24 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Nguyễn Thành Chung

Nội dung text: 24 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Nguyễn Thành Chung

1. Tuyển tập đề thi HSG huyện Tốn 8 ĐỀ SỐ 1 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) 2 x 4x2 2 x x2 3x Cho biểu thức : A ( ) : ( ) 2 x x2 4 2 x 2x2 x3 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1 . a b c x y z a2 b2 c2 Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD cĩ đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đĩ ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. ĐỀ SỐ 2 Câu 1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: x4 4 ; x 2 x 3 x 4 x 5 24 b. Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 0 a b c a2 b2 c2 c. Cho 1 . Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b 2 x 2 1 10 x Câu 2. Cho biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết x = . 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A cĩ giá trị nguyên. Câu 3. Cho hình vuơng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME AB, MF AD. a. Chứng minh: DE CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 4. 1 1 1 a. Cho 3 số dương a, b, c cĩ tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c b. Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 . Tính : a2011 + b2011 Nguyễn Thành Chung 1 Trường THCS Kỳ Ninh
2. Tuyển tập đề thi HSG huyện Tốn 8 ĐỀ SỐ 3 3 2 Câu 1 : (2 điểm) Cho P= a 4a a 4 a 3 7a 2 14a 8 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên Câu 2 : (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3. b) Tìm các giá trị của x để biểu thức : P = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) cĩ giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ . Câu 3 : (2 điểm) 1 1 1 1 a) Giải phương trình : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : a b c A = 3 b c a a c b a b c Câu 4 : (3 điểm) Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một gĩc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luơn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh : 2 a) BD.CE= BC 4 b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các gĩc BDE và CED. c) Chu vi tam giác ADE khơng đổi. Câu 5 : (1 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuơng cĩ số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi . ĐỀ SỐ 4 Câu 1 (2đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A a 1 a 3 a 5 a 7 15 Câu 2 (2đ): Với giá trị nào của a và b thì đa thức: x a x 10 1 phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất cĩ các hệ số nguyên Câu 3 (1đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4 3x3 ax b chia hết cho đa thức B(x) x2 3x 4 Câu 4 (3đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của gĩc AHB và phân giác Hy của gĩc AHC. Kẻ AD vuơng gĩc với Hx, AE vuơng gĩc Hy. Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuơng Câu 5 (2đ): Chứng minh rằng 1 1 1 1 P 1 22 32 44 1002 Nguyễn Thành Chung 2 Trường THCS Kỳ Ninh
3. Tuyển tập đề thi HSG huyện Tốn 8 ĐỀ SỐ 5 Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bài 2: (2 điểm) x 241 x 220 x 195 x 166 Giải phương trình: 10 . 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 Tìm x biết: . 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Bài 4: (3 điểm) 2010x 2680 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . x2 1 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuơng tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuơng. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: A· FE B· FD, B· DF C· DE, C· ED A· EF . a) Chứng minh rằng: B· DF B· AC . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD. ĐỀ SỐ 6 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: x 17 x 21 x 1 a) x2 – 4x + 4 = 25 b) 4 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1990 1986 1004 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đơi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của gĩc AIC và gĩc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. (AB BC CA) 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA'2 BB'2 CC'2 Nguyễn Thành Chung 3 Trường THCS Kỳ Ninh
