24 Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

117 trang dichphong 4780

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "24 Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

24_chuyen_de_luyen_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_8.doc

Nội dung text: 24 Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 + Caùc soá coù chöõ soá taän cuøng laø 3 khi naâng leân luyõ thöøa baäc 4n + 3 (n N) thì chöõ soá taän cuøng laø 7; Caùc soá coù chöõ soá taän cuøng laø 7 khi naâng leân luyõ thöøa baäc 4n + 3 (n N) thì chöõ soá taän cuøng laø 3 + Caùc soá coù chöõ soá taän cuøng laø 2 khi naâng leân luyõ thöøa baäc 4n + 3 (n N) thì chöõ soá taän cuøng laø 8; Caùc soá coù chöõ soá taän cuøng laø 8 khi naâng leân luyõ thöøa baäc 4n + 3 (n N) thì chöõ soá taän cuøng laø 2 + Caùc soá coù chöõ soá taän cuøng laø 0; 1; 4; 5; 6; 9 khi naâng leân luyõ thöøa baäc 4n + 3 (n N) thì chöõ soá taän cuøng laø khoâng ñoåi 2. Moät soá phöông phaùp: + Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa x = am thì ta xeùt chöõ soá taän cuøng cuûa a: - Neáu chöõ soá taän cuøng cuûa a laø caùc chöõ soá: 0; 1; 5; 6 thì chöõ soá taän cuøng cuûa x laø 0; 1; 5; 6 - Neáu chöõ soá taän cuøng cuûa a laø caùc chöõ soá: 3; 7; 9 thì : * Vì am = a4n + r = a4n . ar Neáu r laø 0; 1; 2; 3 thì chöõ soá taän cuøng cuûa x laø chöõ soá taän cuøng cuûa ar Neáu r laø 2; 4; 8 thì chöõ soá taän cuøng cuûa x laø chöõ soá taän cuøng cuûa 6.ar B. Moät soá ví duï: Baøi 1: Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa a) 2436 ; 1672010 9 14 6 7 b) 79 ; 1414 ; 45 Giaûi a) 2436 = 2434 + 2 = 2434. 2432 2 6 243 coù chöõ soá taän cuøng laø 9 neân chöõ soá taän cuøng cuûa 243 laø 9 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Ta coù 2010 = 4.502 + 2 neân 1672010 = 1674. 502 + 2 = 1674.502.1672 1674.502 coù chöõ soá taän cuøng laø 6; 1672 coù chöõ soá taän cuøng laø 9 neân chöõ soá taän cuøng cuûa 1672010 laø chöõ soá taän cuøng cuûa tích 6.9 laø 4 b) Ta coù: 9 +) 99 - 1 = (9 – 1)(98 + 97 + + 9 + 1) = 4k (k N) 99 = 4k + 1 79 = 74k + 1 = 74k.7 neân coù chöõ soá taän cuøng laø 7 1414 = (12 + 2)14 = 1214 + 12.1413.2 + + 12.12.213 + 214 chia heát cho 4, vì caùc haïng töû tröôùc 214 ñeàu coù nhaân töû 12 neân chia heát cho 4; haïng töû 214 = 47 chia heát cho 4 hay 14 1414 = 4k 1414 = 144k coù chöõ soá taän cuøng laø 6 7 +) 56 coù chöõ soá taän cuøng laø 5 neân 56 = 5.(2k + 1) 5.(2k + 1) – 1 = 4 q (k, q N) 6 7 5.(2k + 1) = 4q + 1 45 = 44q + 1 = 44q . 4 coù chöõ soá taän cuøng laø chöõ soá taän cuøng tích 6. 4 laø 4 Baøi 2: Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa 1 5 9 13 8009 A = 2 + 3 + 4 + 5 + + 2004 Giaûi a) Luyõ thöøa cuûa moïi soá haïng cuûa A chia 4 thì dö 1(Caùc soá haïng cuûa A coù daïng n4(n – 2) + 1 (n {2; 3; ; 2004} ) neân moïi soá haïng cuûa A vaø luyõ thöøa cuûa noù coù chöõ soá taän cuøng gioáng nhau (Tính chaát 2) neân chöõ soá taän cuøng cuûa A laø chöõ soá taän cuøng cuûa toång caùc soá haïng Töø 2 ñeán 2004 coù 2003 soá haïng trong ñoù coù 2000 : 10 = 200 soá haïng coù chöõ soá taän cuøng baèng 0,Toång caùc chöõ soá taän cuøng cuûa A laø (2 + 3 + + 9) + 199.(1 + 2 + + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 9009 coù chöõ soá taän cuøng laø 9 Vaây A coù chöõ soá taän cuøng laø 9 Baøi 3: Tìm TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 7 a) Hai chöõ soá taän cuøng cuûa 3999; 77 b) Ba chöõ soá taän cuøng cuûa 3100 c) Boán chöõ soá taän cuøng cuûa 51994 Giaûi 999 998 499 499 499 498 a) 3 = 3.3 =3. 9 = 3.(10 – 1) = 3.(10 – 499.10 + +499.10 – 1) = 3.[BS(100) + 4989] = 67 7 77 = (8 – 1)7 = BS(8) – 1 = 4k + 3 77 = 74k + 3 = 73. 74k = 343.( 01)4k = 43 50.49 b) 3100 = 950 = (10 – 1)50 = 1050 – 50. 1049 + + . 102 – 50.10 + 1 2 49 = 1050 – 50. 1049 + + . 5000 – 500 + 1 = BS(1000) + 1 = 001 2 Chuù yù: + Neáu n laø soá leû khoâng chi heát cho 5 thì ba chöõ soá taän cuøng cuûa n100 laø 001 + Neáu moät soá töï nhieân n khoâng chia heát cho 5 thì n100 chia cho 125 dö 1 HD C/m: n = 5k + 1; n = 5k + 2 + Neáu n laø soá leû khoâng chia heát cho 5 thì n101 vaø n coù ba chöõ soá taän cuøng nhö nhau c) Caùch 1: 54 = 625 Ta thaáy soá ( 0625)n = 0625 51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(0625)k = 25.( 0625) = 5625 Caùch 2: Tìm soá dö khi chia 51994 cho 10000 = 24. 54 Ta thaáy 54k – 1 chia heát cho 54 – 1 = (52 – 1)(52 + 1) chia heát cho 16 Ta coù: 51994 = 56. (51988 – 1) + 56 Do 56 chia heát cho 54, coøn 51988 – 1 chia heát cho 16 neân 56(51988 – 1) chia heát cho 10000 6 Ta coù 5 = 15625 Vaäy boán chöõ soá taän cuøng cuûa 51994 laø 5625 Chuù yù: Neáu vieát 51994 = 52. (51992 – 1) + 52 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Ta coù: 51992 – 1 chia heát cho 16; nhöng 52 khoâng chia heát cho 54 Nhö vaäy trong baøi toaùn naøy ta caàn vieát 51994 döôùi daïng 5n(51994 – n – 1) + 5n ; n 4 vaø 1994 – n chia heát cho 4 C. Vaän duïng vaøo caùc baøi toaùn khaùc Baøi 1: Chöùng minh raèng: Toång sau khoâng laø soá chính phöông a) A = 19k + 5k + 1995k + 1996k ( k N, k chaün) b) B = 20042004k + 2001 Giaûi a) Ta coù: 19k coù chöõ soá taän cuøng laø 1 5k coù chöõ soá taän cuøng laø 5 1995k coù chöõ soá taän cuøng laø 5 1996k coù chöõ soá taän cuøng laø 6 Neân A coù chöõ soá taän cuøng laø chöõ soá taän cuøng cuûa toång caùc chöõ soá taän cuøng cuûa toång 1 + 5 + 5 + 6 = 17, coù chöõ soá taän cuøng laø 7 neân khoâng theå laø soá chính phöông b) Ta coù :k chaün neân k = 2n (n N) 20042004k = (20044)501k = (20044)1002n = ( 6)1002n laø luyõ thöøa baäc chaün cuûa soá coù chöõ soá taän cuøng laø 6 neân coù chöõ soá taän cuøng laø 6 neân B = 20042004k + 2001 coù chöõ soá taän cuøng laø 7, do ñoù B khoâng laø soá chính phöông Baøi 2: Tìm soá dö khi chia caùc bieåu thöùc sau cho 5 a) A = 21 + 35 + 49 + + 20038005 b) B = 23 + 37 +411 + + 20058007 Giaûi TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 a) Chöõ soá taän cuøng cuûa A laø chöõ soá taän cuøng cuûa toång (2 + 3 + + 9) + 199.(1 + 2 + + 9) + 1 + 2 + 3 = 9005 Chöõ soá taän cuøng cuûa A laø 5 neân chia A cho 5 dö 0 b)Töông töï, chöõ soá taän cuøng cuûa B laø chöõ soá taän cuøng cuûa toång (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + + 9) + 8 + 7 + 4 + 5 = 9024 B coù chöõ soá taän cuøng laø 4 neân B chia 5 dö 4 Baøi taäp veà nhaø 5 Baøi 1: Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa: 3102 ; 73 ; 320 + 230 + 715 - 816 9 Baøi 2: Tìm hai, ba chöõ soá taän cuøng cuûa: 3555 ; 27 Baøi 3: Tìm soá dö khi chia caùc soá sau cho 2; cho 5: a) 38; 1415 + 1514 b) 20092010 – 20082009 CHUYEÂN ÑEÀ 9 – ÑOÀNG DÖ A. Ñònh nghóa: Neáu hai soá nguyeân a vaø b coù cuøng soá dö trong pheùp chia cho moät soá töï nhieân m 0 thì ta noùi a ñoàng dö vôùi b theo moâñun m, vaø coù ñoàng dö thöùc: a  b (mod m) Ví duï:7  10 (mod 3) , 12  22 (mod 10) + Chuù yù: a  b (mod m) a – b  m B. Tính chaát cuûa ñoàng dö thöùc: 1. Tính chaát phaûn xaï: a  a (mod m) 2. Tính chaát ñoãi xöùng: a  b (mod m) b  a (mod m) 3. Tính chaát baéc caàu: a  b (mod m), b  c (mod m) thì a  c (mod m) TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 a  b (mod m) 4. Coäng , tröø töøng veá: a c  b d (mod m) c  d (mod m) Heä quaû: a) a  b (mod m) a + c  b + c (mod m) b) a + b  c (mod m) a  c - b (mod m) c) a  b (mod m) a + km  b (mod m) a  b (mod m) 5. Nhaân töøng veá : ac  bd (mod m) c  d (mod m) Heä quaû: a) a  b (mod m) ac  bc (mod m) (c Z) b) a  b (mod m) an  bn (mod m) 6. Coù theå nhaân (chia) hai veá vaø moâñun cuûa moät ñoàng dö thöùc vôùi moät soá nguyeân döông a  b (mod m) ac  bc (mod mc) Chaúng haïn: 11  3 (mod 4) 22  6 (mod 8) ac  bc (mod m) 7. a  b (mod m) (c, m) = 1 16  2 (mod 7) Chaúng haïn : 8  1 (mod 7) (2, 7) = 1 C. Caùc ví duï: 1. Ví duï 1: Tìm soá dö khi chia 9294 cho 15 Giaûi Ta thaáy 92  2 (mod 15) 9294  294 (mod 15) (1) Laïi coù 24  1 (mod 15) (24)23. 22  4 (mod 15) hay 294  4 (mod 15) (2) Töø (1) vaø (2) suy ra 9294  4 (mod 15) töùc laø 9294 chia 15 thì dö 4 2. Ví duï 2: TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Chöùng minh: trong caùc soá coù daïng 2n – 4(n N), coù voâ soá soá chia heát cho 5 Thaät vaäy: Töø 24  1 (mod 5) 24k  1 (mod 5) (1) Laïi coù 22  4 (mod 5) (2) Nhaân (1) vôùi (2), veá theo veá ta coù: 24k + 2  4 (mod 5) 24k + 2 - 4  0 (mod 5) Hay 24k + 2 - 4 chia heát cho 5 vôùi moïi k = 0, 1, 2, hay ta ñöôïc voâ soá soá daïng 2n – 4 (n N) chia heát cho 5 Chuù yù: khi giaûi caùc baøi toaùn veà ñoàng dö, ta thöôøng quan taâm ñeán a  1 (mod m) a  1 (mod m) an  1 (mod m) a  -1 (mod m) an  (-1)n (mod m) 3. Ví duï 3: Chöùng minh raèng a) 2015 – 1 chia heát cho 11 b) 230 + 330 chi heát cho 13 c) 555222 + 222555 chia heát cho 7 Giaûi a) 25  - 1 (mod 11) (1); 10  - 1 (mod 11) 105  - 1 (mod 11) (2) Töø (1) vaø (2) suy ra 25. 105  1 (mod 11) 205  1 (mod 11) 205 – 1  0 (mod 11) b) 26  - 1 (mod 13) 230  - 1 (mod 13) (3) 33  1 (mod 13) 330  1 (mod 13) (4) Töø (3) vaø (4) suy ra 230 + 330  - 1 + 1 (mod 13) 230 + 330  0 (mod 13) Vaäy: 230 + 330 chi heát cho 13 c) 555  2 (mod 7) 555222  2222 (mod 7) (5) 23  1 (mod 7) (23)74  1 (mod 7) 555222  1 (mod 7) (6) 222  - 2 (mod 7) 222555  (-2)555 (mod 7) Laïi coù (-2)3  - 1 (mod 7) [(-2)3]185  - 1 (mod 7) 222555  - 1 (mod 7) Ta suy ra 555222 + 222555  1 - 1 (mod 7) hay 555222 + 222555 chia heát cho 7 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 4n + 1 4. Ví duï 4: Chöùng minh raèng soá 22 + 7 chia heát cho 11 vôùi moïi soá töï nhieân n Thaät vaäy:Ta coù: 25  - 1 (mod 11) 210  1 (mod 11) Xeùt soá dö khi chia 24n + 1 cho 10. Ta coù: 24  1 (mod 5) 24n  1 (mod 5) 2.24n  2 (mod 10) 24n + 1  2 (mod 10) 24n + 1 = 10 k + 2 4n + 1 Neân 22 + 7 = 210k + 2 + 7 =4. 210k + 7 = 4.(BS 11 + 1)k + 7 = 4.(BS 11 + 1k) + 7 = BS 11 + 11 chia heát cho 11 Baøi taäp veà nhaø: Baøi 1: CMR: a) 228 – 1 chia heát cho 29 b)Trong caùc soá coù daïng2n – 3 coù voâ soá soá chia heát cho 13 Baøi 2: Tìm soá dö khi chia A = 2011 + 2212 + 19962009 cho 7. CHUYEÂN ÑEÀ 10 – TÍNH CHIA HEÁT ÑOÁI VÔÙI ÑA THÖÙC A. Daïng 1: Tìm dö cuûa pheùp chia maø khoâng thöïc hieän pheùp chia 1. Ña thöùc chia coù daïng x – a (a laø haèng) a) Ñònh lí Bôdu (Bezout, 1730 – 1783): Soá dö trong pheùp chia ña thöùc f(x) cho nhò thöùc x – a baèng giaù trò cuûa f(x) taïi x = a Ta coù: f(x) = (x – a). Q(x) + r Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân vôùi x = a, ta coù f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r Ta suy ra: f(x) chia heát cho x – a f(a) = 0 b) f(x) coù toång caùc heä soá baèng 0 thì chia heát cho x – 1 c) f(x) coù toång caùc heä soá cuûa haïng töû baäc chaün baèng toång caùc heä soá cuûa caùc haïng töû baäc leû thì chia heát cho x + 1 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Ví duï : Khoâng laøm pheùp chia, haõy xeùt xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia heát cho B = x + 1, C = x – 3 khoâng Keát quaû: A chia heát cho B, khoâng chia heát cho C 2. Ña thöùc chia coù baäc hai trôû leân Caùch 1: Taùch ña thöùc bò chia thaønh toång cuûa caùc ña thöùc chia heát cho ña thöùc chia vaø dö Caùch 2: Xeùt giaù trò rieâng: goïi thöông cuûa pheùp chia laø Q(x), dö laø ax + b thì f(x) = g(x). Q(x) + ax + b Ví duï 1: Tìm dö cuûa pheùp chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1 Caùch 1: Ta bieát raèng x2n – 1 chia heát cho x2 – 1 neân ta taùch: x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + 1 = x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 chia cho x2 – 1 dö 3x + 1 Caùch 2: Goïi thöông cuûa pheùp chia laø Q(x), dö laø ax + b, Ta coù: x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b vôùi moïi x Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân vôùi x = 1, ta coù 4 = a + b (1) vôùi x = - 1 ta coù - 2 = - a + b (2) Töø (1) vaø (2) suy ra a = 3, b =1 neân ta ñöôïc dö laø 3x + 1 Ghi nhôù: an – bn chia heát cho a – b (a -b) an + bn ( n leû) chia heát cho a + b (a -b) Ví duï 2: Tìm dö cuûa caùc pheùp chia a) x41 chia cho x2 + 1 b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1 c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 + 1 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Giaûi 41 41 40 4 10 4 a) x = x – x + x = x(x – 1) + x = x[(x ) – 1] + x chia cho x – 1 dö x neân chia cho x2 + 1 dö x 27 9 3 27 9 3 b) x + x + x + x = (x – x) + (x – x) + (x – x) + 4x = x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – 1 dö 4x c) x99 + x55 + x11 + x + 7 = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7 chia cho x2 + 1 dö – 2x + 7 B. Sô ñoà HORNÔ HÖ sè thø 2 + cña ®a thøc 1. Sô ñoà HÖ sè thø bÞ chia a 1®a thøc bÞ chia Ñeå tìm keát quaû cuûa pheùp chia f(x) cho x – a (a laø haèng soá), ta söû duïng sô ñoà hornô HÖ sè 3 2 cña ®a Neáu ña thöùc bò chia laø a0x + a1x + a2x + a3, thøc chia ña thöùc chia laø x – a ta ñöôïc thöông laø 2 b0x + b1x + b2, dö r thì ta coù a 0 a1 a2 a3 b = a b = ab + a a 0 0 1 0 1 b2 = ab1+ a2 r = ab2 + a3 Ví duï: Ña thöùc bò chia: x3 -5x2 + 8x – 4, ña thöùc chia x – 2 Ta coù sô ñoà 1 - 5 8 - 4 2 1 2. 