -30 a c 5a 3b 5c 3d b) Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng : b d 5a 3b 5c 3d Cõu 3: ( 4 điểm) Tỡm số x thỏa món: a) x 2012 x 2013 2014 x 3 2 2 b) 3 2 24 4 (2 1) Cõu 4: (6,0 điểm) Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC // BE b) Gọi I là một điểm trờn AC ; K là một điểm trờn EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết Hã BE = 50o ; Mã EB =25o . Tớnh Hã EM và Bã ME Cõu 5: (2,0 điểm) Tỡm x, y nguyờn biết: xy + 3x - y = 6 ĐỀ SỐ 4: 200 1000 1 1 Bài 1: a) So sỏnh hợp lý: và 16 2 3 10 9 b) Tớnh A =16 .3 120.6 46.312 611 c) Cho x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y =z
3. Bài 2: (1,5 Tỡm x biết: a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 x 1 x 2 x 3 x 4 c) x 3 8 20 d) 2009 2008 2007 2006 Bài 3: Tỡm cỏc số x, y, z biết : a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 x y z b) và x2 + y2 + z2 = 116 2 3 4 Bài 4 : a) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y ; x1, x 2 là hai giá trị bất kì 2 2 của x; y1, y2 là hai giá trị tương ứng của y.Tính y1, y2 biết y1 + y2 = 52 và x1- =2 , x 2= 3. b) Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c với a, b, c, d Z Biết f (1)3; f (0)3; f ( 1)3 .Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3 c) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 5: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kỡ thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hỡnh chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH = AI. b) BH2 + CI2 cú giỏ trị khụng đổi. c) Đường thẳng DN vuụng gúc với AC. d) IM là phõn giỏc của gúc HIC. Hết ĐỀ SỐ 5: 5 6 5 Cõu 1: Tỡm x biết a) : x b) 11 11 22 52 105 158 x 1 1 1 53 106 159 318 Cõu 2: 1 1 1 1 1 a) Cho A 1 1 1 1 . Hóy so sỏnh A với 2 3 4 200 199 1 1 1 b) Tớnh B 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 500) 2 3 500 Cõu 3: a) Tỡm ba số x, y, z biết 3x 2y;7y 5z và x y z 32 x y z b) Cho ba số x, y, z cú tổng khỏc 0 thỏa món điều kiện . y z x
4. x670.y670.z672 Tớnh giỏ trị biểu thức M y2012 Cõu 4: Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú A 1080 . O là một điểm nằm trờn tia phõn giỏc của gúc C sao cho CBO 120 . Vẽ tam giỏc đều BOM ( M và A nằm trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh rằng: a) Ba điểm C, A, M thẳng hàng b) Tam giỏc AOB cõn 1 1 1 1 1 1 Cõu 5: Chứng minh rằng tổng P nhỏ hơn 32 34 36 38 32006 32008 0,1 ĐÁP ÁN – ĐỀ 1 CÂU NỘI DUNG Cõu 1 a) (1,5đ) (4,5 3x 1 (1+5) = 162  3x 1 = 27 đ) => x-1= 3 => x = 4 b) (1,5đ) 3x +x2 = 0  x(3 + x) = 0 x=0 hoặc x= -3 c) (1,5đ) (x-1)(x-3) x-3 nờn x 1 0 (x-1)(x-3) 0 => a+b+c+d >0) 2b 2c 2d 2a 2b 2c 2d 2a 2 suy ra a = b = c= d Thay vào tớnh được P = 2 Cõu 3 a) (1,5đ) (3,0 Ta cú x + y + xy =2  x + 1 + y(x + 1) = 3 đ)  (x+1)(y+1)=3