4. Tuyển tập đề thi HSG huyện Tốn 8 ĐỀ SỐ 7 Bài 1 (4 điểm) 1 x3 1 x2 x : Cho biểu thức A = 2 3 với x khác -1 và 1. 1 x 1 x x x a, Rút gọn biểu thức A. 2 b, Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 . 3 c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm) 2 2 2 Cho a b b c c a 4. a2 b2 c2 ab ac bc .Chứng minh rằng a b c . Bài 3 (3 điểm) Giải bài tốn bằng cách lập phương trình. Một phân số cĩ tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đĩ. Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 2a3 3a2 4a 5 . Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ gĩc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) cĩ hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b, Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c, Biết SAOB= 2008 (đơn vị diện tích); SCOD= 2009 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. ĐỀ SỐ 8 2 2 2 a2 (b c)2 Bài 1: Cho x = b c a ; y = . Tính giá trị P = x + y + xy 2bc (b c)2 a2 1 1 1 1 Bài 2: Giải phương trình: a) (x là ẩn số) a b x a b x 2 2 2 b) (b c)(1 a) + (c a)(1 b) + (a b)(1 c) = 0 x a2 x b2 x c2 (a,b,c là hằng số và đơi một khác nhau) Bài 3: Xác định các số a, b biết: (3x 1) = a + b (x 1)3 (x 1)3 (x 1)2 Bài 4: Chứng minh phương trình:2x2 – 4y = 10 khơng cĩ nghiệm nguyên. Bài 5: Cho ABC; AB = 3AC. Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C Nguyễn Thành Chung 4 Trường THCS Kỳ Ninh
5. Tuyển tập đề thi HSG huyện Tốn 8 ĐỀ SỐ 9 2 1 1 1 x 1 Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức: A 3 1 2 2 1 : 3 x 1 x x 2x 1 x x a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị của x để A<1 c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acĩ giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hãy tính x2 + y2 Bài 3 (1,5 điểm): Cho đa thức P(x) = x2 + bx + c, trong đĩ b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức x4 + 6x2 + 25 và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1) Bài 4 (3,5 điểm): Cho hình chữ nhật cĩ AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuơng gĩc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM. a/ Tính số đo gĩc DBK. b/ Gọi F là chân đường vuơng gĩc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng. Bài 5 (1 điểm): Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6. ĐỀ SỐ 10 1 3 x 2 1 Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức A : 2 2 3 x 3x 27 3x x 3 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < -1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x 3 x 6 x 1 1 . 1 6y 2 3 2 a) b) x 2 4 3 3y 2 10y 3 9y 2 1 1 3y 2 2 Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, một xe máy và một ơ tơ cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ơ tơ cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy? Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB và N AD). Chứng minh: a) BD // MN. b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC. Bài 5: (1 điểm) Cho a = 11 1 (2n chữ số 1), b = 44 4 (n chữ số 4). Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương. Nguyễn Thành Chung 5 Trường THCS Kỳ Ninh
6. Tuyển tập đề thi HSG huyện Tốn 8 ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (2điểm) 3x 2 y 1 a) Cho x 2 2xy 2y2 2x 6y 13 0 . Tính N 4xy b) Nếu a, b, c là các số dương đơi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dương: A a3 b3 c3 3abc Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì: a b b c c a c a b A 9 c a b a b b c c a Bài 3: (2 điểm) Một ơ tơ phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Tính thời gian ơ tơ đi trên quãng đường AB biết người đĩ đến B đúng giờ. Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuơng ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuơng gĩc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N. a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi. b) Chứng minh chi vi tam giác CME khơng đổi khi E chuyển động trên BC Bài 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6 +3x2 +1 = y4. ĐỀ SỐ 12 Bài 1: Phân tích thành nhân tử: a) (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b) 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Bài 2: a) Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4 b) Cho a, b, c 0. Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011 2 2 2 2 2 2 Biết x , y, z thoả mãn: x y z = x +y + z a2 b2 c2 a2 b2 c2 Bài 3: 1 1 4 a) Cho a, b > 0. CMR: + a b a b a d d b b c c a b) Cho a, b, c, d > 0. CMR: + + + 0 d b b c c a a d Bài 4: x2 xy y2 a) Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > 0 x2 xy y2 b) Tìm giá trị lớn nhất: M = x với x > 0 (x 1995)2 Bài 5: a) Tìm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y b) Tìm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2 Bài 6: Cho VABC M là một điểm miền trong của VABC . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D. a) CMR: AB’A’B là hình bình hành. b) CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’ Nguyễn Thành Chung 6 Trường THCS Kỳ Ninh