1 + (- 5) = -3 2.(- 3) + 8 = 2 r = 2. 2 +(- 4) = 0 Vaäy: x3 -5x2 + 8x – 4 = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 laø pheùp chia heát 2. AÙp duïng sô ñoà Hornô ñeå tính giaù trò cuûa ña thöùc taïi x = a Giaù trò cuûa f(x) taïi x = a laø soá dö cuûa pheùp chia f(x) cho x – a TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 1. Ví duï 1: Tính giaù trò cuûa A = x3 + 3x2 – 4 taïi x = 2010 Ta coù sô ñoà: 1 3 0 -4 a = 2010 1 2010.1+3 = 2013 2010.2013 + 0 2010.4046130 – 4 = 4046130 = 8132721296 Vaäy: A(2010) = 8132721296 C. Chöngs minh moät ña thöùc chia heát cho moät ña thöùc khaùc I. Phöông phaùp: 1. Caùch 1: Phaân tích ña thöùc bò chia thaønh nhaân töû coù moät thöøa soá laø ña thöùc chia 2. Caùch 2: bieán ñoåi ña thöùc bò chia thaønh moät toång caùc ña thöùc chia heát cho ña thöùc chia 3. Caùch 3: Bieán ñoåi töông ñöông f(x)  g(x) f(x) g(x)  g(x) 4. caùch 4: Chöùng toû moïi nghieäm cuûa ña thöùc chia ñeàu laø nghieäm cuûa ña thöùc bò chia II. Ví duï 1.Ví duï 1: Chöùng minh raèng: x8n + x4n + 1 chia heát cho x2n + xn + 1 Ta coù: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1) Ta laïi coù: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1) chia heát cho x2n + xn + 1 Vaäy: x8n + x4n + 1 chia heát cho x2n + xn + 1 2. Ví duï 2: Chöùng minh raèng: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia heát cho x2 + x + 1 vôùi moïi m, n N Ta coù: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 = x3m + 1 - x + x3n + 2 – x2 + x2 + x + 1 = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1) Vì x3m – 1 vaø x3n – 1 chia heát cho x3 – 1 neân chia heát cho x2 + x + 1 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Vaäy: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia heát cho x2 + x + 1 vôùi moïi m, n N 3. Ví duï 3: Chöùng minh raèng f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + 1 chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 Ta coù: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + + x11 – x + 1 – 1 = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + + x(x10 – 1) chia heát cho x10 – 1 Maø x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + + x + 1) chia heát cho x9 + x8 + x7 + + x + 1 Suy ra f(x) – g(x) chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 Neân f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + 1 chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 4. Ví duï 4: CMR: f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia heát cho g(x) = x2 – x Ña thöùc g(x) = x2 – x = x(x – 1) coù 2 nghieäm laø x = 0 vaø x = 1 Ta coù f(0) = (-1)10 + 110 – 2 = 0 x = 0 laø nghieäm cuûa f(x) f(x) chöùa thöøa soá x f(1) = (12 + 1 – 1)10 + (12 – 1 + 1)10 – 2 = 0 x = 1 laø nghieäm cuûa f(x) f(x) chöùa thöøa soá x – 1, maø caùc thöøa soá x vaø x – 1 khoâng coù nhaân töû chung, do ñoù f(x) chia heát cho x(x – 1) hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia heát cho g(x) = x2 – x 5. Ví duï 5: Chöùng minh raèng a) A = x2 – x9 – x1945 chia heát cho B = x2 – x + 1 b) C = 8x9 – 9x8 + 1 chia heát cho D = (x – 1)2 c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 chia heát cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1) Giaûi a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x) Ta coù: x2 – x + 1 chia heát cho B = x2 – x + 1 x9 + 1 chia heát cho x3 + 1 neân chia heát cho B = x2 – x + 1 x1945 – x = x(x1944 – 1) chia heát cho x3 + 1 (cuøng coù nghieäm laø x = - 1) neân chia heát cho B = x2 – x + 1 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Vaäy A = x2 – x9 – x1945 chia heát cho B = x2 – x + 1 b) C = 8x9 – 9x8 + 1 = 8x9 – 8 - 9x8 + 9 = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1) 8 7 7 6 = 8(x – 1)(x + x + + 1) – 9(x – 1)(x + x + + 1) = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) (8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia heát cho x – 1 vì coù toång heä soá baèng 0 suy ra (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia heát cho (x – 1)2 1 c) Ña thöùc chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) coù ba nghieäm laø x = 0, x = - 1, x = - 2 Ta coù: C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – 1 = 0 x = 0 laø nghieäm cuûa C(x) C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – 1 = 0 x = - 1 laø nghieäm cuûa C(x) 1 1 1 1 1 C(- ) = (- + 1)2n – (- )2n – 2.(- ) – 1 = 0 x = - laø nghieäm cuûa C(x) 2 2 2 2 2 Moïi nghieäm cuûa ña thöùc chia laø nghieäm cuûa ña thöùc bò chia ñpcm 6. Ví duï 6: Cho f(x) laø ña thöùc coù heä soá nguyeân. Bieát f(0), f(1) laø caùc soá leû. Chöùng minh raèng f(x) khoâng coù nghieäm nguyeân Giaû söû x = a laø nghieäm nguyeân cuûa f(x) thì f(x) = (x – a). Q(x). Trong ñoù Q(x) laø ña thöùc coù heä soá nguyeân, do ñoù f(0) = - a. Q(0), f(1) = (1 – a). Q(1) Do f(0) laø soá leû neân a laø soá leû, f(1) laø soá leû neân 1 – a laø soá leû, maø 1 – a laø hieäu cuûa 2 soá leû khoâng theå laø soá leû, maâu thuaån Vaäy f(x) khoâng coù nghieäm nguyeân Baøi taäp veà nhaø: Baøi 1: Tìm soá dö khi a) x43 chia cho x2 + 1 b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + 9 cho x2 + 1 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Baøi 2: Tính giaù trò cuûa ña thöùc x4 + 3x3 – 8 taïi x = 2009 Baøi 3: Chöùng minh raèng a) x50 + x10 + 1 chia heát cho x20 + x10 + 1 b) x10 – 10x + 9 chia heát cho x2 – 2x + 1 c) x4n + 2 + 2x2n + 1 + 1 chia heát cho x2 + 2x + 1 d) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 chia heát cho x2 + 1 e) (xn – 1)(xn + 1 – 1) chia heát cho (x + 1)(x – 1)2 CHUYEÂN ÑEÀ 11 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ BIEÅU THÖÙC HÖÕU TÆ A. Nhaéc laïi kieán thöùc: Caùc böôùc ruùt goïn bieåu thöùc höûu tæ a) Tìm ÑKXÑ: Phaân tích maãu thaønh nhaân töû, cho taát caû caùc nhaân töû khaùc 0 b) Phaân tích töû thaønh nhaân , chia töû vaø maãu cho nhaân töû chung B. Baøi taäp: x4 5x2 4 Baøi 1: Cho bieåu thöùc A = x4 10x2 9 a) Ruùt goïn A b) tìm x ñeå A = 0 c) Tìm giaù trò cuûa A khi 2x 1 7 Giaûi a)Ñkxñ : x4 – 10x2 + 9 0 [(x2)2 – x2] – (9x2 – 9) 0 x2(x2 – 1) – 9(x2 – 1) 0 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 x 1 x 1 x 1 (x2 – 1)(x2 – 9) 0 (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3) 0 x 3 x 3 x 3 Töû : x4 – 5x2 + 4 = [(x2)2 – x2] – (x2 – 4) = x2(x2 – 1) – 4(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) Vôùi x 1; x 3 thì (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2) A = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) (x - 3)(x + 3) (x - 2)(x + 2) b) A = 0 = 0 (x – 2)(x + 2) = 0 x = 2 (x - 3)(x + 3) 2x 1 7 2x 8 x 4 c) 2x 1 7 2x 1 7 2x 6 x 3 (x - 2)(x + 2) (4 - 2)(4 + 2) 12 * Vôùi x = 4 thì A = (x - 3)(x + 3) (4 - 3)(4 + 3) 7 * Vôùi x = - 3 thì A khoâng xaùc ñònh 2. Baøi 2: 2x3 7x2 12x 45 Cho bieåu thöùc B = 3x3 19x2 33x 9 a) Ruùt goïn B b) Tìm x ñeå B > 0 Giaûi a) Phaân tích maãu: 3x3 – 19x2 + 33x – 9 = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9) = (x – 3)(3x2 – 10x + 3) = (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)] = (x – 3)2(3x – 1) 1 Ñkxñ: (x – 3)2(3x – 1) 0 x 3 vaø x 3 b) Phaân tích töû, ta coù: 2x3 – 7x2 – 12x + 45 = (2x3 – 6x2 ) - (x2 - 3x) – (15x - 45) = (x – 3)(2x2 – x – 15) = (x – 3)[(2x2 – 6x) + (5x – 15)] = (x – 3)2(2x + 5) TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 1 Vôùi x 3 vaø x 3 2x3 7x2 12x 45 (x - 3)2 (2x + 5) 2x + 5 Thì B = = 3x3 19x2 33x 9 (x - 3)2 (3x - 1) 3x - 1 1 x 3 3x 1 0 5 1 x x 2x + 5 2x 5 0 2 3 c) B > 0 > 0 3x - 1 3x 1 0 1 5 x x 2x 5 0 3 2 5 x 2 3. Baøi 3 1 2 5 x 1 2x Cho bieåu thöùc C = 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Ruùt goïn bieåu thöùc C b) Tìm giaù trò nguyeân cuûa x ñeå giaù trò cuûa bieåu thöùc B laø soá nguyeân Giaûi a) Ñkxñ: x 1 1 2 5 x 1 2x 1 x 2(1 x) 5 (x 1)(x 1) 2 C = 2 : 2 . 1 x x 1 1 x x 1 (1 x)(1 x) 1 2x 2x 1 2 b) B coù giaù trò nguyeân khi x laø soá nguyeân thì coù giaù trò nguyeân 2x 1 2x 1 1 x 1 2x 1 1 x 0 2x – 1 laø Ö(2) 2x 1 2 x 1,5 2x 1 2 x 1 Ñoái chieáu Ñkxñ thì chæ coù x = 0 thoaû maõn 4. Baøi 4 x3 x2 2x Cho bieåu thöùc D = x x 2 x2 4 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 a) Ruùt goïn bieåu thöùc D b) Tìm x nguyeân ñeå D coù giaù trò nguyeân c) Tìm giaù trò cuûa D khi x = 6 Giaûi a) Neáu x + 2 > 0 thì x 2 = x + 2 neân x3 x2 2x x3 x2 2x x(x 1)(x 2) x2 x D = = x x 2 x2 4 x(x 2) x2 4 x(x 2) (x 2)(x 2) 2 Neáu x + 2 - 2 x > - 2 Vì x(x – 1) laø tích cuûa hai soá nguyeân lieân tieáp neân chia heát cho 2 vôùi moïi x > - 2 x x  2 x = 2k +) coù giaù trò nguyeân x 2k (k Z; k - 2 neân D = = 15 2 2 Baøi taäp veà nhaø Baøi 1: 2 x 3 x 2 x x Cho bieåu thöùc A = 2 : 1 x 3 x 2 x 5x 6 x 1 a) Ruùt goïn A b) Tìm x ñeå A = 0; A > 0 Baøi 2: TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 3y3 7y2 5y 1 Cho bieåu thöùc B = 2y3 y2 4y 3 a) Ruùt goïn B 2D b) Tìm soá nguyeân y ñeå coù giaù trò nguyeân 2y + 3 c) Tìm soá nguyeân y ñeå B 1 CHUYEÂN ÑEÀ 12 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ BIEÅU THÖÙC (TIEÁP) * Daïng 2: Caùc bieåu thöùc coù tính quy luaät Baøi 1: Ruùt goïn caùc bieåu thöùc 3 5 2n 1 a) A = (1.2)2 (2.3)2 n(n 1)2 Phöông phaùp: Xuaát phaùt töø haïng töû cuoái ñeå tìm ra quy luaät 2n 1 2n 1 1 1 Ta coù = Neân n(n 1)2 n2 (n 1)2 n2 (n 1)2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n(n 1) A = 12 22 22 32 32 n2 n2 (n 1)2 1 (n 1)2 (n 1)2 1 1 1 1 b) B = 1 2 . 1 2 . 1 2 1 2 2 3 4 n 1 k 2 1 (k 1)(k 1) Ta coù 1 Neân k 2 k 2 k 2 1.3 2.4 3.5 (n 1)(n 1) 1.3.2.4 (n 1)(n 1) 1.2.3 (n 1) 3.4.5 (n 1) 1 n 1 n 1 B = . . . . 22 32 42 n2 22.32.42 n2 2.3.4 (n 1)n 2.3.4 n n 2 2n 150 150 150 150 1 1 1 1 1 1 1 c) C = = 150. . 5.8 8.11 11.14 47.50 3 5 8 8 11 47 50 1 1 9 = 50. 50. 45 5 50 10 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d) D = = . 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)n(n 1) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n 1)n n(n 1) 1 1 1 (n 1)(n 2) = 2 1.2 n(n 1) 4n(n 1) Baøi 2: m 1 m 2 2 1 1 1 1 1 A a) Cho A = ; B = . Tính 1 2 m 2 n 1 2 3 4 n B Ta coù n n n n 1 1 1 1 A = 1 1 .  1 n (n 1) 1 2 n 2 n 1 n 1 1 2 n 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 A = n 1 n nB = n 1 2 n 2 n 1 2 n 2 n 1 B 1 1 1 1 1 1 b) A = ; B = 1 + 1.(2n - 1) 3.(2n - 3) (2n - 3).3 (2n - 1).1 3 2n - 1 Tính A : B Giaûi 1 1 1 1 1 1 1 A = 1 1 2n 2n - 1 3 2n - 3 2n - 3 3 2n - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n 3 2n - 1 2n - 3 2n - 1 2n - 3 3 1 1 1 1 1 A 1 .2. 1 .2.B 2n 3 2n - 1 2n - 3 2n B n Baøi taäp veà nhaø Ruùt goïn caùc bieåu thöùc sau: 1 1 1 12 32 52 n2 a) + + b) . . 