5. CÂU NỘI DUNG Do x, y nguyờn nờn x + 1 và y + 1 phải là ước của 3. Lập bảng ta cú: x+1 1 3 -1 -3 Vậy y+1 3 1 -3 -1 cỏc cặp x 0 2 -2 -4 (x,y) y 2 0 -4 -2 là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2) b) (1,5 đ) Q =27 2x = 2+ 3 12 x 12 x A lớn nhất khi 3 lớn nhất 12 x * Xột x > 12 thỡ 3 0. Vỡ phõn số cú tử và mẫu là cỏc số dương, tử khụng 12 x đổi nờn phõn số cú giỏ trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. 12-x 0 3 Vậy để lớn nhất thỡ x Z  x = 11 12 x 12-x nhỏ nhất A cú giỏ trị lớn nhất là 5 khi x =11 Cõu 4 a) (2,0 đ) (4,0 Ta cú: đ) 1 là nghiệm của f(x) => f(1) = 0 hay a + b + c = 0 (1) -1 là nghiệm của f(x) => f(-1) = 0 hay a - b + c = 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra 2a + 2c = 0 => a + c = 0 => a = -c Vậy a và c là hai số đối nhau. b) (2,0 đ) 2 Ta cú x 3 2 2 ,x => x 3 2 4 . Dấu "=" xảy ra  x = 3 y 3 0 , y . Dấu "=" xảy ra  y = -3 2 Vậy P = x 3 2 y 3 2007 4 + 2007 = 2011. Dấu "=" xảy ra  x = 3 và y = -3 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P = 2011  x = 3 và y = -3
6. CÂU NỘI DUNG Cõu 5 (5,5 B đ) K D M H I A N C O' O a) (2,0 đ) - Chứng minh IBM = KCM => IM= MK - Chứng minh IMC = KMB => CI = BK và gúc MKB = gúc MIC => BK//CI b) (1,5 đ) Chỉ ra được AM = MC => AMC cõn tại M => đường cao MN đồng thời là đường trung tuyến của AMC => N là trung điểm AC 1 AKC vuụng tại K cú KN là trung tuyến => KN = AC 2 Mặt khỏc MC = 1 BC 2 1 1 Lại cú ABC vuụng tại A => BC > AC => BC > AC hay MC > KN 2 2 Vậy MC > KN (ĐPCM) c) (1,0 đ) Theo CM ý a IM = MK mà AM = MD (gt) => AI = KD Vậy để AI = IM = MK = KD thỡ cần AI = IM Mặt khỏc BI AM => khi đú BI vừa là trung tuyến, vừa là đường cao ABM => ABM cõn tại B (1) Mà ABC vuụng tại A, trung tuyến AM nờn ta cú ABM cõn tại M (2) Từ (1) và (2) ruy ra ABM đều => gúc ABM = 600 Vậy vuụng ABC cần thờm điều kiện gúc ABM = 600 d) (1,0 đ) Xảy ra 2 trường hợp: Trường hợp 1: Nếu I thuộc đoạn AM => H thuộc đoạn MC => BI và DH cắt tia MN.
7. CÂU NỘI DUNG Gọi O là giao điểm của BI và tia MN, O’ là giao điểm của DH và tia MN Dễ dàng chứng minh AIO = MHO’ => MO = MO’ => O  O’ Suy ra BI, DH, MN đồng quy. Trường hợp 2: Nếu I thuộc đoạn MD => H thuộc đoạn MB => BI và BH cắt tia đối của tia MN. Chứng minh tương tự trường hợp 1 Vậy BI, DH, MN đồng quy. (Học sinh cú thể sử dụng cỏc cỏch khỏc để CM: VD sử dụng tớnh chất đồng quy của 3 đường cao ) ĐÁP ÁN ĐỀ 3 Cõu Đỏp ỏn 10 9 1 a) A = = 15 7 8 1 1 b) B = 1 + 49. . 26 : 25 (4đ) 49 = 1 + 2 = 3. a b a b a) Vỡ 2a = 3b (1) 3 2 21 14 b c b c 5b = 7c (2) 7 5 14 10 Từ (1) và (2) suy ra: a b c 3a 7b 5c 3a 7b 5c 21 14 10 63 98 50 63 98 50 a b c 30 2 2 21 14 10 15 (4đ) a 42,b 28,c 20 a c b) Đặt k a = kb, c = kd . b d 5a 3b b(5k 3) 5k 3 5c 3d d(5k 3) 5k 3 Suy ra : và 5a 3b b(5k 3) 5k 3 5c 3d d(5k 3) 5k 3 5a 3b 5c 3d Vậy 5a 3b 5c 3d 2011 3 a) Nếu x 2012 từ (1) suy ra : 2012 – x + 2013 – x = 2014 x = ( (4đ) 2 thỏa món điều kiện) Nếu 2012 x < 2013 từ (1) suy ra : x – 2012 + 2013 – x = 2014 hay 1 = 2014 (loại) Nếu x 2013 từ (1) suy ra : x – 2012 + x – 2013 6039 = 2014 x = ( thỏa món điều kiện) 2 Vậy giỏ trị x là : 2011 hoặc 6039 2 2