7. Tuyển tập đề thi HSG huyện Tốn 8 ĐỀ SỐ 13 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a(b c) 2 (b c) b(c a) 2 (c a) c(a b) 2 (a b) 1 1 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 0 a b c 1 1 1 Rút gọn biểu thức: N a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 2 y 2 xy x y 1 b) Giải phương trình: (y 4,5) 4 (y 5,5) 4 1 0 Bài 3: (2điểm) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đĩ gặp một ơ tơ, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ơ tơ đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB. Bài 4: (3điểm) Cho hình vuơng ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuơng gĩc với AB và AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuơng gĩc với nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF cĩ diện tích lớn nhất. Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:3x 2 5y 2 345 ĐỀ SỐ 14 Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x5 + x +1 b) x4 + 4 c) xx – 3x + 4x – 2 với x 0 Bài 2 : (1,5điểm) a b 2c Cho abc = 2. Rút gọn biểu thức: A ab a 2 bc b 1 ac 2c 2 Bài 3: (2điểm) ab Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0. Tính: P 4a 2 b 2 Bài 4 : (3điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : A· NB A· CB ? d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ABC để cho AEMF là hình vuơng. Bài 5: (1điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23. Nguyễn Thành Chung 7 Trường THCS Kỳ Ninh
8. Tuyển tập đề thi HSG huyện Tốn 8 ĐỀ SỐ 15 Bài 1: (2 điểm) 2x 3 7x 2 12x 45 a) Phân tích thành thừa số: (a b c)3 a 3 b3 c 3 b) Rút gọn: 3x 3 19x 2 33x 9 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: A n3 (n 2 7) 2 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n. Bài 3: (2 điểm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mình thì máy bơm A hút hết nước trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đĩ mới dùng đến máy bơm B. Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước. b) Giải phương trình: 2 x a x 2a 3a (a là hằng số). Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuơng tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB cĩ chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuơng gĩc với AB. Đường thẳng vuơng gĩc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N. a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN. b) So sánh hai tam giác ABC và INC. c) Chứng minh: gĩc MIN = 900. d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đơi diện tích ∆ABC. Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng số: 22499    9100    .09 là số chính phương. (n 2 ). n-2 sè 9 n sè 0 ĐỀ SỐ 16 Câu 1 : ( 2 điểm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu 2 : ( 4 điểm ) Định a và b để đa thức A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác . x2 6 1 10 x2 : x 2 Câu 3 : ( 4 điểm ) Cho biểu thức : P = 3 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Rút gọn P . b) Tính giá trị của biểu thức P khi | x | = 3 4 c) Với giá trị nào của x thì P = 7 d) Tìm giá trị nguyên của x để P cĩ giá trị nguyên. Câu 4 : ( 3 điểm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Câu 5 : ( 3điểm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm) Câu 6 : ( 4 điểm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất . Nguyễn Thành Chung 8 Trường THCS Kỳ Ninh
9. Tuyển tập đề thi HSG huyện Tốn 8 ĐỀ SỐ 17 Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: a) x2 7x 6 b) x4 2008x2 2007x 2008 Bài 2: (2điểm) Giải phương trình: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 a)x 3x 2 x 1 0 b) 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x Bài 3: (2điểm) 1 1 1 a) CMR với a,b,c,là các số dơng ,ta cĩ: (a+b+c)( ) 9 a b c b) Tìm số d trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho đa thức x2 10x 21. Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuơng tại A (AC > AB), đờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuơng gĩc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB . b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của gĩc AHM GB HD c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . BC AH HC ĐỀ SỐ 18 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x2 Bài 1 (6điểm): Cho biểu thức: P = 2 2 : 2 1 4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3 1 a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x 2 c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. d) Tìm x để P > 0. Bài 2 (3điểm):Giải phương trình: 148 x 169 x 186 x 199 x a) 15x 1 1 b) 10 c) x 2 3 5 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 25 23 21 19 Bài 3 (2điểm): Giải bài tốn bằng cách lập phương trình: Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của ngời đĩ. Bài 4 (7điểm): Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P. a) Tứ giác AMDB là hình gì? b) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm P. PD 9 d) Giả sử CP  BD và CP = 2,4 cm, . Tính các cạnh của hình chữ nhật PB 16 ABCD. Bài 5 (2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010 1 1 2 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 x 2 1 y 2 1 xy Nguyễn Thành Chung 9 Trường THCS Kỳ Ninh