1.2 2.3 (n - 1)n 22 1 42 1 62 1 (n + 1)2 1 1 1 1 c) + + 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n +2) * Daïng 3: Ruùt goïn; tính giaù trò bieåu thöùc thoaû maõn ñieàu kieän cuûa bieán TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 1 Baøi 1: Cho x + = 3 . TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : x 1 1 1 1 a) A = x2 + ; b) B = x3 + ; c) C = x4 + ; d) D = x5 + . x2 x3 x4 x5 Lêi gi¶i 2 2 1 æ 1ö a) A = x + = çx + ÷ - 2 = 9 - 2 = 7 ; x2 èç xø÷ 3 3 1 æ 1ö æ 1ö b) B = x + = çx + ÷ - 3çx + ÷= 27- 9 = 18 ; x3 èç xø÷ èç xø÷ 2 4 1 æ2 1 ö c) C = x + = çx + ÷ - 2 = 49 - 2 = 47 ; x4 èç x2 ø÷ æ2 1 öæ3 1 ö 5 1 1 d) A.B = çx + ÷çx + ÷= x + + x + = D + 3 D = 7.18 – 3 = 123. èç x2 ø÷èç x3 ø÷ x x5 x y z a b c Baøi 2: Cho + + = 2 (1); + + = 2 (2). a b c x y z 2 2 2 a b c Tính giaù trò bieåu thöùc D = + + x y z Töø (1) suy ra bcx + acy + abz = 0 (3) Töø (2) suy ra 2 2 2 2 2 2 a b c ab ac bc a b c ab ac bc + + + 2 . 4 + + 4 2 . (4) x y z xy xz yz x y z xy xz yz Thay (3) vaøo (4) ta coù D = 4 – 2.0 = 4 Baøi 3 a b 2c a) Cho abc = 2; ruùt goïn bieåu thöùc A = ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2 Ta coù : a ab 2c a ab 2c A = ab + a + 2 abc + ab + a ac + 2c + 2 ab + a + 2 2 + ab + a ac + 2c + abc TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 a ab 2c a ab 2 ab + a + 2 = 1 ab + a + 2 2 + ab + a c(a + 2 + ab) ab + a + 2 2 + ab + a a + 2 + ab ab + a + 2 a 2 b2 c2 b) Cho a + b + c = 0; ruùt goïn bieåu thöùc B = a 2 - b2 - c2 b2 - c2 - a 2 c2 - b2 - a 2 Töø a + b + c = 0 a = -(b + c) a2 = b2 + c2 + 2bc a2 - b2 - c2 = 2bc Töông töï ta coù: b2 - a2 - c2 = 2ac ; c2 - b2 - a2 = 2ab (Hoaùn vò voøng quanh), neân a 2 b2 c2 a3 b3 c3 B = (1) 2bc 2ac 2ab 2abc a + b + c = 0 -a = (b + c) -a3 = b3 + c3 + 3bc(b + c) -a3 = b3 + c3 – 3abc a3 + b3 + c3 = 3abc (2) a3 b3 c3 3abc 3 Thay (2) vaøo (1) ta coù B = (Vì abc 0) 2abc 2abc 2 c) Cho a, b, c töøng ñoâi moät khaùc nhau thoaû maõn: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 a 2 b2 c2 Ruùt goïn bieåu thöùc C = + a 2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab Töø (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 ab + ac + bc = 0 a2 + 2bc = a2 + 2bc – (ab + ac + bc) = a2 – ab + bc – ac = (a – b)(a – c) Töông töï: b2 + 2 ac = (b – a)(b – c) ; c2 + 2ab = (c – a)(c – b) a 2 b2 c2 a 2 b2 c2 C = + - (a - b)(a - c) (b - a)(b - c) (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (a - b)(b - c) (a - c)(b - c) a 2 (b - c) b2 (a - c) c2 (b - c) (a - b)(a - c)(b - c) = - 1 (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) * Daïng 4: Chöùng minh ñaúng thöùc thoaû maõn ñieàu kieän cuûa bieán 1 1 1 1 1 1 1. Baøi 1: Cho + + = 2 (1); + + = 2 (2). a b c a 2 b2 c2 Chöùng minh raèng: a + b + c = abc Töø (1) suy ra 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 + 2 + 2 + 2. + + 4 2. + + 4 2 + 2 + 2 a b c ab bc ac ab bc ac a b c TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 1 1 1 a + b + c + + 1 1 a + b + c = abc ab bc ac abc 1 1 1 1 2. Baøi 2: Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn + + = . a b c a + b + c Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã hai sè ®èi nhau. 1 1 1 1 Tõ ®ã suy ra r»ng :+ + = . a2009 b2009 c2009 a2009 + b2009 + c2009 1 1 1 1 1 1 1 1 a + b a + b Ta cã : + + = + + - = 0 + = 0 a b c a + b + c a b c a + b + c ab c(a + b + c) éa + b = 0 éa = - b c(a + b + c) + ab ê ê (a + b). = 0 Û (a + b)(b + c)(c + a) = 0 Û êb + c = 0 Û êb = - c ê ê abc(a + b + c) ê ê ëc + a = 0 ëc = - a 1 1 1 1 1 1 1 Tõ ®ã suy ra : + + = + + = a2009 b2009 c2009 a2009 (- c)2009 c2009 a2009 1 1 1 = = a2009 + b2009 + c2009 a2009 + (- c)2009 + c2009 a2009 1 1 1 1 + + = . a2009 b2009 c2009 a2009 + b2009 + c2009 a b c b c a 3. Baøi 3: Cho + + (1) b c a a b c chöùng minh raèng : trong ba soá a, b, c toàn taïi hai soá baèng nhau Töø (1) a 2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 + a 2b a 2 (b - c) - a(c2 b2 ) bc(c - b) = 0 (c – b)(a2 – ac = ab + bc) = 0 (c – b)(a – b)( a – c) = 0 ñpcm 4. Baøi 4: Cho (a2 – bc)(b – abc) = (b2 – ac)(a – abc); abc 0 vaø a b 1 1 1 Chöùng minh raèng: + + = a + b + c a b c Töø GT a2b – b2c - a3bc + ab2c2 = ab2 – a2c – ab3c + a2bc2 (a2b – ab2) + (a2c – b2c) = abc2(a – b) + abc(a - b)(a + b) (a – b)(ab + ac + bc) = abc(a – b)(a + b + c) TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 ab + ac + bc 1 1 1 = a + b + c + + = a + b + c abc a b c a b c 5. Baøi 5: Cho a + b + c = x + y + z = + + = 0 ; Chöùng minh raèng: ax2 + by2 + cz2 = x y z 0 Töø x + y + z = 0 x2 = (y + z)2 ; y2 = (x + z)2 ; z2 = (y + x)2 ax2 + by2 + cz2 = a(y + z)2 + b(x + z)2 + c (y + x)2 = = (b + c)x2 + (a + c)y2 + (a + b)z2 + 2(ayz + bxz + cxy) (1) Töø a + b + c = 0 - a = b + c; - b = a + c; - c = a + b (2) a b c Töø + + = 0 ayz + bxz + cxy = 0 (3). Thay (2), (3) vaøo (1); ta coù: x y z ax2 + by2 + cz2 = -( ax2 + by2 + cz2 ) ax2 + by2 + cz2 = 0 a b c a b c 6. Baøi 6: Cho + 0 ; chöùng minh: + 0 b - c c - a a - b (b - c)2 (c - a)2 (a - b)2 a b c a b c b2 ab + ac - c2 Töø + 0 = b - c c - a a - b b - c a - c b - a (a - b)(c - a) a b2 ab + ac - c2 1 (1) (Nhaân hai veá vôùi ) (b - c)2 (a - b)(c - a)(b - c) b - c b c2 bc + ba - a 2 c a 2 ac + cb - b2 Töông töï, ta coù: (2) ; (3) (c - a)2 (a - b)(c - a)(b - c) (a - b)2 (a - b)(c - a)(b - c) Coäng töøng veá (1), (2) vaø (3) ta coù ñpcm 7. Baøi 7: a - b b - c c - a c a b Cho a + b + c = 0; chöùng minh: + + = 9 (1) c a b a - b b - c c - a a - b b - c c - a c 1 a 1 b 1 Ñaët = x ; y; z = ; c a b a - b x b - c y c - a z 1 1 1 (1) x + y + z + + 9 x y z 1 1 1 y + z x + z x + y Ta coù: x + y + z + + 3 + + (2) x y z x y z TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 y + z b - c c - a c b2 bc + ac - a 2 c c(a - b)(c - a - b) c(c - a - b) Ta laïi coù: . . x a b a - b ab a - b ab(a - b) ab c2c - (a + b + c) 2c2 = (3) ab ab x + z 2a 2 x + y 2b2 Töông töï, ta coù: (4) ; (5) y bc z ac Thay (3), (4) vaø (5) vaøo (2) ta coù: 2 2 2 1 1 1 2c 2a 2b 2 3 3 3 x + y + z + + 3 + = 3 + (a + b + c ) (6) x y z ab bc ac abc Töø a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc (7) ? 1 1 1 2 Thay (7) vaøo (6) ta coù: x + y + z + + 3 + . 3abc = 3 + 6 = 9 x y z abc Baøi taäp veà nhaø: 1 1 1 yz xz xy 1) cho + + 0 ; tính giaù trò bieåu thöùc A = + + x y z x2 y2 z2 xyz xyz xyz HD: A = + + ; vaän duïng a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc x3 y3 z3 3 3 3 a b c 2) Cho a + b + c = 3abc ; Tính giaù trò bieåu thöùc A = + 1 + 1 + 1 b c a y z x z x y 3) Cho x + y + z = 0; chöùng minh raèng: 3 0 x y z a b c 4) Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1; . Chöùng minh xy + yz + xz = 0 x y z CHUYEÂN ÑEÀ 13 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ TAM GIAÙC ÑOÀNG DAÏNG A. Kieán thöùc: * Tam giaùc ñoàng daïng: a) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.c.c) TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 AB AC BC ABC A’B’C’ = = A'B' A'C' B'C' b) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.g.c) AB AC ABC A’B’C’ = ; Aµ = Aµ' A'B' A'C' c. Tröôøng hôïp ñoàng daïng thöù ba (g.g) ABC A’B’C’ Aµ = Aµ' ; Bµ = Bµ' A'H' S 2 AH; A’H’laø hai ñöôøng cao töông öùng thì: = k (Tæ soá ñoàng daïng); A'B'C' = K AH SABC B. Baøi taäp aùp duïng Baøi 1: Cho ABC coùBµ = 2 Cµ , AB = 8 cm, BC = 10 cm. a)Tính AC b)Neáu ba caïnh cuûa tam giaùc treân laø ba soá töï nhieân lieân tieáp thì A moãi caïnh laø bao nhieâu? Giaûi E Caùch 1: B Treân tia ñoái cuûa tia BA laáy ñieåm E sao cho:BD = BC AC AD ACD ABC (g.g) C AB AC D AC2 AB. AD =AB.(AB + BD) = AB(AB + BC) = 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm Caùch 2: Veõ tia phaân giaùc BE cuûa A· BC ABE ACB AB AE BE AE + BE AC = AC2 = AB(AB + CB) = 8(8 + 10) = 144 AC AB CB AB + CB AB + CB AC = 12 cm TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 b) Goïi AC = b, AB = a, BC = c thì töø caâu a ta coù b2 = a(a + c) (1) Vì b > aneân coù theå b = a + 1 hoaëc b = a + 2 2 2 + Neáu b = a + 1 thì (a + 1) = a + ac 2a + 1 = ac a(c – 2) = 1 a = 1; b = 2; c = 3(loaïi) + Neáu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4 - Vôùi a = 1 thì c = 8 (loaïi) A - Vôùi a = 2 thì c = 6 (loaïi) - vôùi a = 4 thì c = 6 ; b = 5 Vaäy a = 4; b = 5; c = 6 Baøi 2: D Cho ABC caân taïi A, ñöôøng phaân giaùc BD; tính BD bieát BC = 5 cm; AC = 20 cm B C Giaûi CD BC 1 Ta coù = CD = 4 cm vaø BC = 5 cm AD AC 4 Baøi toaùn trôû veà baøi 1 Baøi 3: Cho ABC caân taïi A vaø O laø trung ñieåm cuûa BC. Moät ñieåm O di ñoäng treân AB, laáy OB2 ñieåm E treân AC sao cho CE = . Chöùng minh raèng BD a) DBO OCE b) DOE DBO OCE c) DO, EO laàn löôït laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE, CED d) khoaûng caùch töø O ñeán ñoaïn ED khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB Giaûi A TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG E I 1 2 D 1 H 2 3 B O C
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 OB2 CE OB a) Töø CE = = vaø Bµ = Cµ (gt) DBO OCE BD OB BD µ µ b) Töø caâu a suy ra O3 = E2 (1) µ · · 0 Vì B, O ,C thaúng haøng neân O3 + DOE EOC 180 (2) µ µ · 0 trong tam giaùc EOC thì E2 + C EOC 180 (3) Töø (1), (2), (3) suy ra D· OE Bµ Cµ DO OE DOE vaø DBO coù = (Do DBO OCE) DB OC DO OE vaø = (Do OC = OB) vaø D· OE Bµ Cµ DB OB neân DOE DBO OCE µ µ c) Töø caâu b suy ra D1 = D2 DO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE µ µ Cuûng töø caâu b suy ra E1 = E2 EO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc CED c) Goïi OH, OI laø khoaûng caùch töø O ñeán DE, CE thì OH = OI, maø O coá ñònh neân OH khoâng ñoåi OI khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB Baøi 4: (Ñeà HSG huyeän Loäc haø – naêm 2007 – 2008) Cho ABC caân taïi A, coù BC = 2a, M laø trung ñieåm BC, laáy D, E thuoäc AB, AC sao cho D· ME = Bµ a) Chöùng minh tích BD. CE khoâng ñoåi b)Chöùng minh DM laø tia phaân giaùc cuûa B· DE c) Tính chu vi cuûa AED neáu ABC laø tam giaùc ñeàu Giaûi a) Ta coù D· MC = D· ME + C· ME = Bµ + B· DM , maø D· ME = Bµ (gt) neân C· ME = B· DM , keát hôïp vôùi Bµ = Cµ ( ABC caân taïi A) suy ra BDM CME (g.g) BD BM = BD. CE = BM. CM = a 2 khoâng ñoåi CM CE TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
A 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 DM BD DM BD b) BDM CME = = ME CM ME BM · · E (do BM = CM) DME DBM (c.g.c) MDE = BMD hay I DM laø tia phaân giaùc cuûa B· DE D H K c) chöùng minh töông töï ta coù EM laø tia phaân giaùc cuûa D· EC keû MH  CE ,MI  DE, MK  DB thì MH = MI = MK B M C DKM = DIM DK =DI EIM = EHM EI = EH Chu vi AED laø PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK) MC a ABC laø tam giaùc ñeàu neân suy ra CME cuûng laø tam giaùc ñeàu CH = 2 2 AH = 1,5a PAED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a Baøi 5: F Cho tam giaùc ABC, trung tuyeán AM. Qua ñieåm D thuoäc caïnh K BC, veõ ñöôøng thaúng song song vôùi AM, caét AB, AC taïi E vaø F A a) chöùng minh DE + DF khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân BC E b) Qua A veõ ñöôøng thaúng song song vôùi BC, caét FE taïi K. Chöùng minh raèng K laø trung ñieåm cuûa FE D M Giaûi B C DE BD BD a) DE // AM = DE = .AM (1) AM BM BM DF CD CD CD DF // AM = DF = .AM = .AM (2) AM CM CM BM Töø (1) vaø (2) suy ra BD CD BD CD BC DE + DF = .AM + .AM = + .AM = .AM = 2AM khoâng ñoåi BM BM BM BM BM FK KA b) AK // BC suy ra FKA AMC (g.g) = (3) AM CM TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA = = = (2) ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AM CM (Vì CM = BM) FK EK Töø (1) vaø (2) suy ra FK = EK hay K laø trung ñieåm cuûa FE AM AM Baøi 6: (Ñeà HSG huyeän Thaïch haø naêm 2003 – 2004) Cho hình thoi ABCD caïnh a coù Aµ = 600 , moät ñöôøng thaúng baát kyø qua C caét tia ñoái cuûa caùc tia BA, DA taïi M, N a) Chöùng minh raèng tích BM. DN coù giaù trò khoâng ñoåi b) Goïi K laø giao ñieåm cuûa BN vaø DM. Tính soá ño cuûa goùc BKD Giaûi M MB CM a) BC // AN = (1) 1 BA CN C CM AD B CD// AM = (2) 1 K CN DN Töø (1) vaø (2) suy ra MB AD 2 N = MB.DN = BA.AD = a.a = a A D BA DN b) MBD vaø BDN coù M· BD = B· DN = 1200 MB MB CM AD BD = = (Do ABCD laø hình thoi coù Aµ = 600 neân AB = BC = CD = BD BA CN DN DN DA) MBD BDN µ µ · · µ µ · · 0 Suy ra M1 = B1 . MBD vaø BKD coù BDM = BDK vaø M1 = B1 neân BKD = MBD = 120 Baøi 7: Cho hình bình haønh ABCD coù ñöôøng cheùo lôùn F AC,tia Dx caét SC, AB, BC laàn löôït taïi I, M, N. Veõ CE vuoâng goùc vôùi AB, CF vuoâng goùc vôùi AD, BG D C I G M TRƯỜNG THCS TIẾNK THẮNG A B E N