8. b)3 + 2x-3 = 24 - [16 - (4 - 1)] 3 + 2x-3 = 24 - [16 - 3 ] 3 + 2x-3 = 24 - 13 3 + 2x-3 = 11 2x-3 = 8 = 23 x - 3 = 3 x = 6. Vậy x = 6 a) Xột AMC và EMB cú : AM = EM (gt ) ãAMC = Eã MB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nờn : AMC = EMB (c.g.c ) Mã AC = Mã EB Suy ra AC // BE (cú 2 gúc cú vị trớ so le trong bằng nhau) b)Xột AMI và EMK cú : AM = EM (gt ) Mã AI = Mã EK ( vỡ AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nờn AMI EMK ( c.g.c ) Suy ra ãAMI = Eã MK Mà ãAMI + IãME = 180o ( hai gúc kề bự ) Eã MK + IãME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c) Trong tam giỏc vuụng BHE ( Hà = 90o ) cú Hã BE = 50o Hã EB = 90o - Hã BE = 90o - 50o =40o Hã EM = Hã EB - Mã EB = 40o - 25o = 15o 4 (6đ) Bã ME là gúc ngoài tại đỉnh M của HEM Nờn Bã ME = Hã EM + Mã HE = 15o + 90o = 105o ( định lý gúc ngoài của tam giỏc ) 5 x( y + 3) – ( y +3) = 3 (2đ) (x -1)( y + 3) = 3 x 1 1 x 1 3 ; y 3 3 y 3 1 Cỏc cặp ( x;y) là: ( 2;0), ( 0;-6), ( 4;-2), (-2;-4) Đáp án Đề 2 Cõu1: (3 điểm)
9. 219.273 15.49.94 219.39 3.5.218.38 218.39.(2 5) 1 A 69.210 1210 29.39.210 (22.3)10 219.39.(1 6) 2 Cõu 2: 4 điểm. (Phõn tớch đỳng 1 bước 1điểm) P 3x 1 3x 2 3x 3 3x 4 3x 5 3x 6 3x 7 3x 8 3x 97 3x 98 3x 99 3x 100 3x. 3 32 33 34 3x 4. 3 32 33 34 3x 96. 3 32 33 34 3x.120 3x 4.120 3x 96.120 120. 3x 3x 4 3x 96 120 Cõu 3: 4 điểm. Vẽ đồ thị 1điểm x 0 4 x 0 5 5 4 y x 0 5 y x 0 -4 4 5 a) (mỗi bảng 0,25điểm) 5 Đồ thị y x là đường thẳng qua điểm O(0;0) và điểm A(4;5) (0,25điểm) 4 4 Đồ thị y x là đường thẳng qua điểm O(0;0) và điểm B(5;-4) 5 (0,25điểm) y b) Cần chứng minh OA  OB 5 A Xột ∆OMA và ∆ONB cú: M OM ON 5 Mả Nà 90  OMA ONB (c.g.c) (1điểm) MA NB 4  ã ã  AOM BON N  Bã OA Bã ON ãAON 90 O ã ã (1điểm) 5 mà AOM AON 90  4 x Vậy OA  OB -4 Cõu 4: 4,5 điểm B a) Chứng minh ∆BME đều ∆ABC cõn (gt), àA 100 ãABC Cà 40 (0,25đ) CB CE BCE cõn tại C (0,25đ) Cà 40 Bã EC Eã BC 70 (0,25đ) Eã BM Eã BC Mã BC 70 10 60 (1) (0,25đ) Mã CE Bã CE Mã CB 40 20 20 (0,25đ)
10. CE CB  E Vỡ Mã CE Mã CB 20  MCE MCB (c.g.c) (1đ) CM chung A  ME MB EMB cõn tại M (2) (0,25đ) Từ (1) và (2) BME đều. (0,25đ) M 0 0 b) ãABM ãABC Mã BC 40 10 30 (0,25đ) B 10 20 C ãABE Eã BM ãABM 60 30 30 (0,25đ) BE BM  ãABE ãABM 30 ABE ABM (c.g.c) Vỡ  (1,25đ) BM chung  ãAMB ãAEB 70 5. a) ∆IKC cú MI =MK và NK= NC (gt) (0,5đ) A Nờn CM và IN là hai trung tuyến. (0,25đ) Mà CM cắt IN tại O nờn O là trọng tõm. (0,25đ) b) ∆AMI và ∆CMK cú MI = MK (gt) (0,25đ) K Mả Mả (đđ); MA = MC (gt) (0,5đ) M 1 2 1 2 1 Nờn ∆AMI = ∆CMK (c.g.c) (0,25đ) I N à à o K I1 và AI = KC (1) (0,25đ) 2 1 ∆ABC cú I là trọng tõm IE AI (2) (0,25đ) E C 2 B 1 Mặt khỏc KN KC (3) (0,25đ) 2 Từ (1), (2) và (3) KN = IE (0,25đ) ∆IBE và ∆KIN cú KN = IE (cmt) (0,25đ) à à à K I2 ( I1) ; IB =IK (0,25đ) Nờn ∆IBE = ∆KIN (c.g.c) (0,25đ) 1 1 IN BE mà BE BC IN BC (4) (0,25đ) 2 2 2 ∆IKC cú O là trọng tõm nờn IO IN (5) (0,25đ) 3 2 1 1 Từ (4) và (5) IO . BC BC (0,25đ) 3 2 3