10. Tuyển tập đề thi HSG huyện Tốn 8 ĐỀ SỐ 19 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . x y 2 x y c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng : 0 y 3 1 x 3 1 x 2 y 2 3 Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuơng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuơng cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2đ) Cho tam giác ABC vuơng cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE cĩ độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC cĩ diện tích nhỏ nhất. ĐỀ SỐ 20 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – 7 4x 2 16 A Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng: x 2 2 x Bài 3: Cho phân thức: 5x 5 2x 2 2x a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định. b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1. Bài 4: x 2 1 2 a) Giải phương trình : x 2 x x(x 2) b) Giải bất phương trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3 Bài 5: Giải bài tốn sau bằng cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đĩ sản xuất đợc 57 sản phẩm. Do đĩ đã hồn thành trớc kế hoạch một ngày và cịn vợt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày. Bài 6: Cho ∆ ABC vuơng tại A, cĩ AB = 15 cm, AC = 20 cm. Kẻ đờng cao AH và trung tuyến AM. a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) Tính : BC; AH; BH; CH ? c) Tính diện tích ∆ AHM ? Nguyễn Thành Chung 10 Trường THCS Kỳ Ninh
11. Tuyển tập đề thi HSG huyện Tốn 8 ĐỀ SỐ 21 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: x 17 x 21 x 1 a) x2 – 4x + 4 = 25 b) 4 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1990 1986 1004 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đơi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của gĩc AIC và gĩc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB BC CA)2 c) Chứng minh rằng: 4 . AA'2 BB'2 CC'2 ĐỀ SỐ 22 Câu 1: (5điểm) Tìm số tự nhiên n để: a) A = n3 – n2+n – 1 là số nguyên tố. 4 3 2 b) B =n 3n 2n 6n 2 Cĩ giá trị là một số nguyên. n 2 2 c) D = n5 – n + 2 là số chính phương. (n 2) Câu 2: (5điểm) Chứng minh rằng : a b c a) 1 biết abc = 1 ab a 1 bc b 1 ac c 1 b) Với a + b + c = 0 thì a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 a 2 b 2 c 2 c b a c) b 2 c 2 a 2 b a c Câu 3: (5điểm) Giải các phương trình sau: x 214 x 132 x 54 a) 6 b) 2x(8x – 1)2(4x – 1) = 9 86 84 82 c) x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = 0 với x, y nguyên dương. Câu 4: (5điểm). Cho hình thang ABCD (AB//CD), 0 là giao điểm hai đường chéo.Qua 0 kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E,cắt BCtại F. a) Chứng minh :Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC. 1 1 2 b) Chứng minh: AB CD EF c) Gọi Klà điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua Kvà chia đơi diện tích tam giác DEF. Nguyễn Thành Chung 11 Trường THCS Kỳ Ninh
12. Tuyển tập đề thi HSG huyện Tốn 8 ĐỀ SỐ 23 Câu 1: Tìm x, biết: 3x x 3x a) x2 12x 36 81 b) 0 x 2 5 x (x 2)(x 5) Câu 2: a) Với n là số nguyên dương. Hãy tìm ước chung của hai số : 21n 4 và 14n 3 1 b) Cho các số a, b thõa mãn điều kiện : a 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : b a b S . b a Câu 3 : a) Cho hàm số : f(x) xác định x 0 thõa mãn : f (1) 1 1 1 5 f ( ) 2 . f (x) Tính f ( ) x x 7 f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 1 1 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng, nếu : 3 và a b c abc thì ta cĩ 7 a b c a2 b2 c2 Câu 4 : Cho hình vuơng ABCD. M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB;MF  AD a) Chứng minh : DE=CF và DE  CF b) Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF và CM đồng quy. c) Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 5 : Chứng minh rằng : p n2 3n 5 khơng chia hết cho 121 với mọi số tự nhiên n. ĐỀ SỐ 24 x3 + x Bài 1: Cho biểu thức P = 1 2x3 - x 2 + 2x -1 1 a) Rút gọn biểu thức P. b) Với các giá trị nào của x thì P . 2 Bài 2:a) Giải phương trình: x3 – 2x + 1 = 0. b) Cho đa thức f(x) = 2x3 + x2 – 2x + 2011. Hãy tìm 3 giá trị khác nhau của x mà tại đĩ giá trị của f(x) bằng nhau và bằng 2012. 2a 2b 2c Bài 3: Cho 3 số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = . b + c a + c a + b Tính giá trị của biểu thức P = a2012 + b2012 + c2012. Bài 4: Cho các số a, b, c thỏa mãn: a(a – b) + b(b – c) + c(c – a) = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a3 + b3 + c3 – 3abc + 3ab – 3c + 5. Bài 5: Cho tam giác ABC vuơng cân tại A, đường cao AH. Gọi K là hình chiếu vuơng gĩccủa H trên cạnh AC; O là trung điểm của HK. BK cắt AO và AH thứ tự tại M và N; AH cắt OB tại P. MK 1) Tính giá trị của tỉ số . MB 2) Chứng minh rằng: a) Tam giác BKC đồng dạng với tam giác AOH. b) OA vuơng gĩc với BK. c) ON đi qua trung điểm của MP. Nguyễn Thành Chung 12 Trường THCS Kỳ Ninh