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 vuoâng goùc vôùi AC. Goïi K laø ñieåm ñoái xöùng vôùi D qua I. Chöùng minh raèng a) IM. IN = ID2 KM DM b) = KN DN c) AB. AE + AD. AF = AC2 Giaûi IM CI a) Töø AD // CM = (1) ID AI CI ID Töø CD // AN (2) AI IN IM ID Töø (1) vaø (2) suy ra = hay ID2 = IM. IN ID IN DM CM DM CM DM CM b) Ta coù = = = (3) MN MB MN + DM MB + CM DN CB Töø ID = IK vaø ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM KM IM CM CM = = = = = (4) IM IK IM IK IM IK KN IK KN ID AD CB KM DM Töø (3) vaø (4) suy ra = KN DN AE AC c) Ta coù AGB AEC = AB.AE = AC.AG AB. AE = AG(AG + CG) (5) AG AB AF CG CG CGB AFC = (vì CB = AD) AC CB AD AF . AD = AC. CG AF . AD = (AG + CG) .CG (6) Coäng (5) vaø (6) veá theo veá ta coù: AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 Vaäy: AB. AE + AD. AF = AC2 Baøi taäp veà nhaø Baøi 1 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Cho Hình bình haønh ABCD, moät ñöôøng thaúng caét AB, AD, AC laàn löôït taïi E, F, G AB AD AC Chöùng minh: + = AE AF AG HD: Keû DM // FE, BN // FE (M, N thuoäc AC) Baøi 2: Qua ñænh C cuûa hình bình haønh ABCD, keû ñöôøng thaúng caét BD, AB, AD ôû E, G, F chöùng minh: FE a) DE2 = . BE2 EG b) CE2 = FE. GE (Gôïi yù: Xeùt caùc tam giaùc DFE vaø BCE, DEC vaø BEG) Baøi 3 Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH, trung tuyeán BM, phaân giaùc CD caét nhau taïi moät ñieåm. Chöùng minh raèng BH CM AD a) . . 1 HC MA BD b) BH = AC CHUYEÂN ÑEÀ 14 – PHÖÔNG TRÌNH BAÄC CAO A.Muïc tieâu: * Cuûng coá, oân taäp kieán thöùc vaø kyõ naêng giaûi caùc Pt baäc cao baèng caùch phaân tích thaønh nhaân töû * Khaéc saâu kyõ naêng phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû vaø kyõ naêng giaûi Pt B. Kieán thöùc vaø baøi taäp: I. Phöông phaùp: TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 * Caùch 1: Ñeå giaûi caùc Pt baäc cao, ta bieán ñoåi, ruùt goïn ñeå döa Pt veà daïng Pt coù veá traùi laø moät ña thöùc baäc cao, veá phaûi baèng 0, vaän duïng caùc phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ñeå ñöa Pt veà daïng pt tích ñeå giaûi * Caùch 2: Ñaët aån phuï II. Caùc ví duï: 1.Ví duï 1: Giaûi Pt a) (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12 2x3 + 10x = 12 x3 + 5x – 6 = 0 (x3 – 1) + (5x – 5) (x – 1)(x2 + x + 6) = 0 x = 1 2 x - 1 = 0 1 23 2 x 1 (Vì x + 0 voâ nghieäm) 2 1 23 x + x + 6 = 0 x + 0 2 4 2 4 b) x4 + x2 + 6x – 8 = 0 (1) Veá phaûi cuûa Pt laø moät ña thöùc coù toång caùc heä soá baèng 0, neân coù moät nghieäm x = 1 neân coù nhaân töû laø x – 1, ta coù (1) (x4 – x3) + (x3 – x2) + (2x2 – 2x) + (8x – 8) = 0 (x – 1)(x3 + x2 + 2x + 8) (x – 1)[(x3 + 2x2) – (x2 + 2x) + (4x – 8) ] = 0 (x – 1)[x2(x + 2) – x(x + 2) + 4(x + 2) = 0 (x – 1)(x + 2)(x2 – x + 4) = 0 c) (x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8 x3 – 3x2 + 3x – 1 + 8x3 + 36x2 + 54x + 27 – 27x3 – 8 = 0 - 18x3 + 33x2 + 57 x + 18 = 0 6x3 - 11x2 - 19x - 6 = 0 (2) Ta thaáy Pt coù moät nghieäm x = 3, neân veá traùi coù nhaân töû x – 3: (2) (6x3 – 18x2) + (7x2 – 21x) + (2x – 6) = 0 6x2(x – 3) + 7x(x – 3) + 2(x – 3) = 0 (x – 3)(6x2 + 7x + 2) = 0 (x – 3)[(6x2 + 3x) + (4x + 2)] = 0 (x – 3)[3x(2x + 1) + 2(2x + 1)] = 0 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 (x – 3)(2x + 1)(3x + 2) d) (x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) = 24 [(x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) + 1] – 25 = 0 (x2 + 5x - 1)2 – 25 = 0 (x2 + 5x - 1 + 5)( (x2 + 5x - 1 – 5) = 0 (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x – 6) = 0 [(x2 + x) +(4x + 4)][(x2 – x) + (6x – 6)] = 0 (x + 1)(x + 4)(x – 1)(x + 6) = 0 e) (x2 + x + 1)2 = 3(x4 + x2 + 1) (x2 + x + 1)2 - 3(x4 + x2 + 1) = 0 (x2 + x + 1)2 – 3(x2 + x + 1)( x2 - x + 1) = 0 ( x2 + x + 1)[ x2 + x + 1 – 3(x2 - x + 1)] = 0 ( x2 + x + 1)( -2x2 + 4x - 2) = 0 (x2 + x + 1)(x2 – 2x + 1) = 0 ( x2 + x + 1)(x – 1)2 = 0 f) x5 = x4 + x3 + x2 + x + 2 (x5 – 1) – (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1) – (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 (x – 2) (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 +) x – 2 = 0 x = 2 +) x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 (x4 + x3) + (x + 1) + x2 = 0 (x + 1)(x3 + 1) + x2 = 0 1 1 3 (x + 1)2(x2 – x + 1) + x2 = 0 (x + 1)2 [(x2 – 2.x. + ) + ] + x2 = 0 2 4 4 2 2 1 3 1 3 (x + 1)2 x + + + x2 = 0 Voâ nghieäm vì (x + 1)2 x + + 0 nhöng 2 4 2 4 khoâng xaåy ra daáu baèng Baøi 2: a) (x2 + x - 2)( x2 + x – 3) = 12 (x2 + x – 2)[( x2 + x – 2) – 1] – 12 = 0 (x2 + x – 2)2 – (x2 + x – 2) – 12 = 0 Ñaët x2 + x – 2 = y Thì (x2 + x – 2)2 – (x2 + x – 2) – 12 = 0 y2 – y – 12 = 0 (y – 4)(y + 3) = 0 * y – 4 = 0 x2 + x – 2 – 4 = 0 x2 + x – 6 = 0 (x2 + 3x) – (2x + 6) = 0 (x + 3)(x – 2) = 0 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 * y + 3 = 0 x2 + x – 2 + 3 = 0 x2 + x + 1 = 0 (voâ nghieäm) b) (x – 4)( x – 5)( x – 6)( x – 7) = 1680 (x2 – 11x + 28)( x2 – 11x + 30) = 1680 Ñaët x2 – 11x + 29 = y , ta coù: (x2 – 11x + 28)( x2 – 11x + 30) = 1680 (y + 1)(y – 1) = 1680 y2 = 1681 y = 41 y = 41 x2 – 11x + 29 = 41 x2 – 11x – 12 = 0 (x2 – x) + (12x – 12) = 0 (x – 1)(x + 12) = 0 11 121 159 * y = - 41 x2 – 11x + 29 = - 41 x2 – 11x + 70 = 0 (x2 – 2x. + )+ = 0 2 4 4 c) (x2 – 6x + 9)2 – 15(x2 – 6x + 10) = 1 (3) Ñaët x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 = y 0, ta coù (3) y2 – 15(y + 1) – 1 = 0 y2 – 15y – 16 = 0 (y + 1)(y – 15) = 0 Vôùi y + 1 = 0 y = -1 (loaïi) Vôùi y – 15 = 0 y = 15 (x – 3)2 = 16 x – 3 = 4 + x – 3 = 4 x = 7 + x – 3 = - 4 x = - 1 d) (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1) + 2x2 = 0 (4) Ñaët x2 + 1 = y thì (4) y2 + 3xy + 2x2 = 0 (y2 + xy) + (2xy + 2x2) = 0 (y + x)(y + 2x) = 0 +) x + y = 0 x2 + x + 1 = 0 : Voâ nghieäm +) y + 2x = 0 x2 + 2x + 1 = 0 (x + 1)2 = 0 x = - 1 Baøi 3: a) (2x + 1)(x + 1)2(2x + 3) = 18 (2x + 1)(2x + 2)2(2x + 3) = 72. (1) Ñaët 2x + 2 = y, ta coù (1) (y – 1)y2(y + 1) = 72 y2(y2 – 1) = 72 y4 – y2 – 72 = 0 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Ñaët y2 = z 0 Thì y4 – y2 – 72 = 0 z2 – z – 72 = 0 (z + 8)( z – 9) = 0 * z + 8 = 0 z = - 8 (loaïi) * z – 9 = 0 z = 9 y2 = 9 y = 3 x = b) (x + 1)4 + (x – 3)4 = 82 (2) Ñaët y = x – 1 x + 1 = y + 2; x – 3 = y – 2, ta coù (2) (y + 2)4 + (y – 2)4 = 82 y4 +8y3 + 24y2 + 32y + 16 + y4 - 8y3 + 24y2 - 32y + 16 = 82 2y4 + 48y2 + 32 – 82 = 0 y4 + 24y2 – 25 = 0 Ñaët y2 = z 0 y4 + 24y2 – 25 = 0 z2 + 24 z – 25 = 0 (z – 1)(z + 25) = 0 +) z – 1 = 0 z = 1 y = 1 x = 0; x = 2 +) z + 25 = 0 z = - 25 (loaïi) a + b Chuù yù: Khi giaûi Pt baäc 4 daïng (x + a)4 + (x + b)4 = c ta thöôøng ñaët aån phuï y = x + 2 c) (4 – x)5 + (x – 2)5 = 32 (x – 2)5 – (x – 4)5 = 32 Ñaët y = x – 3 x – 2 = y + 1; x – 4 = y – 1; ta coù: (x – 2)5 – (x – 4)5 = 32 (y + 1)5 - (y – 1)5 = 32 y5 + 5y4 + 10y3 + 10y2 + 5y + 1 – (y5 - 5y4 + 10y3 - 10y2 + 5y - 1) – 32 = 0 10y4 + 20y2 – 30 = 0 y4 + 2y2 – 3 = 0 Ñaët y2 = z 0 y4 + 2y2 – 3 = 0 z2 + 2z – 3 = 0 (z – 1)(z + 3) = 0 d) (x - 7)4 + (x – 8)4 = (15 – 2x)4 Ñaët x – 7 = a; x – 8 = b ; 15 – 2x = c thì - c = 2x – 15 a + b = - c , Neân (x - 7)4 + (x – 8)4 = (15 – 2x)4 a4 + b4 = c4 a4 + b4 - c4 = 0 a4 + b4 – (a + b)4 = 0 2 2 3 2 3 7 2 4ab(a + ab + b ) = 0 4ab a + b + b = 0 4ab = 0 2 4 16 2 3 7 2 (Vì a + b + b 0 nhöng khoâng xaåy ra daáu baèng) ab = 0 x = 7; x = 8 4 16 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 4 3 2 2 1 1 e) 6x + 7x – 36x – 7x + 6 = 0 6 x 2 7 x - 36 0 x x 1 1 (Vì x = 0 khoâng laø nghieäm). Ñaët x - = y x2 = y2 + 2 , thì x x2 2 1 1 2 2 6 x 2 7 x - 36 0 6(y + 2) + 7y – 36 = 0 6y + 7y – 24 = 0 x x (6y2 – 9y) + (16y – 24) = 0 (3y + 8 )(2y – 3) = 0 x = - 3 8 1 8 x + 3 = 0 +) 3y + 8 = 0 y = - x - = - (x + 3)(3x – 1) = 0 1 3 x 3 3x - 1 = 0 x = 3 x = 2 3 1 3 x - 2 = 0 +) 2y – 3 = 0 y = x - = (2x + 1)(x – 2) = 0 1 2 x 2 2x + 1 = 0 x = - 2 Baøi 4: Chöùng minh raèng: caùc Pt sau voâ nghieäm a) x4 – 3x2 + 6x + 13 = 0 ( x4 – 4x2 + 4) +(x2 + 6x + 9) = 0 (x2 – 2)2 + (x + 3)2 = 0 Veá traùi (x2 – 2)2 + (x + 3)2 0 nhöng khoâng ñoàng thôøi xaåy ra x2 = 2 vaø x = -3 b) x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 (x – 1)( x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 x7 – 1 = 0 x = 1 x = 1 khoâng laø nghieäm cuûa Pt x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 Baøi taäp veà nhaø: Baøi 1: Giaûi caùc Pt a)(x2 + 1)2 = 4(2x – 1) HD: Chuyeån veá, trieån khai (x2 + 1)2, phaân tích thaønh nhaân töû: (x – 1)2(x2 + 2x + 5) = 0 b) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24 (Nhaân 2 nhaân töû vôùi nhau, aùp duïng PP ñaët aån phuï) c) (12x + 7)2(3x + 2)(2x + 1) = 3 (Nhaân 2 veá vôùi 24, ñaët 12x + 7 = y) d) (x2 – 9)2 = 12x + 1 (Theâm, bôùt 36x2) e) (x – 1)4 + (x – 2)4 = 1 ( Ñaët y = x – 1,5; Ñs: x = 1; x = 2) f) (x – 1)5 + (x + 3)5 = 242(x + 1) (Ñaët x + 1 = y; Ñs:0; -1; -2 ) TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 g) (x + 1)3 + (x - 2)3 = (2x – 1)3 Ñaët x + 1 = a; x – 2 = b; 1 - 2x = c thì a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc 1 h) 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = 0 (Chia 2 veá cho x2; Ñaët y = x + ) x 5 4 3 2 i) x + 2x + 3x + 3x + 2x + 1 = 0 (Veá traùi laø ña thöùc coù toång caùc heä soá baäc chaün baèng toång caùc heä soá baäc leû ) Baøi 2: Chöùng minh caùc pt sau voâ nghieäm a) 2x4 – 10x2 + 17 = 0 (Phaân tích veá traùi thaønh toång cuûa hai bình phöông) 4 3 2 b) x – 2x + 4x – 3x + 2 = 0 (Phaân tích veá traùi thaønh tích cuûa 2 ña thöùc coù giaù trò khoâng aâm ) CHUYEÂN ÑEÀ 1 5 – SÖÛ DUÏNG COÂNG THÖÙC DIEÄN TÍCH ÑEÅ THIEÁT LAÄP QUAN HEÄ ÑOÄ DAØI CUÛA CAÙC ÑOAÏN THAÚNG Ngaøy soaïn:23 – 3 - 2010 A. Moät soá kieán thöùc: 1. Coâng thöùc tính dieän tích tam giaùc: 1 S = a.h (a – ñoä daøi moät caïnh, h – ñoä daøi ñöôøng cao töông öùng) 2 2. Moät soá tính chaát: Hai tam giaùc coù chung moät caïnh, coù cuøng ñoä daøi ñöôøng cao thì coù cuøng dieän tích Hai tam giaùc baèng nhau thì coù cuøng dieän tích B. Moät soá baøi toaùn: 1. Baøi 1: CI + BK Cho ABC coù AC = 6cm; AB = 4 cm; caùc ñöôøng cao AH; BK; CI. Bieát AH = 2 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Tính BC A Giaûi 2S 2S K Ta coù: BK = ABC ; CI = ABC AC AB I 1 1 BK + CI = 2. SABC AC AB B H C 1 1 1 1 1 2AH = 2. . BC. AH . BC. = 2 2 AC AB AC AB 1 1 1 1 BC = 2 : = 2 : = 4,8 cm AC AB 6 4 Baøi 2: Cho ABC coù ñoä daøi caùc caïnh laø a, b, c; ñoä daøi caùc ñöôøng cao töông öùng laø ha, hb, hc. Bieát raèng a + ha = b + hb = c + hc . Chöùng minh raèng ABC laø tam giaùc ñeàu Giaûi Goïi SABC = S 2S 2S 1 1 a - b Ta xeùt a + ha = b + hb a – b = ha – hb = - 2S. - 2S. b a b a ab a - b 2S a – b = 2S. (a – b) 1 - = 0 ABC caân ôû C hoaëc vuoâng ôû C (1) ab ab Töông töï ta coù: ABC caân ôû A hoaëc vuoâng ôû A (2); ABC caân ôû B hoaëc vuoâng ôû B (3) Töø (1), (2) vaø (3) suy ra ABC caân hoaëc vuoâng ôû ba ñænh (Khoâng xaåy ra vuoâng taïi ba ñænh) ABC laø tam giaùc ñeàu Baøi 3: Cho ñieåm O naèm trong tam giaùc ABC, caùc tia AO, BO, Co caét caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC theo thöù töï taïi A’, B’, C’. Chöùng minh raèng: OA' OB' OC' OA OB OC a) 1 b) 2 AA' BB' CC' AA' BB' CC' OA OB OC c) M = 6 . Tìm vò trí cuûa O ñeå toång M coù giaù trò nhoû nhaát OA' OB' OC' TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 OA OB OC d) N = . . 8 . Tìm vò trí cuûa O ñeå tích N coù giaù A OA' OB' OC' trò nhoû nhaát B' Giaûi C' Goïi SABC = S, S1 = SBOC , S2 = SCOA , S3 = SAOB . Ta coù: O OA S S S S = 2 = 3 2 3 (1) OA' S S S OA'C OA'B 1 B A' C OA' S S S S S = OA'C = OA'B OA'C OA'B 1 (2) AA' SAA'C SAA'B SAA'C SAA'B S OA S S Töø (1) vaø (2) suy ra 2 3 AA' S OB S S OC S S OB' S OC' S Töông töï ta coù 1 3 ; 1 2 ; 2 ; 3 OB' S2 OC' S3 BB' S CC' S OA' OB' OC' S S S S a) 1 2 3 1 AA' BB' CC' S S S S OA OB OC S S S S S S 2S b) 2 3 1 3 1 2 2 AA' BB' CC' S S S S OA OB OC S S S S S S S S S S S S c) M = 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 1 3 OA' OB' OC' S1 S2 S3 S2 S1 S2 S3 S3 S1 S S S S S S Aùp duïng Bñt Coâ si ta coù 1 2 3 2 1 3 2 2 2 6 S2 S1 S2 S3 S3 S1 Ñaúng thöùc xaåy ra khi S1 = S2 = S3 O laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC S S S S S S S S S S S S d) N = 2 3 . 1 3 . 1 2 2 3 1 3 1 2 S1 S2 S3 S1.S2.S3 2 2 2 2 S2 S3 S1 S3 S1 S2 4S1S2.4S2S3.4S1S3 N = 2 2 64 N 8 S1.S2.S3 S1.S2.S3 Ñaúng thöùc xaåy ra khi S1 = S2 = S3 O laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC Baøi 4: Cho tam giaùc ñeàu ABC, caùc ñöôøng caoAD, BE, CF; goïi A’, B’, C’ laø hình chieáu cuûa M TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 (naèm beân trong tam giaùc ABC) treân AD, BE, CF. Chöùng minh raèng: Khi M thay ñoåi vò trí trong tam giaùc ABC thì: a) A’D + B’E + C’F khoâng ñoåi b) AA’ + BB’ + CC’ khoâng ñoåi Giaûi Goïi h = AH laø chieàu cao cuûa tam giaùc ABC thì h khoâng ñoåi Goïi khoaûng caùch töø M ñeán caùc caïnh AB; BC; CA laø MP; MQ; MR thì A’D + B’E + C’F = MQ + MR + MP Vì M naèm trong tam giaùc ABC neân A SBMC + SCMA + SBMA = SABC E BC.(MQ + MR + MP) = BC . AH F C' R P MQ + MR + MP = AH A’D + B’E + C’F = AH = h B' A' Vaäy: A’D + B’E + C’F = AH = h khoâng ñoåi M B Q D C b) AA’ + BB’ + CC’ = (AH – A’D)+(BE – B’E) (CF – C’F) = (AH + BE + CF) – (A’D + B’E + C’F) = 3h – h = 2h khoâng ñoåi Baøi 5: Cho tam giaùc ABC coù BC baèng trung bình coäng cuûa AC vaø AB; Goïi I laø giao ñieåm cuûa caùc phaân giaùc, G laø troïng taâm cuûa tam giaùc. Chöùng minh: IG // BC Giaûi Goïi khoaûng caùch töø a, I, G ñeán BC laàn löôït laø AH, IK, GD Vì I laø giap ñieåm cuûa ba ñöôøng phaân giaùc neân khoaûng caùch töø I ñeán ba caïnh AB, BC, CA baèng nhau vaø baèng IK A Vì I naèm trong tam giaùc ABC neân: I G SABC = SAIB + SBIC + SCIA BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1) B H K D M C TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 AB + CA Maø BC = AB + CA = 2 BC (2) 2 1 Thay (2) vaøo (1) ta coù: BC. AH = IK. 3BC IK = AH (a) 3 Vì G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC neân: 1 1 1 SBGC = SABC BC . GD = BC. AH GD = AH (b) 3 3 3 Töø (a) vaø (b) suy ra IK = GD hay khoaûng caùch töø I, G ñeán BC baèng nhau neân IG // BC Baøi taäp veà nhaø: 1) Cho C laø ñieåm thuoäc tia phaân giaùc cuûa x· Oy = 600 , Mlaø ñieåm baát kyø naèm treân ñöôøng vuoâng goùc vôùi OC taïi C vaø thuoäc mieàn trong cuûa x· Oy , goïi MA, MB thöù töï laø khoaûng caùch töø M ñeán Ox, Oy. Tính ñoä daøi OC theo MA, MB 2) Cho M laø ñieåm naèm trong tam giaùc ñeàu ABC. A’, B’, C’ laø hình chieáu cuûa M treân caùc caïnh BC, AC, AB. Caùc ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi BC taïi C, vuoâng goùc vôùi CA taïi A , vuoâng goùc vôùi AB taïi B caét nhau ôû D, E, F. Chöùng minh raèng: a) Tam giaùc DEF laø tam giaùc ñeàu b) AB’ + BC’ + CA’ khoâng phuï thuoäc vò trí cuûa M trong tam giaùc ABC CHUYEÂN ÑEÀ 16 – BAÁT ÑAÚNG THÖÙC PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn lu ý A B A B 0 1-§inhnghÜa: A B A B 0 2-tÝnh chÊt + A>B B A + A > B > 0 An > Bn n + A>B vµ B >C A > C + A > B An > Bn víi n lÎ + A>B A + C >B + C + A > B An > Bn víi n ch½n + A>B vµ C > D A +C > B + D TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 + A>B vµ C > 0 A.C > B.C + m > n > 0 vµ A > 1 Am > An + A>B vµ C n > 0 vµ 0 0 A B 3 - mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc + A2 0 víi  A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + An 0 víi A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + A 0 víi A (dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + -A 0) + A B A B ( dÊu = x¶y ra khi A.B B Ta chøng minh A – B > 0 Lu ý dïng h»ng bÊt ®¼ng thøc M2 0 víi  M VÝ dô 1  x, y, z chøng minh r»ng : a) x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx b) x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz Gi¶i: 1 a) Ta xÐt hiÖu : x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx = .2 .( x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx) 2 1 = (x y)2 (x z)2 (y z)2 0 ®óng víi mäi x;y;z R 2 V× (x-y)2 0 víix ; y .DÊu b»ng x¶y ra khi x = y (x- z)2 0 víix ; z . DÊu b»ng x¶y ra khi x = z (y- z)2 0 víi z; y . DÊu b»ng x¶y ra khi z = y VËy x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx . DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z b)Ta xÐt hiÖu: x2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z)2 0 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 ®óng víi mäi x;y;z R VËy x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z R DÊu b»ng x¶y ra khi x + y = z VÝ dô 2: chøng minh r»ng : 2 2 2 2 2 a 2 b 2 a b a b c a b c a) ; b) c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n 2 2 3 3 gi¶i a) Ta xÐt hiÖu 2 2 2 2 2 2 2 a b a b 2 a b a 2ab b 1 2 2 2 2 1 2 = = 2a 2b a b 2ab = a b 0 2 2 4 4 4 4 2 a 2 b 2 a b VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a = b 2 2 2 2 2 2 a b c a b c 1 2 2 2 b)Ta xÐt hiÖu: =  a b b c c a  0 3 3 9 2 a 2 b 2 c 2 a b c VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c 3 3 2 a 2 a 2 a 2 a a a c)Tæng qu¸t: 1 2 n 1 2 n n n * Tãm l¹i c¸c bíc ®Ó chøng minh A B theo ®Þnh nghÜa Bíc 1: Ta xÐt hiÖu H = A - B Bíc 2:BiÕn ®æi H = (C+D)2 hoÆc H=(C+D)2 + .+(E+F) 2 Bíc 3: KÕt luËn A B 2) ph¬ng ph¸p 2 : Dïng phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng Lu ý: Ta biÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi bÊt ®¼ng thøc ®óng hoÆc bÊt ®¼ng thøc ®· ®îc chøng minh lµ ®óng. VÝ dô 1: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng b 2 a) a 2 ab b)a 2 b 2 1 ab a b c) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 a b c d e 4 Gi¶i: TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 b 2 a) a 2 ab 4a 2 b 2 4ab 4a 2 4a b 2 0 2a b 2 0 (B®t nµy lu«n ®óng) 4 b 2 VËya 2 ab (dÊu b»ng x¶y ra khi 2a = b) 4 b) a 2 b 2 1 ab a b 2(a 2 b 2 1 2(ab a b) a 2 2ab b 2 a 2 2a 1 b 2 2b 1 0 (a b) 2 (a 1) 2 (b 1) 2 0 (lu«n ®óng) VËy a 2 b 2 1 ab a b DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = 1 c) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 a b c d e 4 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 4a b c d e a 2 4ab 4b 2 a 2 4ac 4c 2 a 2 4ad 4d 2 a 2 4ac 4c 2 0 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a 2c 2 0 VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: a10 b10 a 2 b 2 a8 b8 a 4 b 4 Gi¶i: a10 b10 a 2 b 2 a8 b8 a 4 b 4 a12 a10b 2 a 2b10 b12 a12 a8b 4 a 4b8 b12 a8b 2 a 2 b 2 a 2b8 b 2 a 2 0 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0 x.y.z 1 1 1 1 VÝ dô 4: cho ba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n: x y z x y z Chøng minh r»ng : cã ®óng mét trong ba sè x,y,z lín h¬n 1 Gi¶i: XÐt (x-1)(y-1)(z-1) = xyz + (xy + yz + zx) + x + y + z - 1 1 1 1 1 1 1 = (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz( ) = x + y + z - ( ) 0 x y z x y z 1 1 1 (v× 1 x.y.z>1 M©u thuÉn gt x.y.z =1 b¾t buéc ph¶i x¶y ra trêng hîp trªn tøc lµ cã ®óng 1 trong ba sè x ,y ,z lµ sè lín h¬n 1 3) Ph¬ng ph¸p 3: dïng bÊt ®¼ng thøc quen thuéc A) mét sè bÊt ®¼ng thøc hay dïng 1) C¸c bÊt ®¼ng thøc phô: a) x 2 y 2 2xy b) x 2 y 2 xy dÊu( = ) khi x = y = 0 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 a b c) x y 2 4xy d) 2 b a a a a a n 2)BÊt ®¼ng thøc C« sy: 1 2 3 n a a a a Víi a 0 n 1 2 3 n i 3)BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski 2 2 2 2 2 2 2 a2 a2 an . x1 x2 n a1x1 a2 x2 an xn 4) BÊt ®¼ng thøc Trª-b - sÐp: a b c aA bB cC a b c A B C NÕu . A B C 3 3 3 a b c aA bB cC a b c A B C NÕu . A B C 3 3 3 a b c DÊu b»ng x¶y ra khi A B C B) c¸c vÝ dô vÝ dô 1 Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b) (b+c)(c+a) 8abc Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc phô: x y 2 4xy Tacã a b 2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac a b 2 b c 2 c a 2 64a 2b 2c 2 8abc 2 (a + b)(b + c)(c + a) 8abc DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c a3 b3 c3 1 vÝ dô 2: Cho a > b > c > 0 vµ a 2 b 2 c 2 1 chøng minh r»ng b c a c a b 2 2 2 2 a b c Do a,b,c ®èi xøng , gi¶ sö a b c a b c b c a c a b ¸p dông B§T Trª- b-sÐp ta cã a b c a 2 b 2 c 2 a b c 1 3 1 a 2 . b 2 . c 2 . . =. = b c a c a b 3 b c a c a b 3 2 2 a 3 b3 c 3 1 1 VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c = b c a c a b 2 3 vÝ dô 3: Cho a,b,c,d > 0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng : TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 a 2 b 2 c 2 d 2 a b c b c d d c a 10 Ta cã a 2 b 2 2ab ; c 2 d 2 2cd 1 1 1 Do abcd =1 nªn cd = (dïng x ) ab x 2 1 Ta cã a 2 b 2 c 2 2(ab cd) 2(ab ) 4 (1) ab MÆt kh¸c: a b c b c d d c a = (ab + cd) + (ac + bd) + (bc + ad) 1 1 1 = ab ac bc 2 2 2 a 2 b 2 c 2 d 2 a b c b c d d c a 10 ab ac bc vÝ dô 4: Chøng minh r»ng : a 2 b 2 c 2 ab bc ac Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã 12 12 12 (a 2 b 2 c 2 ) 1.a 1.b 1.c 2 3 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 2 ab bc ac a 2 b 2 c 2 ab bc ac (®pcm) DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c 4) Ph¬ng ph¸p 4: dïng tÝnh chÊt cña tû sè A. KiÕn thøc 1) Cho a, b ,c lµ c¸c sè d¬ng th× a a a c a a a c a – NÕu 1 th× b – NÕu 1 th× b b b c b b b c a c a a c c 2) NÕu b,d >0 th× tõ b d b b d d B. C¸c vÝ dô: a b c d vÝ dô 1: Cho a,b,c,d > 0 .Chøng minh r»ng :1 2 a b c b c d c d a d a b a a a d Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã 1 (1) a b c a b c a b c d a a MÆt kh¸c : (2) a b c a b c d a a a d Tõ (1) vµ (2) ta cã < < (3) a b c d a b c a b c d b b b a T¬ng tù ta cã : (4) a b c d b c d a b c d TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 c c b c d d d c (5); (6) a b c d c d a a b c d a b c d d a b a b c d céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã a b c d 1 2 (®pcm) a b c b c d c d a d a b a c vÝ dô 2 : Cho: 0 b d a ab cd c Chøng minh r»ng 1 chøng minh r»ng : 2 n 1 n 2 n n 4 1 1 1 Ta cã víi k = 1,2,3, ,n-1 n k n n 2n 1 1 1 1 1 n 1 Do ®ã: n 1 n 2 2n 2n 2n 2n 2 1 1 1 1 VÝ dô 5: CMR: A = 1 vậi n ≥ 2 kh«ng lµ sè tù nhiªn 22 32 42 n 2 1 1 1 1 HD: ; ; 22 1.2. 32 2.3 VÝ dô 6: Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chøng minh r»ng : a b b c c d d a 2 3 a b c b c d c d a d a b TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Gi¶i : a b a b a b d V× a ,b ,c ,d > 0 nªn ta cã: (1) a b c d a b c a b c d b c b c b c a (2) a b c d b c d a b c d d a d a d a c (3) a b c d d a b a b c d Céng c¸c vÕ cña 4 bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã : a b b c c d d a 2 3 (®pcm) a b c b c d c d a d a b 5. Ph¬ng ph¸p 5:Dïng bÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c Lu ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a; b; c > 0 Vµ |b-c| (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i 0 a b c a2 a(b c) 2 a)V× a,b,c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã 0 b a c b b(a c) 2 0 c a b c c(a b) Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã a2 + b2 + c2 b-c a 2 a 2 (b c) 2 > 0 b > a-c b2 b2 (c a)2 > 0 c > a-b c2 c2 (a b)2 0 Nh©n vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc ta ®îc: a2b2c2 a2 b c 2 b2 c a 2 c2 a b 2 a2b2c2 a b c 2 b c a 2 c a b 2 abc a b c . b c a . c a b VÝ dô2: (®æi biÕn sè) a b c 3 Cho a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng (1) b c c a a b 2 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 y z x z x y x y z §Æt x= b + c ; y= c + a ;z = a + b ta cã a = ; b = ; c = 2 2 2 y z x z x y x y z 3 y z x z x y ta cã (1) 1 1 1 3 2x 2y 2z 2 x x y y z z y x z x z y ( ) ( ) ( ) 6 lµ B®t ®óng? x y x z y z VÝ dô 3: (®æi biÕn sè) 1 1 1 Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c 0 x y z Theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: 3 1 1 1 1 1 1 1 x y z 3.xyz vµ 3. .3 x y z . 9 x y z xyz x y z 6) ph¬ng ph¸p lµm tréi : Chøng minh B§T sau : 1 1 1 1 a) 1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) 2 1 1 1 b) 1 2 1.2 1.2.3 1.2.3 n Gi¶i : 1 1 2k 1 (2k 1) 1 1 1 a) Ta cã : . 2n 1 . 2n 1 2 (2k 1).(2k 1) 2 2k 1 2k 1 Cho n ch¹y tõ 1 ®Õn k .Sau ®ã céng l¹i ta cã 1 1 1 1 2 1 . 1 (®pcm) 1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) 2 2n 1 2 1 1 1 1 1 1 b) Ta cã : 1 1 1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 n 1 .n 1 1 1 1 1 1 < 1 1 2 2 (®pcm) 2 2 3 n 1 n n TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Bµi tËp vÒ nhµ: 1) Chøng minh r»ng: x2 + y2 + z2 +3 2 (x + y + z) HD: Ta xÐt hiÖu: x2 + y2 + z2 +3 – 2( x+ y +z ) = x2 - 2x + 1 + y2 -2y +1 + z2 -2z +1 a b c 2) Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c. Chøng minh r»ng : 1 2 b c c a a b a a a 2a a a (HD: vµ ) b c a b c a b c b c a b c 1 1 1 1 1 3) 1 0. Chøng minh r»ng a + b + c a b c bc ac b a ac ab bc ab HD: = c 2c; ? ; ? a b a b b c a c CHUYEÂN ÑEÀ 17 – VEÕ ÑÖÔØNG THAÚNG SONG SONG ÑEÅ TAÏO THAØNH CAÙC CAËP ÑOAÏN THAÚNG TYÛ LEÄ A.Phöông phaùp: Trong caùc baøi taäp vaän duïng ñònh lí Taleùt. Nhieàu khi ta caàn veõ theâm ñöôøng phlaø moät ñöôøng thaúng song song vôùi moät ñöôøng thaúng cho tröôùc,. Ñaây laø moät caùch veõ ñöôøng phuï ïhay duøng, vì nhôø ñoù maø taïo thaønh ñöôïc caùc caëp ñoaïn thaúng tæ leä B. Caùc ví duï: 1) Ví duï 1: Treân caùc caïnh BC, CA, AB cuûa tam giaùc ABC, laáy töông öùng E A F caùc ñieåm P, Q, R sao cho ba ñöôøng thaúng AP, BQ, CR caét Q nhau taïi moät ñieåm. R O TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG B P C
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 AR BP CQ Chöùng minh: . . 1 (Ñònh lí Ceâ – va) RB PC QA Giaûi Qua A keû ñöôøng thaúng song song vôùi BC caét caùc ñöôøng thaúng CR, BQ taïi E, F. Goïi O laø giao ñieåm cuûa AP, BQ, CR AR AE ARE BRC = (a) RB BC BP OP BOP FOA = (1) FA OA PC PO POC AOE = (2) AE AO BP PC BP FA Töø (1) vaø (2) suy ra: = (b) FA AE PC AE CQ BC AQF CQB = (c) AQ FA AR BP CQ AE FA BC Nhaân (a), (b), (c) veá theo veá ta coù: . . . . 1 RB PC QA BC AE FA AR BP CQ * Ñaûo laïi: Neáu . . 1 thì bai ñöôøng thaúng AP, BQ, CR ñoàng quy RB PC QA 2) Ví duï 2: Moät ñöôøng thaêng baát kyø caét caùc caïnh( phaàn keùo daøi cuûa caùc caïnh) cuûa tam giaùc ABC taïi P, Q, R. RB.QA.PC Chöùng minh raèng: 1 (Ñònh lí Meâ-neâ-la-uyùt) RA.CQ.BP Giaûi: Qua A keû ñöôøng thaúng song song vôùi BC caét PR taïi E. Ta coù RB BP RAE RBP = (a) RA AE QA AE AQE CQP = (b) QC CP TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Nhaân veá theo veá caùc ñaúng thöùc (a) vaø (b) ta coù RB QA BP AE . = . (1) RA QC AE CP PC RB PC QA BP AE PC Nhaân hai veá ñaúng thöùc (1) vôùi ta coù: . . = . . 1 BP RA BP QC AE CP BP RB.QA.PC Ñaûo laïi: Neáu 1 thì ba ñieåm P, Q, R thaúng haøng RA.CQ.BP R 3) Ví duï 3: Cho tam giaùc ABC, trung tuyeán AM. Goïi I laø ñieåm baát kyø treân A E caïnh BC. Ñöôøng thaúng qua I song song vôùi AC caét AB ôû K; ñöôøng Q thaúng qua I song song vôùi AB caét AC, AM theo thöù töï ôû D, E. Chöùng minh DE = BK A Giaûi B E P C Qua M keû MN // IE (N AC).Ta coù: N DE AE DE MN K D = (1) MN AN AE AN MN // IE, maø MB = MC AN = CN (2) B I M C DE MN Töø (1) vaø (2) suy ra (3) AE CN MN CN MN AB Ta laïi coù (4) AB AC CN AC DE AB Töø (4) vaø (5) suy ra (a) AE AC BK AB Töông töï ta coù: (6) KI AC Vì KI // AC, IE // AC neân töù giaùc AKIE laø hình bình haønh neân KI = AE (7) BK BK AB Töø (6) vaø (7) suy ra (b) KI AE AC DE BK Töø (a) vaø (b) suy ra DE = BK AE AE TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
K 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 4) Ví duï 4: I F B Ñöôøng thaúng qua trung ñieåm cuûa caïnh ñoái AB, CD cuûa töù M A giaùc ABCD caét caùc ñöôøng thaúng AD, BC theo thöù töï ôû I, K. E Chöùng minh: IA . KC = ID. KB Giaûi D N C Goïi M, N theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa AB, CD Ta coù AM = BM; DN = CN Veõ AE, BF laàn löôït song song vôùi CD AME = BMF (g.c.g) AE = BF IA AE BF Theo ñònh lí Taleùt ta coù: = (1) ID DN CN KB BF Cuûng theo ñònh lí Taleùt ta coù: = (2) KC CN IA KB Töø (1) vaø (2) suy ra = IA . KC = ID. KB ID KC 5) Ví duï 5: Cho x· Oy , caùc ñieåm A, B theo thöù töï chuyeån ñoäng treân caùc tia Ox, Oy sao cho 1 1 1 + (k laø haèng soá). Chöùng minh raèng AB luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh OA OB k Giaûi y Veõ tia phaân giaùc Oz cuûa x· Oy caét AB ôû C. veõ CD // OA B z (D OB) D· OC = D· CO = A· OC D C COD caân taïi D DO = DC CD BD CD OB - CD O A x Theo ñònh lí Taleùt ta coù = OA OB OA OB CD CD 1 1 1 1 (1) OA OB OA OB CD TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 1 1 1 Theo giaû thieát thì + (2) OA OB k Töø (1) vaø (2) suy ra CD = k , khoâng ñoåi Vaäy AB luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh laø C sao cho CD = k vaø CD // Ox , D OB 6) Ví duï 6: Cho ñieåm M di ñoäng treân ñaùy nhoû AB cuûa hình thang ABCD, Goïi O laø giao ñieåm cuûa hai caïnh beân DA, CB. I P O K Goïi G laø giao ñieåm cuûa OA vaø CM, H laø giao ñieåm cuûa G OB vaø DM. Chöùng minh raèng: Khi M di ñoäng treân AB H A M OG OH F B thì toång + khoâng ñoåi GD HC Giaûi Qua O keû ñöôøng thaúng song vôùi AB caét CM, DM theo D Q C thöù töï ôû I vaø K. Theo ñònh lí Taleùt ta coù: OG OI OH OK OG OH OI OK IK ; + GD CD HC CD GD HC CD CD CD OG OH IK + (1) GD HC CD Qua M veõ ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AB caét IK, CD theo thöù töï ôû P vaø Q, ta coù: IK MP FO khoâng ñoåi vì FO laø khoaûng caùch töø O ñeán AB, MQ laø ñöôøng cao cuûa CD MQ MQ hình thang neân khoâng ñoåi (2) OG OH FO Töø (1) vaø (2) suy ra + khoâng ñoåi GD HC MQ 7) Ví duï 7: Cho tam giaùc ABC (AB < AC), phaân giaùc AD. Treân AB laáy ñieåm M, treân AC laáy ñieåm N sao cho BM = CN, goïi giao ñieåm cuûa CM vaø BN laø O, Töø O veõ ñöôøng thaúng song song vôùi AD caét AC, AB taïi E vaø F. TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 E Chöùng minh raèng: AB = CF; BE = CA Giaûi. A G · · F AD laø phaân giaùc neân BAD = DAF M N EI // AD B· AD = A· EF (goùc ñoàng vò) P O Maø D· AF O· FC (ñoàng vò); A· FE = O· FC (ñoái ñænh) K Suy ra A· EF A· FE AFE caân taïi A AE =AF (a) B D I C Q Aùp duïng ñònh lí Taleùt vaøo ACD , vôùi I laø giao ñieåm CF CI CF CA cuûa EF vôùi BC ta coù = (1) CA CD CI CD CA BA AD laø phaân giaùc cuûa B· AC neân (2) CD BD CF BA Töø (1) vaø (2) suy ra (3) CI BD Keû ñöôøng cao AG cuûa AFE . BP // AG (P AD); CQ // AG (Q OI) thì B· PD = C· QI = 900 Goïi trung ñieåm cuûa BC laø K, ta coù BPK = CQK (g.c.g) CQ = BP BPD = CQI (g.c.g) CI = BD (4) CF BA Thay (4) vaøo (3) ta coù CF = BA (b) BD BD Töø (a) vaø (b) suy ra BE = CA Baøi taäp veà nhaø 1) Cho tam giaùc ABC. Ñieåm D chia trong BC theo tæ soá 1 : 2, ñieåm O chia trong AD KA theo tæ soá 3 : 2. goïi K laø giao ñieåm cuûa BO vaø AC. Chöùng minh raèng khoâng ñoåi KC 2) Cho tam giaùc ABC (AB > AC). Laáy caùc ñieåm D, E tuyø yù thöù töï thuoäc caùc caïnh AB, AC sao cho BD = CE. Goïi giao ñieåm cuûa DE, BC laø K, chöùng minh raèng : KE Tæ soá khoâng ñoåi khi D, E thay ñoåi treân AB, AC KD TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 (HD: Veõ DG // EC (G BC). CHUYEÂN ÑEÀ 18 – BOÅ ÑEÀ HÌNH THANG VAØ CHUØM ÑÖÔØNG THAÚNG ÑOÀNG QUY A. Kieán thöùc 1) Boå ñeà hình thang: “Trong hình thang coù hai ñaùy khoâng baèng nhau, ñöôøng thaúng ñi qua giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng cheùo vaø ñi qua giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng thaúng chöùa hai caïnh beân thì ñi qua trung ñieåm cuûa hai ñaùy” Chöùng minh: Goïi giao ñieåm cuûa AB, CD laø H, cuûa AC, BD laø G, trung ñieåm cuûa AD, BC laø E vaø F Noái EG, FG, ta coù: ADG CBG (g.g) , neân : AD AG 2AE AG AE AG (1) CB CG 2CF CG CF CG H Ta laïi coù : E· AG F· CG (SL trong ) (2) Töø (1) vaø (2) suy ra : AEG CFG (c.g.c) E Do ñoù: A· GE C· GF E , G , H thaúng haøng (3) A / / D Töông töï, ta coù: AEH BFH A· HE B· HF G H , E , F thaúng haøng (4) // // Tõöø (3) vaø (4) suy ra : H , E , G , F thaúng haøng B F C 2) Chuøm ñöôøng thaúng ñoàng quy: O Neáu caùc ñöôøng thaúng ñoàng quy caét hai ñöôøng thaúng song song thì chuùng ñònh ra treân hai ñöôøng thaúng song song aáy m A B C caùc ñoaïn thaúng töông öùng tæ leä A' B' C' n TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG a b c
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Neáu m // n, ba ñöôøng thaúng a, b, c ñoàng quy ôû O chuùng caét m taïi A, B, C vaø caét n taïi A’, B’, C’ thì AB BC AC AB A'B' AB A'B' = hoaëc = ; A'B' B'C' A'C' BC B'C' AC A'C' * Ñaûo laïi: + Neáu ba ñöôøng thaúng trong ñoù coù hai ñöôøng thaúng caét nhau, ñònh ra treân hai ñöôøng thaúng song song caùc caëp ñoaïn thaúng töông öùng tæ leä thì ba ñöôøng thaúng ñoù ñoàng quy + Neáu hai ñöôøng thaúng bò caét bôûi ba ñöôøng thaúng ñoàng quy taïo thaønh caùc caëp ñoaïn thaúng töông öùng tæ leä thì chuùng song song vôùi nhau B. Aùp duïng: 1) Baøi 1: Cho töù giaùc ABCD coù M laø trung ñieåm CD, N laø trung ñieåm CB. Bieát AM, AN caét BD thaønh ba ñoaïn baèng nhau. Chöùng minh raèng ABCD laø hình bình haønh Giaûi A D G Goïi E, F laø giao ñieåm cuûa AM, AN vôùi BD; G, H laø giao F ñieåm cuûa MN vôùi AD, BD E M MN // BC (MN laø ñöôøng trung bình cuûa BCD) B N C Töù giaùc HBFM laø hình thang coù hai caïnh beân ñoøng quy taïi A, N laø trung ñieåm cuûa ñaùy BF neân theo boå ñeà H hình thang thì N laø trung ñieåm cuûa ñaùy MH MN = NH (1) Töông töï : trong hình thang CDEN thì M laø trung ñieåm cuûa GN GM = MN (2) Töø (1) vaø (2) suy ra GM = MN = NH Ta coù BNH = CNM (c.g.c) B· HN = C· MN BH // CM hay AB // CD (a) Töông töï: GDM = NCM (c.g.c) D· GM = C· NM GD // CN hay AD // CB (b) TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Töø (a) vaø (b) suy ra töù giaùc ABCD coù caùc caëp caïnh ñoái song song neân laø hình bình haønh 2) Baøi 2: Cho ABC coù ba goùc nhoïn, tröïc taâm H, moät ñöôøng thaúng qua H caét AB, AC thöù töï taï P, Q sao cho HP = HQ. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Chöùng minh: HM  PQ Giaûi A P Goïi giao ñieåm cuûa AH vaø BC laø I N H Töø C keû CN // PQ (N AB), Q K ta chöùng minh MH  CN HM  PQ Töù giaùc CNPQ laø hình thang, coù H laø trung ñieåm PQ, hai B M I C caïnh beân NP vaø CQ ñoàng quy taïi A neân K laø trung ñieåm CN MK laø ñöôøng trung bình cuûa BCN MK // CN MK // AB (1) H laø tröïc taâm cuûa ABC neân CH A B (2) Töø (1) vaø (2) suy ra MK  CH MK laø ñöôøng cao cuûa CHK (3) Töø AH  BC MC HK MI laø ñöôøng cao cuûa CHK (4) Töø (3) vaø (4) suy ra M laø tröïc taâm cuûa CHK MH CN MH PQ 3) baøi 3: Cho hình chöõ nhaät ABCD coù M, N thöù töï laø trung ñieåm cuûa AD, BC. Goïi E laø moät ñieåm baát kyø thuoäc tia ñoái cuûa tia DC, K laø giao ñieåm cuûa EM vaø AC. Chöùng minh raèng: NM laø tia phaân giaùc cuûa K· NE Giaûi Goïi H laø giao ñieåm cuûa KN vaø DC, giao ñieåm cuûa AC vaø MN laø I thì IM = IN Ta coù: MN // CD (MN laø ñöôøng trung bình cuûa hình chöõ nhaät ABCD) Töù giaùc EMNH laø hình thang coù hai caïnh beân EM vaø HN ñoàng quy taïi K vaø I laø trung ñieåm cuûa MN neân C laø trung ñieåm cuûa EH TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
B A 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 K N // // M Trong ENH thì NC vöøa laø ñöôøng cao, vöøa laø ñöôøng I trung tuyeán neân ENH caân taïi N NC laø tia phaân giaùc cuûa E· NH maø NC  MN (Do NM  BC – MN // H C D E AB) NM laø tia phaân giaùc goùc ngoaøi taïi N cuûa ENH Vaäy NM laø tia phaân giaùc cuûa K· NE Baøi 4: Treân caïnh BC = 6 cm cuûa hình vuoâng ABCD laáy ñieåm E sao cho BE = 2 cm. Treân tia ñoái cuûa tia CD laáy ñieåm F sao cho CF = 3 cm. Goïi M laø A B H giao ñieåm cuûa AE vaø BF. Tính A· MC M Giaûi E Goïi giao ñieåm cuûa CM vaø AB laø H, cuûa AM vaø DF laø C G G D F BH AB BH 6 Ta coù: = CF FG 3 FG AB BE 2 1 Ta laïi coù = = CG = 2AB = 12 cm CG EC 4 2 BH 6 FG = 9 cm BH = 2 cm BH = BE 3 9 BAE = BCH (c.g.c) B· AE = B· CH maø B· AE + B· EA = 900 Maët khaùc B· EA = M· EC ; M· CE = B· CH M· EC + M· CE = 900 A· MC = 900 Baøi 5: Cho töù giaùc ABCD. Qua ñieåm E thuoäc AB, H thuoäc AC veõ caùc ñöôøng thaúng song song vôùi BD, caét caùc caïnh coøn laïi cuûa töù giaùc taïi F, G a) Coù theå keát luaän gì veà caùc ñöôøng thaúng EH, AC, FG b) Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD, cho bieát OB = OD. Chöùng minh raèng ba ñöôøng thaúng EG, FH, AC ñoàng quy TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Giaûi a) Neáu EH // AC thì EH // AC // FG Neáu EH vaø AC khoâng song song thì EH, AC, FG ñoàng B E quy A H b) Goïi giao ñieåm cuûa EH, HG vôùi AC M O Trong hình thang DFEB coù hai caïnh beân DF, BE ñoàng F N quy taïi A vaø OB = OD neân theo boå ñeà hình thang thì M laø trung ñieåm cuûa EF D G C Töông töï: N laø trung ñieåm cuûa GH ME MF Ta coù = neân ba ñöôøng thaúng EG, FH, AC ñoàng quy taïi O GN HN CHUYEÂN ÑEÀ 19 – TÌM GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT, NHOÛ NHAÁT CUÛA MOÄT BIEÅU THÖÙC A. Giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa moät bieåu thöùc 1) Khaùi nieäm: Neáu vôùi moïi giaù trò cuûa bieán thuoäc moät khoaûng xaùc ñònh naøo ñoù maø giaù trò cuûa bieåu thöùc A luoân luoân lôùn hôn hoaëc baèng (nhoû hôn hoaëc baèng) moät haèng soá k vaø toàn taïi moät giaù trò cuûa bieán ñeå A coù giaù trò baèng k thì k goïi laø giaù trò nhoû nhaát (giaù trò lôùn nhaát) cuûa bieåu thöùc A öùng vôùi caùc giaù trò cuûa bieán thuoäc khoaûng xaùc ñònh noùi treân 2) Phöông phaùp a) Ñeå tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A, ta caàn: + Chöùng minh A k vôùi k laø haèng soá TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 + Chæ ra daá “=” coù theå xaåy ra vôùi giaù trò naøo ñoù cuûa bieán b) Ñeå tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa A, ta caàn: + Chöùng minh A k vôùi k laø haèng soá + Chæ ra daá “=” coù theå xaåy ra vôùi giaù trò naøo ñoù cuûa bieán Kí hieäu : min A laø giaù trò nhoû nhaát cuûa A; max A laø giaù trò lôùn nhaát cuûa A B.Caùc baøi taäp tìm Giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa moät bieåu thöùc I) Daïng 1: Tam thöùc baäc hai Ví duï 1 : a) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A = 2x2 – 8x + 1 b) Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa B = -5x2 – 4x + 1 Giaûi a) A = 2(x2 – 4x + 4) – 7 = 2(x – 2)2 – 7 - 7 min A = - 7 x = 2 4 2 4 9 9 2 9 b) B = - 5(x2 + x) + 1 = - 5(x2 + 2.x. + ) + = - 5(x + )2 5 5 25 5 5 5 5 9 2 max B = x = 5 5 b) Ví duï 2: Cho tam thöùc baäc hai P(x) = a x2 + bx + c a) Tìm min P neáu a > 0 b) Tìm max P neáu a 0 thì a(x + )2 0 do ñoù P k min P = k x = - 2a 2a TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 b b b) Neáu a < 0 thì a(x + )2 0 do ñoù P k max P = k x = - 2a 2a II. Daïng 2: Ña thöùc coù daáu giaù trò tuyeät ñoái 1) Ví duï 1: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa a) A = (3x – 1)2 – 4 3x - 1 + 5 ñaët 3x - 1 = y thì A = y2 – 4y + 5 = (y – 2)2 + 1 1 x = 1 3x - 1 = 2 min A = 1 y = 2 3x - 1 = 2 1 3x - 1 = - 2 x = - 3 b) B = x - 2 + x - 3 B = x - 2 + x - 3 = B = x - 2 + 3 - x x - 2 + 3 - x = 1 min B = 1 (x – 2)(3 – x) 0 2 x 3 2) Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa C = x2 - x + 1 x2 - x - 2 Ta coù C = x2 - x + 1 x2 - x - 2 = x2 - x + 1 2 + x - x2 x2 - x + 1 + 2 + x - x2 = 3 min C = 3 (x2 – x + 1)(2 + x – x2) 0 2 + x – x2 0 x2 – x – 2 0 (x + 1)(x – 2) 0 - 1 x 2 3) Ví duï 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1) Vµ x 2 x 3 x 2 3 x x 2 3 x = 1 (2) VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1 + 3 = 4 Ta cã tõ (1) DÊu b»ng x¶y ra khi 1 x 4 (2) DÊu b»ng x¶y ra khi 2 x 3 VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2 x 3 III.Daïng 3: Ña thöùc baäc cao 1) Ví duï 1: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12) Ñaët x2 – 7x + 6 thì A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36 - 36 Min A = - 36 y = 0 x2 – 7x + 6 = 0 (x – 1)(x – 6) = 0 x = 1 hoaëc x = 6 b) B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3 = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + 2 x - y = 0 = (x – y)2 + (x – 1)2 + 2 2 x = y = 1 x - 1 = 0 c) C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y Ta coù C + 3 = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + (xy – x – y + 1) = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1). Ñaët x – 1 = a; y – 1 = b thì b b2 3b2 b 3b2 C + 3 = a2 + b2 + ab = (a2 + 2.a. + ) + = (a + )2 + 0 2 4 4 2 4 Min (C + 3) = 0 hay min C = - 3 a = b = 0 x = y = 1 2) Ví duï 2: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa a) C = (x + 8)4 + (x + 6)4 Ñaët x + 7 = y C = (y + 1)4 + (y – 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + 1 + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + 1 = 2y4 + 12y2 + 2 2 min A = 2 y = 0 x = - 7 b) D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9 = (x4 – 6x3 + 9x2 ) + (x2 – 6x + 9) = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 0 min D = 0 x = 3 IV. Daïng phaân thöùc: 1. Phaân thöùc coù töû laø haèng soá, maãu laø tam thöùc baäc hai Bieåu thöùc daïng naøy ñaït GTNN khi maãu ñaït GTLN 2 - 2 2 Ví duï : Tìm GTNN cuûa A = = 6x - 5 - 9x2 9x2 - 6x + 5 (3x - 1)2 4 1 1 2 2 1 Vì (3x – 1)2 0 (3x – 1)2 + 4 4 A - (3x - 1)2 4 4 (3x - 1)2 4 4 2 1 1 min A = - 3x – 1 = 0 x = 2 3 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 2. Phaân thöùc coù maãu laø bình phöông cuûa moät nhò thöùc 3x2 - 8x + 6 a) Ví duï 1: Tìm GTNN cuûa A = x2 - 2x + 1 +) Caùch 1: Taùch töû thaønh caùc nhoùm coù nhaân töû chung vôùi maãu 3x2 - 8x + 6 3(x2 - 2x + 1) - 2(x - 1) + 1 2 1 1 A = = 3 . Ñaët y = Thì x2 - 2x + 1 (x - 1)2 x - 1 (x - 1)2 x - 1 1 A = 3 – 2y + y2 = (y – 1)2 + 2 2 min A = 2 y = 1 = 1 x = 2 x - 1 +) Caùch 2: Vieát bieåu thöùc A thaønh toång cuûa moät soá vôùi moät phaân thöùc khoâng aâm 3x2 - 8x + 6 2(x2 - 2x + 1) + (x2 - 4x + 4) (x - 2)2 A = = 2 2 x2 - 2x + 1 (x - 1)2 (x - 1)2 min A = 2 x – 2 = 0 x = 2 x b) Ví duï 2: Tìm GTLN cuûa B = x2 20x + 100 x x 1 1 Ta coù B = . Ñaët y = x = 10 thì x2 20x + 100 (x + 10)2 x + 10 y 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 B = ( 10 ).y = - 10y + y = - 10(y – 2.y. y + ) + = - 10 y - + y 20 400 40 10 40 40 1 1 1 Max B = y - = 0 y = x = 10 40 10 10 x2 + y2 c) Ví duï 3: Tìm GTNN cuûa C = x2 + 2xy + y2 1 2 2 2 2 (x + y) (x - y) 2 x + y 1 1 (x - y) 1 1 Ta coù: C = 2 . min A = x = y x2 + 2xy + y2 (x + y)2 2 2 (x + y)2 2 2 3. Caùc phaân thöùc coù daïng khaùc 3 - 4x a)Ví duï : Tìm GTNN, GTLN (Cöïc trò) cuûa A = x2 1 3 - 4x (4x2 4x 4) (x2 1) (x - 2)2 Ta coù: A = 1 1 min A = - 1 x = 2 x2 1 x2 1 x2 1 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 3 - 4x (4x2 4) (4x2 + 4x + 1) (2x 1)2 1 Ta laïi coù: A = 4 4 max A = 4 x = x2 1 x2 1 x2 1 2 C. Tìm GTNN, GTLN cuûa moät bieåu thöùc bieát quan heä giöõa caùc bieán 1) Ví duï 1: Cho x + y = 1. Tìm GTNN cuûa A = x3 + y3 + xy Ta coù A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (vì x + y = 1) a) Caùch 1: Bieåu thò aån naøy qua aån kia, roài ñöa veà moät tam thöùc baäc hai Töø x + y = 1 x = 1 – y 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 neân A = (1 – y) + y = 2(y – y) + 1 = 2(y – 2.y. + ) + = 2 y - + 2 4 2 2 2 2 1 1 Vaäy min A = x = y = 2 2 b) Caùch 2: Söû duïng ñk ñaõ cho, laøm xuaát hieän moät bieåu thöùc môùi coù chöùa A Töø x + y = 1 x2 + 2xy + y2 = 1(1). Maët khaùc (x – y)2 0 x2 – 2xy + y2 0 (2) Coäng (1) vôùi (2) veá theo veá, ta coù: 1 1 1 2(x2 + y2) 1 x2 + y2 min A = x = y = 2 2 2 2)Ví duï 2: Cho x + y + z = 3 a) Tìm GTNN cuûa A = x2 + y2 + z2 b) Tìm GTLN cuûa B = xy + yz + xz Töø Cho x + y + z = 3 Cho (x + y + z)2 = 9 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = 9 (1) 1 Ta coù x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx = .2 .( x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx) 2 1 = (x y)2 (x z)2 (y z)2 0 x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx (2) 2 Ñaúng thöùc xaåy ra khi x = y = z a) Töø (1) vaø (2) suy ra 9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2) x2 + y2 + z2 3 min A = 3 x = y = z = 1 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 b) Töø (1) vaø (2) suy ra 9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx) xy+ yz + zx 3 max B = 3 x = y = z = 1 3) Ví duï 3: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x + y + z = 1 1 1 V× x,y,z > 0 ,¸p dông B§T C«si ta cã: x+ y + z 33 xyz 3 xyz xyz 3 27 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho x+y ; y+z ; x+z ta cã x y . y z . z x 33 x y . y z . x z 2 33 x y . y z . z x 1 8 1 8 DÊu b»ng x¶y ra khi x = y = z = S . 3 27 27 729 8 1 VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ khi x = y = z = 729 3 4) Ví duï 4: Cho xy + yz + zx = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x4 y4 z4 ¸p dông B§T Bunhiacèpski cho 6 sè (x,y,z) ;(x,y,z) 2 2 Ta cã xy yz zx 2 x2 y2 z2 1 x2 y2 z2 (1) ¸p dông B§T Bunhiacèpski cho (x2 , y2 , z2 ) vµ (1,1,1) Ta cã (x2 y2 z2 )2 (12 12 12 )(x4 y4 z4 ) (x2 y2 z2 )2 3(x4 y4 z4 ) 1 Tõ (1) vµ (2) 1 3(x4 y4 z4 ) x4 y4 z4 3 1 3 VËy x4 y4 z4 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ khi x= y = z = 3 3 D. Moät soá chuù yù: 1) Khi tìm GTNN, GTLN ta coù theå ñoåi bieán Ví duï : Khi tìm GTNN cuûa A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta ñaët x – 2 = y thì A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 + 2 2 2) Khi tìm cöïc trò cuûa moät bieåu thöùc, ta coù theå thay ñk cuûa bieåu thöùc naøy ñaït cöïc trò bôûi ñk töông ñöông laø bieåu thöùc khaùc ñaït cöïc trò: TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 1 +) -A lôùn nhaát A nhoû nhaát ; +) lôùn nhaát B nhoû nhaát (vôùi B > 0) B +) C lôùn nhaát C2 lôùn nhaát x4 + 1 Ví duï: Tìm cöïc trò cuûa A = 2 x2 + 1 1 a) Ta coù A > 0 neân A nhoû nhaát khi lôùn nhaát, ta coù A 2 2 1 x + 1 2x2 1 1 1 min = 1 x = 0 max A = 1 x = 0 A x4 + 1 x4 + 1 A b) Ta coù (x2 – 1)2 0 x4 - 2x2 + 1 0 x4 + 1 2x2. (Daáu baèng xaåy ra khi x2 = 1) 2x2 2x2 1 Vì x4 + 1 > 0 1 1 1 1 2 max = 2 x2 = 1 x4 + 1 x4 + 1 A 1 min A = x = 1 2 3) Nhieàu khi ta tìm cöïc trò cuûa bieåu thöùc trong caùc khoaûng cuûa bieán, sau ñoù so saùmh caùc cöïc trò ñoù ñeå ñeå tìm GTNN, GTLN trong toaøn boä taäp xaùc ñònh cuûa bieán y Ví duï: Tìm GTLN cuûa B = 5 - (x + y) a) xeùt x + y 4 - Neáu x = 0 thì A = 0 - Neáu 1 y 3 thì A 3 - Neáu y = 4 thì x = 0 vaø A = 4 b) xeùt x + y 6 thì A 0 So saùnh caùc giaù trò treân cuûa A, ta thaáy max A = 4 x = 0; y = 4 4) Söû duïng caùc haèng baát ñaúng thöùc Ví duï: Tìm GTLN cuûa A = 2x + 3y bieát x2 + y2 = 52 Aùp duïng Bñt Bunhiacoápxki: (a x + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) cho caùc soá 2, x , 3, y ta coù: (2x + 3y)2 (22 + 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262 2x + 3y 26 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 2 x y 3x 2 2 2 3x 2 Max A = 26 = y = x + y = x + = 52 13x = 52.4 x = 4 2 3 2 2 Vaäy: Ma x A = 26 x = 4; y = 6 hoaëc x = - 4; y = - 6 5) Hai soá coù toång khoâng ñoåi thì tích cuûa chuùng lôùn nhaát khi vaø chæ khi chuùng baèng nhau Hai soá coù tích khoâng ñoåi thì toång cuûa chuùng lôùn nhaát khi vaø chæ khi chuùng baèng nhau a)Ví duï 1: Tìm GTLN cuûa A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 khoâng ñoåi neân tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lôùn nhaát khi vaø chæ khi x2 – 3x + 1 = 21 + 3x – x2 x2 – 3x – 10 = 0 x = 5 hoaëc x = - 2 Khi ñoù A = 11. 11 = 121 Max A = 121 x = 5 hoaëc x = - 2 (x + 4)(x + 9) b) Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa B = x (x + 4)(x + 9) x2 13x + 36 36 Ta coù: B = x + 13 x x x 36 36 36 36 Vì caùc soá x vaø coù tích x. = 36 khoâng ñoåi neân x + nhoû nhaát x = x = 6 x x x x 36 A = x + 13 nhoû nhaát laø min A = 25 x = 6 x 6)Trong khi tìm cöïc trò chæ caàn chæ ra raèng toàn taïi moät giaù trò cuûa bieán ñeå xaåy ra ñaúng thöùc chöù khoâng caàn chæ ra moïi giaù trò ñeå xaåy ra ñaúng thöùc Ví duï: Tìm GTNN cuûa A = 11m 5n Ta thaáy 11m taän cuøng baèng 1, 5n taän cuøng baèng 5 Neáu 11m > 5n thì A taän cuøng baèng 6, neáu 11m < 5n thì A taän cuøng baèng 4 khi m = 2; n = 3 thÌ A = 121 124 = 4 min A = 4, chaúng haïn khi m = 2, n = 3 CHUYEÂN ÑEÀ 20 – PHÖÔNG TRÌNH NGHIEÄM NGUYEÂN  - PHÖÔNG PHAÙP 1: Phöông phaùp ñöa veà daïng toång TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8  Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi caùc phöông trình coù caùc bieåu thöùc chöùa aån vieát ñöôïc döôùi daïng toång caùc bình phöông. - Bieán ñoåi phöông trình veà daïng moät veá laø moät toång cuûa caùc bình phöông caùc bieåu thöùc chöùa aån; veá coøn laïi laø toång bình phöông cuûa caùc soá nguyeân (soá soá haïng cuûa hai veá baèng nhau). Caùc ví duï minh hoaï: - Ví duï 1: Tìm x; y Z thoaû maõn: 5x2 4xy y2 169 (1) 2x y 2 x2 144 25 2 2 2 (1) 4x 4xy y x 144 25 169 0 2 2 2x y x 169 0 (II) Töø (I) ta coù: Töông töï töø (II) ta coù: 2 2 2x y 122 x 5 x 5 2x y 132 x 0 ; 2 2 2 x 5 y 2 y 22 x 0 y 13 2 2 2x y 52 x 12 x 12 2x y 0 x 13 ; 2 2 y 19 y 29 2 2 y 26 x 12 x 13 5; 2 ; 5; 22 ; 5;2 ; 5;22 ; 12; 19 ; 12; 29  Vaäy x, y  12;19 ; 12;29 ; 0;13 ; 0; 13 ; 13;26 ; 13; 26  Ví duï 2: Tìm x; y Z thoaû maõn: x2 y2 x y 8 (2) (2) 4x2 4x 4y2 4y 32 4x2 4x 1 4y2 4y 1 34 2x 1 2 2y 1 2 52 32 2 2 2x 1 3 x 2; x 1 2 2 y 3; y 2 2y 1 5 2 2 2x 1 5 x 3; x 2 2 2 y 2; y 1 2y 1 3 Vaäy x; y 2;3 ; 2; 2 ; 1;3 ; 1; 2 ; 3;2 ; 3; 1 ; 2;2 ; 2; 1  Ví duï 3: Tìm x; y Z thoaû maõn: x3 y3 91 (1) (1) x y x2 xy y2 91.1 13.7 (Vì x2 xy y2 0 ) TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 x y 1 x 6 x 5 2 2 ; x xy y 91 y 5 y 6 x y . x2 xy y2 91.1 x y 91 2 2 VN x xy y 1 Ví duï 4: Tìm x; y Z thoaû maõn: x2 x y2 0 (2) x2 x y2 0 4x2 4x 4y2 0 2x 1 2 2y 2 1 2x 2y 1 2x xy 1 1 2x 2y 1 1 x 0 2x 2y 1 1 y 0 2x 2y 1 1 x 1 2x 2y 1 1 y 0 Vaäy: x; y 0;0 ; 1;0   - PHÖÔNG PHAÙP 2: Phöông phaùp cöïc haïn  Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi caùc phöông trình ñoái xöùng - Vì phöông trình ñoái xöùng neân x; y; z coù vai troø bình ñaúng nhö nhau. Do ñoù; ta giaû thieát x y z ; tìm ñieàu kieän cuûa caùc nghieäm; loaïi tröø daàn caùc aån ñeå coù phöông trình ñôn giaûn. Giaûi phöông trình; duøng pheùp hoaùn vò ñeå suy ra nghieäm.  Ta thöôøng giaû thieát 1 x y z Caùc ví duï minh hoaï: Ví duï 1: Tìm x; y; z Z thoaû maõn: x y z x.y.z (1)  Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi: Ta thaáy ñaây laø phöông trình ñoái xöùng. Giaû söû 1 x y z . Khi ñoù: (1) x.y.z x y z 3z x.y 3 (Vì x; y; z Z ) x.y 1;2;3 * Neáu: x.y 1 x y 1 2 z z (voâ lí) * Neáu: x.y 2 x 1; y 2; z 3 * Neáu: x.y 3 x 1; y 3 z 2 y (voâ lí) TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Vaäy: x; y; z laø hoaùn vò cuûa 1;2;3 1 1 1 Ví duï 2: Tìm x; y; z Z thoaû maõn: 2 (2) x y z  Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi: Ñaây laø phöông trình ñoái xöùng. Giaû söû 1 x y z . Khi ñoù: 1 1 1 3 3 (2) 2 x x 1 x y z x 2 1 1 2 Vôùi: x 1 1 y 2 y 1;2 y z y 1 .Neáu: y 1 0 (voâ lí) z .Neáu: y 2 z 2 Vaäy: x; y; z laø hoaùn vò cuûa 1;2;2  - PHÖÔNG PHAÙP 3: Phöông phaùp söû duïng tính chaát chia heát Caùc ví duï minh hoaï: x2 x Ví duï 1: Tìm x; y Z ñeå: A nhaän giaù trò nguyeân x2 x 1 x2 x x2 x 1 1 1 Ta coù: A 1 . Khi ñoù: x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 1 Ñeå A nhận giaù trò nguyeân thì nhaän giaù trò nguyeân. x2 x 1 2 2 1 x x 1 x x 1 U 1 1;1 2 2 x 0 Vì : x x 1 0;x ¢ x x 1 1 x 1 Vaäy ñeå A nhaän giaù trò nguyeân thì: x 0 hoaëc x 1 Ví duï 2: Tìm x; y Z thoaû maõn: 2y2 x x y 1 x2 2y2 x.y (2) 2y2. x 1 x. x 1 y. x 1 1 0 * TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Vôùi: x 1; * 1 0 x 1 khoâng phaûi laø ngieäm cuûa phöông trình. Neân: 1 2y2 x y 0 . x 1 1 x 0 Phöông trình coù nghieäm nguyeân ¢ x 1 U (1) 1; 1 x 1 x 1 Ví duï 3: Tìm x; y Z thoaû maõn: 3x 1 y 1 2 (3) Ta coù: (3) 3x y 1 2 1 y y 2 .3x laø soá leû y; y 2 laø hai soá leû lieân tieáp y; y 2 1 y; y 2 laø caùc luyõ thöøa cuûa 3, neân: m y 3 * m n x 3m 2 3n m n n y 2 3 . Vôùi: m 0; n 1 y 1; x 1. y3 . Vôùi: m 1; n 1 Töø * ; y; y 2 1 ( voâ lí) y 2 3 x 1 Phöông trình coù nghieäm nguyeân: y 1  - PHÖÔNG PHAÙP 4: Phöông phaùp söû duïng baát ñaúng thöùc  Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi caùc phöông trình maø hai veá laø nhöõng ña thöùc coù tính bieán thieân khaùc nhau. - AÙp duïng caùc baát ñaúng thöùc thöôøng gaëp: *Baát ñaúng thöùc Coâ – si: Cho n soá khoâng aâm: a1;a2 ;a3; ;an . Khi ñoù: a a a a 1 2 3 n n a .a .a a . Daáu “=” xaûy ra a a a a n 1 2 3 n 1 2 3 n * Baát ñaúng thöùc Bunhiacoâpxki: Cho 2n soá thöïc: a1;a2 ;a3; ;an vaøb1;b2 ;b3; ;bn . Khi ñoù: TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 2 a1.b1 a2.b2 a3.b3 an .bn a1. a2. a3 an b1 b2. b3 bn . Daáu “=” xaûy ra ai kbi i 1;n . *Baát ñaúng thöùcgiaù trò tuyeát ñoái: a b a.b 0 a b a b a.b 0 Caùc ví duï minh hoaï: x.y y.z z.x Ví duï 1: Tìm x; y Z thoaû: 3 (1) z x y x.y y.z z.x x.y y.z z.x AÙp duïng BÑT Coâ – si. Ta coù: 3 3.3 . . 3.3 x.y.z . z x y z x y 3 x.y.z 1 x.y.z 1 x y z 1 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: x y z 1 Ví duï 2: Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: x y 1 2 3 x2 y2 1 (2) (Toaùn Tuoåi thô 2) Theo Bunhiacoâpxki,ta coù: x y 1 2 12 12 12 x2 y2 1 3 x2 y2 1 x y 1 Daáu “=” xaûy ra x y 1 1 1 1 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: x y 1 Ví duï 3: Tìm taát caû caùc soá nguyeân x thoaû maõn: x 3 x 10 x 101 x 990 x 1000 2004 (3)  Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi: Ta nhaän thaáy: 2104 = 3 + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 vaø a a Ta coù:(3) 3 x 10 x x 101 x 990 x 1000 2004 . TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 3 x 3 x 10 x 10 x Maø a a x 101 x 101 2004 x 101 2003 x 101 1 x 990 x 990 x 1000 x 1000 Do ñoù: 1 x 101 1 x 101 1;0;1 x 102; 101; 100 . Vôùi x 101 2004 2003 (voâ lí). Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: x 102; 100 1) T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n: x2 y2 z2 xy 3y 2z 3 V× x,y,z lµ c¸c sè nguyªn nªn x2 y2 z2 xy 3y 2z 3 2 2 2 2 2 2 y 3y 2 x y z xy 3y 2z 3 0 x xy 3y 3 z 2z 1 0 4 4 2 2 2 2 y y 2 y y 2 x 3 1 z 1 0 (*) Mµ x 3 1 z 1 0 x, y R 2 2 2 2 y x 0 2 2 2 x 1 x 1 y y 2 y x 3 1 z 1 0 1 0 y 2 C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lµ y 2 2 2 2 z 1 z 1 z 1 0 PHÖÔNG PHAÙP 5: Phöông phaùp löïa choïn Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy ñöôïc söû duïng vôùi caùc phöông trình maø ta coù theå nhaåm (phaùt hieän deå daøng) ñöôïc moät vaøi giaù trò nghieäm - Treân cô sôû caùc giaù trò nghieäm ñaõ bieát. AÙp duïng caùc tính chaát nhö chia heát; soá dö; soá chính phöông; chöõ soá taän cuøng ta chöùng toû raèng vôùi caùc giaù trò khaùc phöông trình voâ nghieäm Caùc ví duï minh hoaï: Ví duï 1: Tìm x; y Z thoaû maõn: x6 3x3 1 y4  Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi: TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Ta thaáy vôùi x 0; y 1 thì phöông trình ñöôïc nghieäm ñuùng. Ta caàn chöùng minh phöông trình voâ nghieäm vôùi x 0 + Vôùi x 0; y 1 thì phöông trình ñöôïc nghieäm ñuùng + Vôùi x 0 . Khi ñoù: 2 2 x6 2x3 1 x6 3x3 1 x6 4x3 4 x3 1 y4 x3 2 (*) Vì x3 1 ; x3 2 laø hai soá nguyeân lieân tieáp neân khoâng coù giaù trò naøo cuûa y thoaû (*) Vaäy x 0; y 1 laø nghieäm cuûa phöông trình. Ví duï 2: Tìm x; y Z thoaû: x2 x 1 32 y 1 (2) (Taïp chí Toaùn hoïc vaø tuoåi treû ) Goïi b laø chöõ soá taän cuøng cuûa x ( Vôùi b 0;1;2; ;9 . Khi ñoù: x2 x 1 coù chöõ soá taän cuøng laø: 1, 5 hoaëc 9. (*) Maët khaùc: 32 y 1 laø luyõ thöøa baäc leû cuûa 3 neân coù taän cuøng laø 3 hoaëc 7. ( ) Töø (*) vaø ( ) suy ra phöông trình voâ nghieäm. Ví duï 3: Tìm x; y Z thoaû maõn: x2 6xy 13y2 100 (3) y 5 2 x 3 4 25 y2 (3) 2 2 25 y n n ¥ Do ñoù: y 5; 4; 3;0;3;4;5 x 3;9;11;13 Phöông trình coù nghieäm nguyeân: x; y 5;3 ; 4;9 ; 3;11 ; 0;13 ; 3;11 ; 4;9 ; 5;3  PHÖÔNG PHAÙP 6: Phöông phaùp luøi voâ haïn (xuoáng thang) Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi nhöõng phöông trình coù (n – 1) aån maø heä soá coù öôùc chung khaùc 1 - Döïa vaøo tính chaát chia heát ta bieåu dieãn aån theo aån phuï nhaèm “haï” (giaûm bôùt) haèng soá töï do, ñeå coù ñöôïc phöông trình ñôn giaûn hôn. - Söû duïng linh hoaït caùc phöông phaùp ñeå giaûi phöông trình ñoù. TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 Caùc ví duï minh hoaï: Ví duï 1: Giaûi phöông trình: x3 3y3 9z3 0 (1)  Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi: Ta thaáy x3 3y3 9z3 0 x3 3y3 9z3 3 maø 3y3 9z3 3 neân x3 3 3 3 3 3 Ta coù: (1) x 3y 9z 3 x 3 x3 x 3x1 3 3 3 3 3 3 3 Khi ñoù: (1) 27x1 3y 9z 3 9x1 y 3z 3 y 3 y3 y 3y1 . 3 3 3 3 9x1 27y1 3z 3 z 3 z3 y 3z1 . * Tieáp tuïc söï bieåu dieãn treân vaø neáu goïi x0 ; y0 ; z0 laø nghieäm cuûa (1) vaø thì 3 U vaø 0 x ; y ; z 9 . Thöïc hieän thöû choïn ta ñöôïc: x y z 0 x0 ;y0 ;z0 0 0 0 0 0 0 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: x0 y0 z0 0 c¸c bµi tËp KH¸C 1/Dïng ®Þnh nghÜa a2 1) Cho abc = 1 vµ a 3 36 . . Chøng minh r»ng b2+c2> ab+bc+ac 3 Gi¶i Ta cã hiÖu: TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 a2 a2 a2 b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac 3 4 12 a2 a2 a a 3 36abc = ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) + 3bc =( -b- c)2 + 4 12 2 12a a a 3 36abc =( -b- c)2 + >0 (v× abc=1 vµ a3 > 36 nªn a >0 ) 2 12a a2 VËy : b2+c2> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh 3 2) Chøng minh r»ng a) x 4 y 4 z 2 1 2x.(xy 2 x z 1) b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã : a2 5b2 4ab 2a 6b 3 0 c) a2 2b2 2ab 2a 4b 2 0 Gi¶i : a) XÐt hiÖu : 2 H = x 4 y 4 z 2 1 2x 2 y 2 2x 2 2xz 2x = x 2 y 2 x z 2 x 1 2 H 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = a 2b 1 2 b 1 2 1 H > 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh c) vÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = a b 1 2 b 1 2 H 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Ii / Dïng biÕn ®æi t¬ng ®¬ng 2 x2 y 2 1) Cho x > y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng : 8 x y 2 Gi¶i : Ta cã x2 y 2 x y 2 2xy x y 2 2 (v× xy = 1) 2 x2 y 2 x y 4 4. x y 2 4 Do ®ã B§T cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 2 4 2 2 4 2 x y 2 2 0 x y 4 x y 4 8. x y x y 4 x y 4 0 B§T cuèi ®óng nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 1 1 2 2) Cho xy 1 .Chøng minh r»ng : 1 x2 1 y 2 1 xy Gi¶i : 1 1 2 1 1 1 1 0 Ta cã 2 2 2 2 2 1 x 1 y 1 xy 1 x 1 y 1 y 1 xy xy x2 xy y 2 x(y x) y(x y) 0 0 1 x2 . 1 xy 1 y 2 . 1 xy 1 x2 . 1 xy 1 y 2 . 1 xy y x 2 xy 1 0 1 x2 . 1 y 2 . 1 xy B§T cuèi nµy ®óng do xy > 1 .VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Iii / dïng bÊt ®¼ng thøc phô 1) Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1 1 Chøng minh r»ng a2 b2 c2 3 Gi¶i : ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1,1,1) vµ (a,b,c) Ta cã 1.a 1.b 1.c 2 1 1 1 . a2 b2 c2 a b c 2 3. a2 b2 c2 1 a2 b2 c2 (v× a+b+c =1 ) (®pcm) 3 2) Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng 1 1 1 Chøng minh r»ng a b c . 9 (1) a b c Gi¶i : a a b b c c a b a c b c (1) 1 1 1 9 3 9 b c a c a a b a c a c b TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 x y ¸p dông B§T phô 2 Víi x,y > 0 y x Ta cã B§T cuèi cïng lu«n ®óng 1 1 1 VËy a b c . 9 (®pcm) a b c Iv / dïng ph¬ng ph¸p b¾c cÇu 1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh r»ng : 2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a Gi¶i : Do a <1 a 2 <1 vµ b <1 Nªn 1 a2 . 1 b2 0 1 a2b a2 b 0 Hay 1 a2b a2 b (1) MÆt kh¸c 0 <a,b <1 a2 a3 ; b b3 1 a2 a3 b3 VËy a 3 b3 1 a 2b 3 3 2 T¬ng tù ta cã : b c 1 b c a3 c3 1 c2a 2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a (®pcm) 2) So s¸nh 3111 vµ 17 14 Gi¶i : 11 Ta thÊy 3111 < 3211 25 255 256 14 MÆt kh¸c 256 24.14 24 1614 1714 Vëy 3111 < 1714 (®pcm) V/ dïng tÝnh chÊt tØ sè vÝ dô 4: Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú, chøng minh r»ng: (a c) 2 (b d) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski ta cã ac + bd a 2 b 2 . c 2 d 2 mµ a c 2 b d 2 a 2 b 2 2 ac bd c 2 d 2 a 2 b 2 2 a 2 b 2 . c 2 d 2 c 2 d 2 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 (a c) 2 (b d) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG